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UNIVERSITÉ DUQUÉBEC ÀMONTRÉAL

OPTIMISATIONDEPORTEFEUILLE APPLIQUÉEA UXFONDSDISTINCTS

MÉMOIRE

PRÉSENTÉ

COMME EXIGENCEPAR TIELLE

DE LAMAÎTRISE ENMA THÉMATIQUES

PAR

JULIE BÉLANGER

SEPTEMBRE 2020

$YHUWLVVHPHQW

REMERCIEMENTS

Toutd"ab ord,jetiensà sincèrement remerciermon entourage quecesoitma famille ou mesamis pour leursupport inconditionnel,etce,p euimportela distancequi apu nous séparer.Merci également àmescollèguesaux cyclessup érieurs desdifféren tes universitésà Montréal pourlesdiscussions, leursconse ilset lesb eauxmomen tsdes dernières années. Je remerciesp écialementmadirectricederecherc he,Anne Macka y, poursonsoutien constant,ses précieuxconseils etses remarques judicieuses.Elle asu meguideret susciter monin térêtpourla rechercheen mathématiquestout aulongdemamaîtrise. Je tiensaussi àremercier lesprofesseurs dudépartemen tde mathématiquesde l"Universitédu Québec àMontréal(UQAM) pour leursquestionsetcommen taires constructifs lorsde maprésen tationà l"undesséminairesde scycles supérieurs en mathématiques financièreset actuariellesà l"UQAM. Finalement,merci àma soe urAnnie Claudequim"aapprisàtoujours merendre au boutde mesrêv eset demesprojets, telcelui dep oursuivremes étudesàlama îtrise en mathématiquesfinanciè resetactuarielles.

TABLEDES MATIÈRES

LISTE DEST ABLEAUX.... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .vi LISTE DESFIGURES .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. vii RÉSUMÉ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ix INTRODUCTION. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1 CHAPITRE INOT IONSDEBASE.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6

1.1 Utilitéet av ersionaurisque... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6

1.1.1 Leparado xedeSaint-Petersb ourg. ........ .. .. .. .. .7

1.1.2 Utilitéiso élastique... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .11

1.2 Optimisationcon vexeetrelaxationlagrangienne .. .. .... .. .. .. 14

1.2.1 Problèmed"optimisation conv exestandard..... .. .. .. .. 16

1.2.2 Relaxationlagrangienne .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .18

1.3 Marchéfinancier. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22

1.3.1 Notionsde calculsto chastique ...... .. .. .. .. .. .. .. 22

1.3.2 Portefeuilleetin vestissemen t....... .. .. .. .. .. .. .27

1.3.3 Mesureneutre aurisque .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .29

1.3.4 Complétudede marché .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 34

CHAPITRE IIOPTIMISATION DEPORTEFEUILLEP ARL"APPR OCHE MARTINGALE. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .37

2.1 Problèmed"optimisation dynamiquede portefeuille .. .... .. .. .. 38

2.2 Problèmestatique d"optimisationdu portefeuille .. .... .. .. .. .. 39

2.3 Stratégied"in vestissementoptimale.... .. .. .. .. .. .. .. .. .43

2.3.1 Dynamiquedu portefeuille optimalactualisé. .... .. .. .. .44

iv

2.3.2 Dynamiquedu portefeuille actualisésousla stratégieoptimale. .46

2.4 Applicationen utilisant l"utilitéisoélastique. .. .... .. .. .. .. .47

CHAPITRE IIIOPTIMISATIONSOUS LAGARANTIED"UNF ONDSDIS- TINCT .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .51

3.1 Problèmed"optimisation av eclebénéficerésultant d"uneoption .... .51

3.2 Problèmed"optimisation appliquéau fondsdistinct .. .. .. .. .. .. 61

3.2.1 Dynamiquedu fondse tdes actifssuiteàl"incorp orationde frais. 62

3.2.2 Problèmed"optimisation dynamiqueappliqué aufonds distinct. .65

3.2.3 Résolutiondu problèmestatique appliquéau fondsdistinct .. .. 67

3.2.4 Problèmede représentation appliquéaufondsdistinct .. .. .. .68

CHAPITRE IVRÉSUL TATSNUMÉRIQUES.... .. .. .. .. .. .. 71

4.1 Stratégiesd"in vestissementdufondsdistinct .. .. ...... .. .. .. 73

4.2 Paramètresdufondsdisctinct .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 84

4.2.1 Fraisappliquésau fondsdistinct .. .. .. .. .. .. .. .. .. .84

4.2.2 Échéancedufonds distinct. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .90

