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Généralités sur les fonctions (seconde partie):ExercicescorrigésSeconde Exercice 1Seconde/Fonctions-Généralités/exo-003/texte On donne ci-dessous la courbe représentative d"une fonc- tionf.

123456789

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -71 2 3 4 5 6-1-2

1.Dans cette question, aucune justification n"est exigée.a) Lire l"image de4parf.

b) Déterminer graphiquement les antécédents de0parf. c) Résoudre graphiquement l"inéquationf(x)?8. d) Donner, par lecture graphique, le tableau de varia- tions def.

2.Dans cette question, toute trace de recherche, même in-complète, ou d"initiative, même non fructueuse, seraprise en compte dans l"évaluation.Une seule des deux expressions algébriques suivantes estégale àf(x).

Retrouver de laquelle il s"agit et justifier votre réponse. •Expression no1:-x2+ 4x+ 5 •Expression no2:-x2+ 6x+ 5

3.Résoudre algébriquement l"équationf(x) = 5.

Exercice 2Seconde/Fonctions-Généralités/exo-004/texte Soitgla fonction dont on donne le tableau de variations ci-dessous : x Var. g023058 9 5

1.Donner :a) l"ensemble de définition deg, notéI;

b) le maximum degsurI; c) la valeur dexen laquelle la fonctiongatteint son minimum sur l"intervalleI; d)g(0); e) le nombre de solutions de l"équationg(x) = 6.

2.Peut-on comparer les nombresg(7)etg(8)?

Justifier la réponse donnée.

3.Donner une allure possible pour la courbe deg.

Exercice 3Seconde/Fonctions-Généralités/exo-062/texte

Partie A

1.Développer, réduire et ordonner(x-3)2-(⎷

3)2.

2.Factoriser(x-3)2-(⎷

3)2.

3.Résoudre par le calcul l"équation(x-3)2-(⎷

3)2= 0.

Partie B

SoitABCDun carré de côté6cm,MetNdeux points mo- biles respectivement sur[AB]et[BC]tels queAM=BN. A B CDM N x x

1.On noteAM=BN=x.

Exprimer en fonction dexles aires respectives des tri- anglesAMD,BMNetCDN.

2.En déduire que pour toutxappartenant à[0;6], l"aire

du triangleMNDest donnée, en cm2, par : A MND=1

2x2-3x+ 18

3.Soitfla fonction définie sur[0;6]par :

f(x) =1

2x2-3x+ 18

a) Donner un tableau de valeurs defau pas de0,5sur [0;6]en arrondissant les valeurs def(x)à10-1près. b) Donner l"allure de la courbe représentative de la fonctionfdans un repère aux unités convenablement choisies. c) À l"aide du graphique, conjecturer le tableau de va- riations defsur[0;6].

4.a) Établir que pour toutxappartenant à[0;6]:

f(x)-f(3) =(x-3)2 2 b) En utilisant l"égalité établie à la question précédente, prouver que la fonctionfadmet un minimum sur [0;6]dont on précisera la valeur.

5.a) Déterminer graphiquement (on fera apparaître clai-

rement les traits de lecture sur le graphique) les va- leurs dexpour lesquelles l"aire du triangleMNDest

égale à15cm2.

b) À l"aide des résultats obtenus dans la première par- tie, retrouver les valeurs obtenues à la question5a. Généralités sur les fonctions (seconde partie):ExercicescorrigésSeconde Exercice 1Seconde/Fonctions-Généralités/exo-003/corrige

1.a) L"ensemble de définition defest[-2;6].

b) L"image de4parfest égale à5. c) Les antécédents de8parfsont1et3. d) L"ensemble des solutions de l"inéquationf(x)>0 est]-1;5[. e) Le tableau de variations defest le suivant : x Var. f-2 -729 6 -7

2.CalculonsA(4)etB(4):

A(4) =-42+ 4×4 + 5

=-16 + 16 + 5 = 5

B(4) =-42+ 6×4 + 5

=-16 + 24 + 5 = 13 Or, on sait quef(4) = 5. Par conséquent, si l"une des deux expressions proposées est égale àf(x), ce ne peut

être queA(x).

