[PDF] Relativité Générale Le but de ce cours

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Observatoire de Paris, Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11,

École Normale Supérieure

MasterAstronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale

Année M2 - Parcours Recherche

2013 - 2014

UE FC5

Relativité générale

Éric Gourgoulhon

Laboratoire Univers et Théories (LUTH)

CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot (Paris 7) eric.gourgoulhon@obspm.fr 2

Table des matières

1 Introduction

9

1.1 Motivations et objectifs du cours

9

1.2 Articulation avec les autres cours

10

1.3 Page web du cours

11

2 Cadre géométrique

13

2.1 Introduction

13

2.2 L"espace-temps relativiste

13

2.2.1 Les quatre dimensions

13

2.2.2 Notion de variété

14

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

16

2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs

22

2.3 Tenseur métrique

23

2.3.1 Définition

23

2.3.2 Composantesgdu tenseur métrique

25

2.3.3 Bases orthonormales

26

2.3.4 Genre des 4-vecteurs

28

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

28

2.3.6 Cône isotrope

31

2.3.7 Distance entre deux points

31

2.3.8 Bilan

32

2.4 Lignes d"univers

33

2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière

33

2.4.2 Mouvement d"un point matériel

34

2.4.3 Temps propre

34

2.4.4 Quadrivitesse

36

2.4.5 Quadri-impulsion

37

2.5 Observateurs

38

2.5.1 Simultanéité et mesure du temps

38

2.5.2 Espace local de repos

40

2.5.3 Facteur de Lorentz

42

2.5.4 Mesures d"énergie et de quantité de mouvement

43

2.6 Principe d"équivalence et géodésiques

46

2.6.1 Principe d"équivalence

46

4TABLE DES MATIÈRES2.6.2 Équation des géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.6.3 Géodésiques de longueur nulle

49

2.7 Exercices

51

3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)

53

3.1 Introduction

53

3.2 Métrique de Schwarzschild

54

3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique

54

3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild

55

3.2.3 Paramètre de compacité

56

3.2.4 Théorème de Birkhoff

58

3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes

58

3.3 Géodésiques lumière radiales

60

3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale

60

3.3.2 Coordonnées d"Eddington-Finkelstein

61

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein)

63

3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques

63

3.4.2 Effet Einstein

64

3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps

68

3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle

69

3.5 Orbites des corps matériels

71

3.5.1 Quantités conservées

72

3.5.2 Potentiel effectif

73

3.5.3 Orbites circulaires

76

3.5.4 Dernière orbite circulaire stable

78

3.5.5 Autres orbites

79

3.5.6 Avance du périastre

81

3.6 Trajectoires des photons

82

3.6.1 Potentiel effectif

82

3.6.2 Allure des trajectoires des photons

84

3.6.3 Déviation des rayons lumineux

86

3.6.4 Mirages gravitationnels

87

3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro)

87

3.7 Exercices

91

4 Équation d"Einstein

93

4.1 Introduction

93

4.2 Dérivation covariante (connexion)

94

4.2.1 Gradient d"un champ scalaire

94

4.2.2 Dérivation covariante d"un vecteur

96

4.2.3 Extension à tous les tenseurs

99

4.2.4 Connexion compatible avec la métrique

100

4.2.5 Divergence d"un champ vectoriel

105

4.3 Tenseur de courbure

106

TABLE DES MATIÈRES54.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure. . . . . . . . . . .106

