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DERNIÈRE IMPRESSION LE28 mars 2017 à 15:21

Statistiques et estimations

Table des matières

1 Intervalle de fluctuation2

1.1 Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Intervalle de fluctuation asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Prise de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Estimation6

2.1 Présentation du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

PAUL MILAN1TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES

1 Intervalle de fluctuation

1.1 Simulation

On lance 120 fois un dé à jouer bien

équilibré. On appelleNla variable aléa-

toire qui associe le nombre de fois que le dé affiche la face 6. On voudrait sa- voir la probabilité que la variable aléa- toireNsoit comprise dans l"intervalle [12;28].

On écrit le programme ci contre. Ce

programme effectue 100 fois ces 120 lancers. On affiche à chaque expérience

Ile point(I,N)ainsi que les droites

d"équationsy=12 ety=28. A la fin de ces 100 expériences, on affiche le nombre de pointsMqui se situe dans l"intervalle [12;28].

On trouve alors :M=96. On peut

alors dire qu"à 96 %, le nombre d"appa- ritions de la face 6 se situe dans l"inter- valle [12;28]. On nomme alors cet l"in- tervalle,intervalle de fluctuation deN au seuil de 96 %.

Variables:A,B,I,J,M,N,Xentiers

Entrées et initialisation

Effacer dessin

0→M

12→A

28→B

Tracery=A

Tracery=B

Traitement

pourIde 1 à 100faire

0→N

pourJde 1 à 120faire randInt(1,6)→X siX=6alors

N+1→N

fin fin

Afficher le point(I;N)

siN?AetN?Balors

M+1→M

fin fin

Sorties: AfficherM

Sur une calculatrice TI 83 CE, on obtient le graphe suivant :

1.2 Définition

Définition 1 :Xest une variable aléatoire qui suit une loi binomialeB(n,p). αest un réel tel que 0<α<1 etaetbsont deux réels. On dit que[a;b]est unintervalle de fluctuation de Xau seuil de 1-α, si, et seulement si :P(a?X?b)?1-α

PAUL MILAN2TERMINALE S

1. INTERVALLE DE FLUCTUATION

1.3 Intervalle de fluctuation asymptotique

Théorème 1 :Si la variable aléatoire Xnsuit une loi binomialeB(n,p)alors pour tout réelαde ]0;1[, on a : lim n→+∞P?Xn n?In? =1-αoùIn=? p-uα? p(1-p)⎷n;p+uα? p(1-p)⎷n? u αétant le nombre tel queP(-uα?Zn?uα) =1-αlorsque Znsuit une loi normale centrée réduite. On appellevariable fréquence, la variable aléatoire Fn=Xn nqui à tout échan- tillon de taillenassocie la fréquencefobtenue. Remarque :Lemot asymptotiquevientdupassage àlalimitedel"intervalleIn,la loi binomialeB(n,p)peut alors être assimilé à la loi normaleN(np,np(1-p)). ROCDémonstration :On pose Zn=Xn-np?np(1-p). On pourra utiliser cet intervalle de fluctuation dans les conditions de l"approximation normale de laloi binomiale (n?30,np?5 etn(p-1)?5)

D"aprèslethéorèmeMoivre-Laplace: lim

n→+∞P(-uα?Zn?uα) =? uα -uα1 ⎷2πe-t2 2dt c"est à dire que Z nsuit une loi normale centrée réduite. On sait d"après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour toutαde ]0;1[, il existe un unique réel strictement positifuαtel que :

P(-uα?Zn?uα) =1-α

De plus :

-uα?Zn?uα -uα? np(1-p)?Xn-np?uα?np(1-p) np-uα? np(1-p)?Xn?np+uα?np(1-p) p-uα? p(1-p)⎷n?Xnn?p+uα? p(1-p)⎷n

Donc lim

n→+∞P?Xn n?In? =1-α Propriété :Il faut connaître l"intervalle Indefluctuation au seuil de 95%cor- respondant àα=0,05 et qui donne (voir chapitre précédent p 12)uα=1,96 I n=? p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? p(1-p)⎷n?

PAUL MILAN3TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES

Exemple :Si on reprend l"exemple sur les 120 lancers de dé à jouer avecN comme variable aléatoire. L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95 % (dans les conditions de l"approximation normale) est alors :

p-1,96? p(1-p)⎷n=16-1,96?