3.Déterminer les antécédents de5parfrevient à résoudre

l"équationf(x) = 5. f(x) = 5?? -x2+ 4x+ 5 = 5 ?? -x2+ 4x= 0 ??x(-x+ 4) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l"un au moins des facteurs est nul. f(x) = 5??x= 0ou-x+ 4 = 0 ??x= 0ou-x=-4 ??x= 0oux= 4 Conclusion :5admet exactement deux antécédents par f:0et4 Exercice 2Seconde/Fonctions-Généralités/exo-004/corrige

1.a) L"ensemble de définition degestI= [0;9].

b) Le maximum degsurIest8. c) La valeur dexpour laquellegatteint son minimum surIest3. d)g(0) = 2. e) L"équationg(x)=6admet exactement2solution(s).

2.5<7<8<9etgest strictement décroissante sur[5;9]

doncg(7)> g(8). En effet, une fonction strictement décroissante un inter- valle est une fonction qui renverse l"ordre sur cet inter- valle.3.Une allure possible pour la courbe deg:

12345678

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exercice 3

Partie A

1.Je développe, réduis et ordonne(x-3)2-(⎷

3)2: (x-3)2-(⎷

3)2=x2-2×x×3 + 32-3

=x2-6x+ 9-3 =x2-6x+ 6

2.Je factorise(x-3)2-(⎷3)2:

(x-3)2-(⎷

3)2= (x-3-⎷3)(x-3 +⎷3)

3.Je résous par le calcul l"équation(x-3)2-(⎷3)2= 0:

(x-3)2-(⎷

3)2= 0

??(x-3-⎷

3)(x-3 +⎷3) = 0

??x-3-⎷

3 = 0oux-3 +⎷3 = 0

??x= 3 +⎷

3oux= 3-⎷3

Conclusion :S={3-⎷3;3 +⎷3}

Partie B

1.J"exprime en fonction dexles aires respectives des tri-

anglesAMD,BMNetCDN: •AAMD=AD×AM

2=6x2= 3x

•ABMN=BM×BN2=(6-x)x2=6x-x22= 3x-12x2 •ACDN=CD×CN2=6(6-x)2=36-6x2= 18-3x

Ainsi,AAMD= 3xcm2,ABMN=Å

3x-12x2ã

cm 2et A

CDN= (18-3x)cm2.

2.AMND=AABCD-(AAMD+ABMN+ACDN)

= 6

2-Å

3x+ 3x-1

2x2+ 18-3xã

= 36-Å -1

2x2+ 3x+ 18ã

= 36 + 1

2x2-3x-18

1

2x2-3x+ 18

Conclusion :AMND=Å12x2-3x+ 18ã

cm 2.

3.a) Voir tableau de valeurs(tab.1, p.3).

b) Voir allure de la courbe de la fonctionf(fig.1, p.3). c) Tableau de variations def: x Var. f0 183
13,56 18

4.a) Pour toutxappartenant à[0;6]:

Généralités sur les fonctions (seconde partie):ExercicescorrigésSeconde f(x)-f(3) =12x2-3x+ 18-13,5 1

2x2-3x+92

=1

2?x2-6x+ 9?

1

2(x-3)2

b) Pour toutxappartenant à[0;6],(x-3)2?0(car un carré est un réel positif) et2>0donc(x-3)2 2?0.

Ainsi,f(x)-f(3)?0d"oùf(x)?f(3).

Conclusion : La fonctionfatteint son minimum sur

[0;6]lorsquex= 3et ce minimum estf(3) = 13,5.

Remarque : Ainsi, l"aire du triangleMNDest mini-

male lorsqueMest le milieu de[AB]et l"aire mini- male de ce triangle est13,5cm2.

5.a) Les valeurs dexpour lesquelles l"aire du triangle

MNDest égale à15cm2sont les solutions de l"équa- tionf(x) = 15. Sur le graphique(fig.1, p.3), on lit deux solutions :

1,25et4,75

b) Je résous algébriquement l"équationf(x) = 15: f(x) = 15??1

2x2-3x+ 18 = 15

1

2x2-3x+ 3 = 0

??x2-6x+ 6 = 0 (1) ??(x-3)2-(⎷

3)2= 0 (2)

??x= 3 +⎷

3oux= 3-⎷3(3)

(1) : Équation obtenue en multipliant par2les deux membres de l"équation précédente. (2) : D"après question1de la première partie. (3) : D"après question3de la première partie. Conclusion : Les valeurs dexpour lesquelles l"aire du triangleMNDest égale à15cm2sont(3-⎷ 3) et(3 +⎷ 3). x00,511,522,533,544,555,56

Table1 -Tableau de valeurs

121314151617181920

0 1 2 3 4 5 6

≈1,25≈4,75Figure1 -Allure de la courbe defquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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