4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann

110

4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d"Einstein

111

4.4 Tenseur énergie-impulsion

112

4.4.1 Définition

112

4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait

113

4.5 Équation d"Einstein

115

4.5.1 Énoncé

115

4.5.2 Limite newtonienne

116

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique

116

4.6.1 Écriture de l"équation d"Einstein

116

4.6.2 Solution de Schwarzschild

118

4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

120

4.6.4 Pour aller plus loin...

122

4.7 Exercices

122

5 Trous noirs

123

5.1 Introduction

123

5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale

124

5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild

124

5.2.2 Singularité centrale

127

5.3 Horizon des événements

127

5.3.1 Définition

128

5.3.2 Genre lumière de l"horizon des événements

129

5.4 Effondrement gravitationnel

131

5.5 Trous noirs en rotation

131

5.5.1 Solution de Kerr

131

5.5.2 Théorème d"unicité (absence de chevelure)

132

5.5.3 Horizon des événements

133

5.5.4 Ergosphère

133

5.6 Mouvement géodésique dans l"espace-temps de Kerr

135

5.6.1 Quantités conservées

135

5.6.2 Effet Lense-Thirring

136

5.6.3 Orbites circulaires dans l"espace-temps de Kerr

138

5.6.4 Processus d"extraction d"énergie de Penrose

139

5.7 Exercices

141

6 Ondes gravitationnelles

143

6.1 Introduction

143

6.2 Linéarisation de l"équation d"Einstein

144

6.2.1 Perturbation de la métrique de Minkowski

144

6.2.2 Équation d"Einstein linéarisée

146

6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT

148

6.3.1 Changement de coordonnées infinitésimal

148

6TABLE DES MATIÈRES6.3.2 Point de vue " théorie de jauge ». . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

6.3.3 Jauge de Lorenz

150

6.3.4 Jauge TT

151

6.4 Effets d"une onde gravitationnelle sur la matière

154

6.4.1 Équation du mouvement en coordonnées TT

154

6.4.2 Variation des distances

156

6.5 Génération d"ondes gravitationnelles

159

6.5.1 Formule du quadrupôle

159

6.5.2 Flux d"énergie

163

6.5.3 Luminosité gravitationnelle

163

6.5.4 Amplitude de l"onde gravitationnelle

165

6.6 Sources astrophysiques et détecteurs

165

7 Solutions cosmologiques

167

7.1 Introduction

167

7.2 Espaces maximalement symétriques

168

7.2.1 Généralités

168

7.2.2 Espaces maximalement symétriques de dimension 3

169

7.2.3 Espaces-temps maximalement symétriques

173

7.3 Espace-temps de de Sitter

174

7.3.1 Définition

174

7.3.2 Plongement isométrique dans Minkowksi 5-D

174

7.3.3 Géodésiques lumière

177

7.3.4 Horizon des particules et horizon des événements

178

7.3.5 Coordonnées de Lemaître

180

7.3.6 Coordonnées statiques

184

7.4 Espace-temps anti-de Sitter (AdS)

187

7.4.1 Définition

187

7.4.2 Immersion isométrique dansR2;3

188

7.4.3 Géodésiques lumière

190

7.4.4 Propriétés causales

191

7.5 Solutions de Friedmann-Lemaître

193

7.5.1 Espaces-temps spatialement homogènes et isotropes

193

7.5.2 Équations de Friedmann

196

7.5.3 Solutions de Friedmann-Lemaître

199

A Relativité et GPS

203

A.1 Introduction

203
A.2 Principe du système GPS et nécessité d"une description relativiste 203

A.3 Traitement relativiste

205
A.3.1 Système de référence céleste géocentrique (GCRS) 205
A.3.2 Temps terrestre et temps atomique international 207
A.3.3 Le GPS comme système de détermination des coordonnées GCRS 208
A.3.4 Mise en œuvre effective du système GPS 211

TABLE DES MATIÈRES7B Problèmes213

B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre

213

B.2 Équation de Killing

216

B.3 Trou de ver

217
B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 218

B.4.1 Mouvement uniformément accéléré

218

B.4.2 Décalage spectral et effet Einstein

219

B.4.3 Coordonnées de Rindler

221

B.5 Expérience de Hafele & Keating

222
B.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker 224

B.7 Modèle d"étoile incompressible

225

B.8 Vitesse du son relativiste

227

B.9 Photon émis par une étoile

229
B.10 Pression de radiation et effet Poynting-Robertson 230
B.11 Coordonnées de Painlevé-Gullstrand sur l"espace-temps de Schwarzschild 233
B.12 Taille apparente des étoiles compactes et des trous noirs 235