16×56⎷120?0,100

p+1,96? p(1-p)⎷n=16+1,96?

16×56⎷120?0,233

Donc I

n= [0,100;0,233]qui correspond à la variable aléatoire fréquenceN 120.
Si on revient à la variableN, l"intervalle de fluctuation est alors : [120×0,100 ; 120×0,233] = [12 ; 28], ce qui confirme notre expérience (on avait trouvé 96 %). Remarque :Cet intervalle peut être simplifié par l"intervalle J n=? p-1 ⎷n;p+1⎷n? En effet la fonctionx?→x(1-x) =x-x2est une fonction du second degré qui s"annule en 0 et 1, elle admet donc un maximum (coefficient négatifdevantx2) en

0,5. On a alorsf(0,5) =0,25. Elle est positive entre 0 et 1. On a alors :

0?p(1-p)?0,25?0??

p(1-p)?⎷0,25=0,5

On en déduit alors que : 0?1,96?

p(1-p)?1

On a alors 0?1,96?

p(1-p)⎷n?1⎷n

On a ainsi I

n?Jn. On a alors dans la plupart des casP(Fn?Jn)?0,95

1.4 Prise de décision

Propriété 1 :Soitfobsla fréquence observée d"un caractère sur un échan- tillon de taillenissu d"une population donnée. On suppose que les conditions de l"approximation normale de la loi binomiale sont remplies :n?30,np?5 et n(1-p)?5. Test d"hypothèse :On fait une conjecture sur la valeur de la proportionpdu caractère étudié dans la population toute entière. SoitInl"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. •Sifobs?In; on ne peut rejeter l"hypothèse faite surp. •Sifobs/?In; on rejete l"hypothèse faite surp. Exemple :Pour créer ses propres colliers, on peut acheter un kit contenant des perles de cinq couleurs différentes (marrons, jaunes, rouges, vertes et bleues), dans des proportions affichées sur le paquet.

PAUL MILAN4TERMINALE S

1. INTERVALLE DE FLUCTUATION

Ainsi les perles marron et les perles jaunes sont annoncées comme représentant chacunes 20 % de l"ensemble des perles tandis que les perles rouges sont annon- cées à 10 %. On veut vérifier cette information. Pour cela, on choisit d"observer un échantillon aléatoire de perles et de construire un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la proportion de perles marron. On constitue donc un échantillon, que l"on considère aléatoire, de 690 perles. On a dénombré 140 perles marron. Laprise de décisionest la suivante : si la proportion de perles marron dans l"échantillon n"appartient pas à intervalle de fluctuation, on rejette l"hypothèse selon laquelle les perles marron représentent 20 % des perles a) Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique I au seuil de 95 %pour la proportion de perles marron. b) Calculer la proportion de perles marron dans l"échantillon.Que peut-on en conclure? c) Dans le même échantillon, il y avait 152 perles jaunes et 125 perles rouges. Que peut-on conclure de ces résultats? a) En ce qui concerne les perles marron, on a :n=690 etp=0,2, donc : n?30np=138?5 etn(1-p) =552?5 Nous sommes bien dans les hypothèses du théorème de Moivre-Laplace.

On calcule ensuite

p-1,96? p(1-p)⎷n=0,2-1,96⎷

0,2×0,8⎷690?0,1702

p+1,96? p(1-p)⎷n=0,2+1,96⎷

0,2×0,8⎷690?0,2298

On a donc : I= [0,17;0,23]

b) On calcule la fréquencefm=140

690?0,203

Commefm?I,on ne peut pas rejeterl"hypothèse selon laquelle les perles marron représentent 20 % des perles. c) On calcule la fréquence des perles jaunes :fj=152

690?0,220

Commefj?I,on ne peut pas rejeterl"hypothèse selon laquelle les perles jaunes représentent 20 % des perles. Pour les perles rouges, il faut calculer un nouvel intervalle de fluctuation : p-1,96? p(1-p)⎷n=0,1-1,96⎷

0,1×0,9⎷690?0,0776

p+1,96? p(1-p)⎷n=0,1+1,96⎷

0,1×0,9⎷690?0,1224

PAUL MILAN5TERMINALE S

TABLE DES MATIÈRES

On a donc : I"= [0,07;0,13](on prend l"intervalle par excès) On calcule la fréquence des perles rouges :fr=125

690?0,18

Commefr/?I",on doit rejeterl"hypothèse selon laquelle les perles rouges représentent 10 % des perles.