4.3 Modélisationdel"a version aurisque.... .. .. .. .. .. .. .. .. .91

4.3.1 Caractérisationde l"av ersionaurisquedel"assuré. .. .. .. .. 92

4.3.2 Évolutiondansle tempsd"un fondsdisctinct .. .. .. .. .. .. 97

CONCLUSION .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .99 ANNEXE ASOLUTIONS AUX ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLESSTO- CHASTIQUES .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .102 A.1 Solutionà l"EDSdu processus S. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 103

ANNEXE BCALCUL DUMUL TIPLICATEUR DELAGRANGEPOUR

LA FONCTIOND"UT ILITÉISOÉLASTIQUE..... .. .. .. .. .. .. 104 B.1 Multiplicateurde Lagrangeoptimal dela proposition 2.1. .. .... .. 104 B.2 Multiplicateurde Lagrangeoptimal duthéor ème3.1 .. .... .. .. .105 v ANNEXE CPR OPRIÉTÉSMARTINGALES ...... .. .. .. .. .. 110

C.1 Démonstrationqu eleprocessus stoc hastique

~~Sest unemartingale .. .110 ANNEXE DCALCUL DUT AUX DEFRAISÉQUITABLELORSQUELE FONDSDISTINCT ESTENTIÈREMENT INVESTID ANSL"A CTIFRIS- QUÉ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 112 D.1 Déterminationdutaux defrais équitableà partirde l"équation (4.1). .. 112

LISTE DEST ABLEAUX

TableauPage

4.1 Contraintesappliquéesàla stratégieoptimale en(3 .35). .. .. .. .74

4.2 Utilitédu fonds distinctetgain certainéquiv alent .... .. .....79

4.3 Exercicede lagaran tiedu fondsdistinct.. .. .. .. .. .. .. .. 82

4.4 Espérancedumon tant débourséparl"assureuràl"éc héance... .. .83

4.5EPh

T"(F

TG)++G"i. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85

4.6 Tauxdefrais équitables: G=?ini. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .88

4.7 Tauxdefrais équitables: G= ??75?ini. .. .. .. .. .. .. .. .89

4.8 Tauxdefrais équitables: T=15. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 91

4.9 Différenceen trel"aversion aurisquedelastratégieet del"assuré,

c s= ∞???4%etcf= ∞???4%. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .95

LISTE DESFIGURES

FigurePage

1.1 Utilitéiso élastiquesousdifférents niveaux d"aversionau risque... .13

1.2 Propriétésdes fonctionscon vexes etconcavesdela définition1.3 ..15

1.3 Relaxationlagrangienne av ecfonctiond"optimisationconcave .. .. .21

1.4 Relationen tretetSt. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .34

2.1 Valeurterminale optimaleenfonction dela valeur terminaledel"actif

risqué .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .48

2.2EP[U(XT)]pourdifféren tesproportionsco nstantes tpourtout t?[0;T]49

2.3XTobtenuepar 100 000simulationsde Monte-Carlo .... .. .. .50

3.1 Résultatd"une optiond"ac hat àl"échéancetelquedéfini en(3.1 )... 52

3.2 Fonctiond"optimisation originaleetconcavifiée .. .. .... .. .. .53

3.3 Dérivéedela fonctionconca vifiée~u. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 58

3.4 Relationen tre

eteteSt. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .65

4.1 Incidencedu tauxde fraissur lesstratégies Optimale[0;2]etOptimale

[0 ;1]pourune simulation .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .75

4.2 Distributionde (FT-G)++Gsous différentesstratégies. .. .. .. 77

4.3(FT-G)++Gsous l"interdictiondel"utilisation d"effetde levier. .. 78

4.4 Stratégied"in vestissementoptimaledufondsdistinctp our

/ 3. .. 80

4.5EP?

