Chapitre 1 - Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
e. 2ik? n. k ? [0; n ? 1]. }
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Insistons sur le fait que N dépend de ?! Exemples. a) Montrons que la suite (1 n. )n?1 converge vers 0. Soit
Examen Final – Cryptographie
19 janv. 2006 Exercice 3. Soient p et q deux nombres premiers impairs tels que p ? 1 (mod 3) et q ? 1 (mod 3). On pose N = pq. 1. Montrer que. ( 3. N. ) = ( ...
Annexe A - Ensembles dénombrables
une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble [1n]. (ii) On dit que E est fini s'il est de cardinal n pour un certain n ? N. On ...
LIMITES DE SUITES
Propriété : (un) est une suite géométrique positive de raison q et de premier terme non nul u0. - Si q >1 alors lim n?+? u n = +?
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14 mai 2005 A de N et une bijection f : A ? E. A est infini donc il existe une bijection g ... E. Montrer que la réunion ?n?N En est dénombrable.
Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis
La proposition ci-dessous montre que ce n'est pas possible. Proposition 3 Soit E un ensemble et n et p des entiers naturels. S'il existe une bijection de E
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
n n u u u. +. = ?. ?. = +. ? . Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n on a : 1 n n.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r. Il existe donc un rang k tel que et . Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de a et b est
Factorielle et binôme de Newton Cours
On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres n et p que l'on peut représenter par un arbre. Définition 2. — Pour tout k ? {0 1
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Des électrons de même charge que les protons en valeur absolue mais de signe opposé en nombre égal aux protons forment la structure extérieure de l'atome
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La charge électrique est la propriété de la matière qui produit les phénomènes électricité et magnétisme L'unité utilisée pour mesurer la charge électrique est
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1 n v 2 n v Force normale Liaison C-N Pile électrochimique q L'atome Un atome est un regroupement de particules élémentaires habituellement neutre
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Si on applique un champ électrique E les porteurs de charges se déplacent selon ±E selon le signe de leur charge q Il se créé ainsi un mouvement d'ensemble de
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Fiche 4 : Piles et électrolyses ? Exercice n°1 1) fig 2 5 2) Ni(s) = Ni2+ (aq) + 2 e- (× 3) Q + + = A N : 111 )0 19 77( )0 11 68( Q
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Pile : ensemble de deux demi piles reliées par un pont électrolytique qui assure la neutralité électrique de chaque solution et la circulation de l'électricité
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Une particule de charge q mobile de vitesse v plongée dans un champ électrique E et dans un champ magnétique B subit la force de Lorentz: F = q (E + v ? B)
Annexe A
Ensembles dénombrables
A.1 Cardinal
Lorsque l'on veut dénombrer les éléments d'un ensemble fi ni (par exemple, si on veut savoir combien de pommes contient un panier, ou combien de rayures a Arthur le glomorphe à rayures), on établit une bijection entre un ensemble d'entiers et l'ensemble en question. Onattribue le nombre 1 à une pomme, le nombre 2 à une autre, le nombre 3 à une troisième, et
ainsi de suite, jusqu'à fi nalement attribuer un entier nà la dernière pomme. On a alors dé
fi ni une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble 1 ,n . Cette bijection n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes, mais l'entier n que l'on obtient est toujours le même. On dit alors qu'il y a n pommes dans le panier. Lorsque l'on est plus jeune, et que l'on doit encore compter sur ses doigts, on établit en fait une bijection entre l'ensemble des pommes et un ensemble de doigts. Dans tous les cas, on a compté en établissant une bijection entre l'ensemble étudié et un ensemble de référence bien compris. Imaginons maintenant que ces pommes soient destinées au goûter d'un groupe d'enfants. Si on peut donner exactement une pomme à chaque enfant (chacun reçoit exactement une pomme, et aucune pomme ne reste à la fi n), alors même si on ne sais pas combien on avait de pommes et combien il y a d'enfants, on peut dire qu'il y avait exactement autant de pommes qu'il n'y a d'enfants. Ces notions sont intuitivement claires tant qu'on ne manipule que des ensembles fi nis. Comparer le nombre d'éléments pour des ensembles in fi nis peut par contre amener quelques surprises... Dé fi nition A.1.On dit que deux ensembles
E et F qu'ils ont même cardinal s'il existe une bijection de E dans F . Dans ce cas on écrira Card E Card FThéorème A.2
(Théorème de Cantor-Bernstein)Soient
E et F deux ensembles. S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E , alors il existe une bijection de E dans FDémonstration.
Soit f une injection de E dans F et g une injection de F dans E . On note F g F E.On peut alors voir
g comme une bijection de F dans˜F. On maintenant E
0 E \˜F puis, par récurrence sur n N E n +1 g f E n Pour x E on note h x g f x si x n N E n x sinon.Cela dé
fi nit une bijection de E dans˜F. g
1 h est alors une bijection de E dans F 1 L2 Parcours Spécial - S3 - Mesures et IntégrationA.2 Ensembles
fi nis - Ensembles in fi nisLemme A.3.
Soit n,p N 2 . S'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p alors n pDémonstration.
On montre le résultat par récurrence sur
p N . Si p = 0 alors n = 0 , car il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide dans l'ensemble vide. On suppose le résultat acquis jusqu'au rang p 1 p N ) et on suppose qu'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p . Si n = 0 alors on a bien n p . On suppose maintenant que n 1 . On considère la perminutation de 1 ,p qui échange n et p , et laisse invariants les autreséléments. Alors
est une injection de 1 ,n dans 1 ,p qui envoie n sur p . Par restriction, elle induit une injection de 1 ,n 1 dans 1 ,p 1 . Par hypothèse de récurrence on a alors n 1 p 1 , et donc n p . D'où le résultat.Corollaire A.4.
Soit n,p N 2 tel que 1 ,n est en bijection avec 1 ,p . Alors n p Dé fi nition A.5. Soit E un ensemble. (i) Soit n N . On dit que E est de cardinal n (ou qu'il a néléments) si
E est en bijection avec 1 ,n . Un tel n est nécessairement unique. (ii) On dit que E est fiquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] rattachement des charges aux produits définition
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