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Mecanique quantique II

PHQ-430Alexandre Blais

Departement de Physique

Universite de Sherbrooke

Fevrier 2014

Table des matieres

Table des matieres 1

1 Notation de Dirac 7

1.1 Rappel sur les fonctions d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Espace des etats : notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Introduction des kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Produit scalaire et introduction de l'espace dual . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Operateurs dans l'espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Operateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Operateur hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Algebre des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Fonction d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Derivation d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Operateurs inverses et operateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Representations dans l'espace des etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Relations caracteristiques d'une base orthonormee : cas discret . . . . . . . .

1.4.2 Relations caracteristiques d'une base orthonormee : cas continu . . . . . . . .

1.4.3 Representation des kets et des bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 Representation des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.5 Changement de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.6 Trace d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Information quantique I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
1.6 Equations aux valeurs propres et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.6.1 Valeurs et etats propres d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.3 Ensembles d'observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Representations et operateurs R et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.1 Representation de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2 Representation d'impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.3 Relation entre les representations de position et d'impulsion . . . . . . . . . .

4 TABLE DES MATI

ERES1.7.4 Operateurs R et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

1.8 Produit tensoriel d'espaces d'etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.1 Denition et proprietes du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
1.8.2 Etats deE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

1.8.3 Produit tensoriel d'operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9 Information quantique II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.1 Impossibilite de copier l'information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Registre de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.3 Operations logiques quantiques et circuits quantiques . . . . . . . . . . . . .

1.10 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Postulats de la mecanique quantique 53

2.1 Enonce des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

2.1.1 Description de l'etat d'un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Description des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Mesure des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.4 Resultat de mesure des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5 Reduction du paquet d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
2.1.6 Evolution dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.1.7 Regles de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Mesures en mecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Valeur moyenne d'un ensemble de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
2.2.2 Ecarts types et relations d'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

2.2.3 Compatibilite des observables et preparation d'un etat . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Mesure d'un sous-espace et enchev^etrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.5 Application aux cas continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
2.3 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

2.3.1 Conservation de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Theoreme d'Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
2.3.3 Evolution d'un systeme conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.3.4 Frequences de Bohr et regles de selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.5 Relation d'incertitude temps-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Niveaux instables et temps de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Systemes a deux niveaux 79

3.1 Espace de Hilbert a deux dimensions et sphere de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Exemples de systemes a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI

ERES 53.2.1 Polarisation d'un photon (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

3.2.2 Experience de Stern et Gerlach et Spin 1=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.2.3 Restriction a un systeme a deux niveaux et spin 1/2 eectif . . . . . . . . . .

3.3 Spin 1/2 et precession de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Spin 1/2 dans un champ transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Champ transverse faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Champ transverse intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Oscillateur harmonique 97

4.1 Importance de l'oscillateur harmonique en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Loi de Hooke et approximation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Oscillateur harmonique quantique a une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

4.2.1 Operateurs de creation et d'annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101
4.2.2 Energies propres et action des operateurs d'echelle . . . . . . . . . . . . . . .102

4.2.3 Representation matricielle des operateurs d'echelle . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.2.4 Representation des etats propres dans l'espace des positions . . . . . . . . . .

106

4.2.5 Valeurs moyennes et ecarts quadratiques moyens . . . . . . . . . . . . . . . .

108

4.3 Oscillateurs harmoniques isotropes a trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

4.4 Interaction lumiere-matiere : modele Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . .

110
4.4.1 Etats et energies propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

5 Moment cinetique en mecanique quantique 119

5.1 Passage au cas quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

5.1.1 Moments cinetiques orbitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

5.1.2 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2 Moments cinetiques et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2.1 Denition de l'operateur rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2.2 Rotations innitesimales et moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.2.3 Invariance sous rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

5.2.4 Generalisation au spin intrinseque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

5.3 Theorie generale du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

5.3.1 Les operateursJ+etJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

5.3.2 Valeurs propres deJ2etJz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

5.3.3 Action deJsur les etatsjj;mi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

5.3.4 Mesures deJxetJy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

6 TABLE DES MATI

ERES5.3.5 Representations standardsjk;j;mi(?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

5.3.6 Representation matricielle du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

5.4 Application au moment cinetique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

5.4.1 Valeurs et fonctions propres deL2etLz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

5.4.2 Base standard de l'espace des fonctions d'onde (?) . . . . . . . . . . . . . . .138

5.4.3 Mesures et previsions physiques concernantL2etLz(?) . . . . . . . . . . . .139

5.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

6 L'atome d'hydrogene 143

6.1 Systemes a deux corps : mouvement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.2 Mouvement dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

6.3 Atome d'hydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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