2 Estimation

2.1 Présentation du problème

Pour des raisons de coût et de faisabilité, on ne peut étudier un certain carac- tère sur l"ensemble d"une population. La proportionpde ce caractère est donc inconnue. On cherche alors à estimerpà partir d"un échantillon de taillen. On calcule alors la fréquencefobsdes individus de cet échantillon ayant ce caractère. Estimation :On estime la proportionppar un intervalle de confiance déterminé à partir de la fréquencefobset de la taillende l"échantillon. Remarque :La fréquencefobscalculée varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage. Il est donc nécessaire d"apprécier l"incertitude en donnant une estimation par un intervalle.

2.2 Intervalle de confiance

On suppose les trois conditions d"approximations remplies : n?30,np?5 etn(1-p)?5 Théorème 2 :Soit Fnla variable aléatoire qui à chacun des échantillons de taillenassocie la fréquence du caractère dans cet échantillon.

La proportion inconnuepest telle que :

P F n-1 ⎷n?p?Fn+1⎷n? ?0,95 ROCDémonstration :On a vu que l"intervalle de fluctuation au seuil de 95% peut

être simplifié par :?

p-1 ⎷n;p+1⎷n?

On a donc :

p-1 ⎷n?Fn?p+1⎷n 1 ⎷n?Fn-p?1⎷n -Fn-1 ⎷n?-p?-Fn+1⎷n F n-1 ⎷n?p?Fn+1⎷n

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2. ESTIMATION

Ainsi :P?

F n-1⎷n?p?Fn+1⎷n? ?0,95 Définition 2 :On observe la fréquencefobssur un échantillon de taillenet pdésigne la proportion inconnue d"apparition du caractère dans la population entière. On appelleintervalle de confiancedepau niveau asymptotique de 95% l"intervalle : f obs-1 ⎷n;fobs+1⎷n?

Cet intervalle de confiance a pour amplitude

2 ⎷n. Ainsi si l"on souhaite encadrer pdans un intervalle de longueura, on doit avoir : 2 ⎷n?a?n?4a2 Exemple :Un sondage pour l"élection présidentielle du 21 avril 2002 Voici les résultats d"un sondage IPSOS réalisé avant l"élection présidentielle de

2002 pour Le Figaro et Europe 1, les 17 et 18 avril 2002 auprès de 989 personnes,

constituant un échantillon national représentatif de la population française âgée de 18 ans et plus et inscrite sur les listes électorales. On suppose cet échantillon constitué de manière aléatoire (même sien pratique cela n"est pas le cas). Les intentions de vote au premier tour pour les principaux candidats sont les suivantes : Jacques Chirac : 20 % Lionel Jospin : 18 % Jean-Marie Le Pen : 14 %. Les médias se préparent pour un second tour entre Jacques Chirac et Lionel Jos- pin. a) Déterminerpourchaquecandidat,l"intervalledeconfianceauniveaudeconfiance de 0,95 de la proportion inconnue d"électeurs ayant l"intention devoter pour lui. b) Le 21 avril, les résultats du premier tour des élections sont les suivantes : Jacques Chirac : 19,88 %, Lionel Jospin : 16,18 %, Jean-Marie Le Pen : 16,86 %. Les pourcentages de voix recueillies par chaque candidat sont-ils bien dans les intervalles de confiance précédents? c) Pouvait-on, au vu de ce sondage, écarter avec un niveau de confiance de 0,95, l"un de ces trois candidats second tour? a) Nous sommes dans les trois hypothèses d"approximation :

989?30, 138?np?198 et 791?n(1-p)?851

On calcule :

1 ⎷n=1⎷989?0,032 On obtient alors les intervalles de confiance à 0,95 suivant :

•Pour J. Chirac I1= [0,168 ; 0,232]

•Pour L. Jospin I2= [0,148 ; 0,212]

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TABLE DES MATIÈRES

•Pour J.M. Le Pen I2= [0,108 ; 0,172]

b) Les résultats sont bien dans les intervalles de confiance. c) Les trois intervalles de confiance ont une intersection non vide: I

1∩I2∩I3= [0,168 ; 0,172]

Il n"était donc pas possible de donner le classement final des trois candidats.

Tous les classements étaient possibles.

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