T(FT-G)++G≡?pourcf/ 2:448%-cs. .. .. .. .. .. .86

4.6 Impactsur FTde lav ariationdestauxde fraiscfetcs. .. .. .. .87

viii

4.7FTpourdiff érenteséchéancesa veccf? ):???%etcs? ):???%. .. .91

4.8?FT-G?++Gpourdiff érents

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 93

4.9 Impactde

sur lefonds distinct. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .94

4.10 Incidenced"une var iationdel"aversionau risquesur lastratégieO⎷t?-

male[(;?]etO⎷t?male[(;)]pourune simulation .... .. .. .. .. 96

4.11 Valeurespérée dufondsdistinctjusqu"à l"éché ance. .. .. ...... 98

4.12 Utilitéesp éréedufondsdistinct jusqu"àl"éc héance. .. .. .... .. 98

B.1 Relationen tre-etxinide laprop osition2.1.. .. .. .. .. .. .105 B.2 Relationen tre-etxinidu théorème3.1 .. .. .. .. .. .. .. .. 109

RÉSUMÉ

En considérantlemarc héfinancier dumodèlede Black-Sc holes,on étudieleproblème d"optimisation dep ortefeuillepourun investisseura yan tuneaversion aurisquedans le contexted"unfondsdistinct. Enimp osant unnouv eaumarc héfinancierfictifpre- nanten considérationles fraisdu fondsdistinct, onrésout leproblème d"optimisation à l"aidede l"approc hemartingaleetenprocédan tà uneconca vification.De plus,on compare lasolution théoriquedu problèmed"optimisation àdifféren tes stratégies d"investissementàl"aidede simulations deMon teCarlo dumarchéfinancier. Enpra- tique, lastratégie d"inv estissementoptimalethéoriqueoùl"oninterdit l"utilisation d"effet delevier estplus av antageuse quelastratégied"investissementtraditionnelle à proportionconstant edupointde vuede l"assureuretdel"assuré. Afinde diminuer le tauxde fraisé quitable,on proposederep orterl"éc héanceetdedimin uerle niveau de garantiedufonds distinct.P arailleurs, toujoursd"un pointde vuepratique, l"in- vestisseurmaximise dav antagel"utilitéespéréedel"assuréenutilisan tune stratégie supposantquel"assuré alégèremen tune plusgrand eaversion aurisque quece qu"il a enréalité. Mots clés: Fondsdistinct, théoriede l"utilité,optimisation dep ortefeuille,appro che martingale, relaxationlagrangienne, technique deconcavification