B.13 Tenseur de Killing et constante de Carter

237

B.14 Gravité de surface d"un trou noir

239

B.15 Déviation géodésique

243

C Solutions des problèmes

249

C.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre

249

C.2 Équation de Killing

253

C.3 Trou de ver

255
C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 260

C.4.1 Mouvement uniformément accéléré

260

C.4.2 Décalage spectral et effet Einstein

262

C.4.3 Coordonnées de Rindler

265

C.5 Expérience de Hafele & Keating

269
C.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker 272

C.7 Modèle d"étoile incompressible

275

C.8 Vitesse du son relativiste

280

C.9 Photon émis par une étoile

284
C.10 Pression de radiation et effet Poynting-Robertson 286
C.11 Coordonnées de Painlevé-Gullstrand sur l"espace-temps de Schwarzschild 291
C.12 Taille apparente des étoiles compactes et des trous noirs 297

C.13 Tenseur de Killing et constante de Carter

302

C.14 Gravité de surface d"un trou noir

306

C.15 Déviation géodésique

314

D Codes Sage

327

D.1 Introduction

327

D.2 Tenseur de Riemann et équation d"Einstein

328

D.2.1 Définir les paramètres du calcul

328

8TABLE DES MATIÈRESD.2.2 Calcul du tenseur de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329

D.2.3 Équation d"Einstein

330

Bibliographie

331
Index 336

Chapitre 1

Introduction

version 2013-2014

Sommaire

1.1 Motivations et objectifs du cours

9

1.2 Articulation avec les autres cours

10

1.3 Page web du cours

11

1.1 Motivations et objectifs du cours

L"astrophysique relativiste occupe une part croissante dans l"astronomie contempo- raine, notamment en regard de l"importante quantité de données générées par les observatoires satellitaires de haute énergie actuellement en orbite (XMM-Newton, Chandra, Integral, HETE-2, Swift, Fermi, NuSTAR) ou en projet (ASTROSAT (2014), ASTRO-H (2014), LOFT (2022?), ATHENA (2025?)), les observatoires de haute énergie au sol : HESS-2, AUGER, Antares, IceCube (en projet : CTA); les détecteurs d"ondes gravitationnelles actuellement en service (VIRGO et LIGO, au sol) ou en projet (LCGT au Japon, eLISA dans l"espace), les observations en optique/infrarouge d"effets relativistes : mirages gravitationnels, orbites stellaires au voisinage du trou noir central de notre Galaxie, courbes de luminosité des supernovae Ia à grand décalage spectral, etc. les satellites dédiés à la cosmologie (WMAP, Planck, Euclid). Toutes les sources observées par les instruments mentionnés ci-dessus sont soit cosmologi- ques, soit mettent en jeu des objets compacts (trous noirs, étoiles à neutrons). Dans les deux cas, la base théorique de leur étude est la relativité générale. En plus des nombreuses applications à l"astrophysique, il convient de mentionner la

première application de la relativité générale à la vie pratique (!), à savoir le système de

10Introductionpositionnement GPS. Ce dernier serait en effet inopérant si on se limitait à une description

purement newtonienne du champ gravitationnel de la Terre, ainsi que nous le verrons dans l"Annexe A Le but de ce cours est d"introduire la relativité générale en 15 h, en mettant l"accent sur les applications astrophysiques. À cette fin, on évitera une exposition trop formelle et, sans s"interdire une certaine rigueur mathématique, on utilisera abondamment des

figures et des exemples simples. En particulier, un rôle central sera donné à la métrique

de Schwarzschild, qui est à la base de la description du champ gravitationnel des étoiles compactes et des trous noirs, mais aussi des étoiles de type solaire et des planètes lorsqu"on veut tenir compte des effets relativistes, comme pour le système GPS. On espère qu"un étudiant qui aura suivi le cours, même s"il ne fait pas carrière en relativité, sera à même de comprendre une phrase comme " en faisant l"hypothèse qu"elle est due à un mouvement orbital, la périodicité de 17 minutes observée avec l"instrument NACO du VLT autour du trou noir central de la Galaxie montre que ce dernier doit être en rotation rapide » (page de garde dequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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