INTRODUCTION

Merton (1969)ou vritlavoie àune grandelittératureenpré se ntan tun despre miers problèmes d"optimisationde portefeuille surunepério dede temps continuepourun investisseuray antuneaversionaurisque.En effet,mieux connudenosjourscomme le problème d"optimisationde Merton,Merton (1969)s"in téresseaux stratégiesd"in ves- tissementet deconsommation optimalesmaximisan tl"utilité espérée dansunmarché financier comportantdeuxactifs,soit una ctifsans risqueet unactif risqué.Mer- ton (1969)généralise également sesrésult atsp ourunmarchéfinanciercomportan t plusieurs actifsrisqués etun actifs ans risque.Les solutionssontobtenuesen utili- santla technique deprogrammationdynamique.Merton (1971)prolonge sonartic le précédentet obtient notammentdessolutions explicitespourla grandefamille de fonctions d"utilitéà av ersionabsoluehyperbolique (HARA,hyperbolicabsoluterisk aversion). Ens"in téressantauproblèmed"optimisationde Mertonda nsun contexte de marchéfinancieroù lesactifs financierss on tmo déliséspar desmouvementsbrow- niens géométriqueseten supposan tqu"il existeuneuniquemesureneutreau risque, Coxet Huang(1989), Karatzaset al.(1987) etPliska (1986)présen tent unemé- thodede résolutionsimplifiée :l"appro che martingale.On retrouvelesnotionsde cette approchedefaçonplus détailléeen treautres dansles ouvragesde Korn(1997), Carpenter(2000),quan tà elle,estlapremière às"in téresserau problèmed"optimisa- tion dep ortefeuillelorsquelaric hesseterminale estdotée d"unegarantiefinancière. 2 Dans cecas, lafonction objectif n"estpas concave.Carp enter présente latechniquede concavificationappliquée àla méthode martingale.La techniquedeconca vification est étudiéede façonplus approfondiedans l"ouvragede Reichlin (2013). Ensuite, Linet al.(2017) appliquentleproblème d"optimisationde Carpen ter(2000) dans lecon textedeproduits d"assuranceliés àlaperformance demarc hésb oursiers; c"est-à-dire unpro duitd"investissemen tdontlemontantp erçuparl"assuréà son décès et/ouàl"éc héancedép enddelap erformanced"unactifsous-jacen tet d"une garantie.Lin et al.(2017) étudientl"impactde larègleme ntation ence quiatrait à laprop ortiond"unfondsou d"unp ortefeuilled"in vestissemen tsur lesrésultats d"optimisation théoriques. Il existedeux principalescatégories definancemen t(p ourl"assureur) deproduits d"assurance liésà lap erformance demarchésbousiers: lefinancemen tpartauxde participation etle financement paraccumulationde frais.C henet al.(2019) s"inté- ressentau problèmed"optimisation av ecfonction objectifnon-concaveappliqué dans le contextedeproduits d"assuranceliés auxmarchés boursiers, maisen considérant l"incorporationde taxeset unecon trainte detarification équitable(enconsidérant un financementpartauxde participation).Dans lemême ordred"idées, MacKay et Ocejo(2019) étudient leproblèmed"optimisationde portefeuill een ajoutan tune contraintedetarification équitable,mais dansle contexte d"unfonds distinct( variable

annuities) oùune garantie surlebénéfice àl"éc héanceest financéeparl"accum ulation

de frais. Plus précisément,dansle mêmeordre d"idéesqu"un fondscomm unde placement, un fondsdistinct estun typ ed"in vestissementmettanten communplusieursplace- mentsde différents investisseurset dontlagestiond"inv estissement estassuréeparle 3 détenteurdu fonds.Cep endant, offertuniquementpardescompagnies d"assurance, le fondsdistinct sedistingue principalement dufonds communplacement parle fait qu"il soitdoté d"unegaran tie(généralemen tde75%à100%du montantinitialin- vesti)à ladate d"échéance ouau décèsdel"inv estiss eur. Eneffet, sile montantdu placementest inférieurau montan tde lagarantieàladate d"échéance, parexemple, l"assureur assumerala différenceafin quel"in vestisseur (l"assuré)reçoiv eaumini- mumle montan tdelagarantiedu fondsdis tinct. Bienqu"habituellementle mon tant du placementpuisseêtre retiréà n"importe quelmomen tmo yennantdes fraisde pénalité,le fondsdistinct estun typ ed"in vestisseme ntàlongterme,soit dontla date d"échéancesesitue entre 10et20ans. Deplus, lecapital inv estidans unfonds distinct estprotégé contre lescréanciersencas defaillite, cequi peut s"av érera va nta- geux pourlespropriétaires d"entreprise. Leprincipal inconvénient dufonds distinct est queles frais degestiondufonds sont pluséle vés queceux dufondscommun de placement,car ilsserv ent enpartieàfinancerla garantie dufonds. Également,c haquefondsdistinctest associé àune catégoriede placementetp ossède des caractéristiquesdistinctes(garantie, dated"éc héance,tauxdefraisappliqué,etc.).

Le conseilleren sécuritéfin ancièreprop oseinitialementà l"assurédifférentesoptions

de fondsdistincts notamment enfonctiondesa toléranceau risqueet desa préférence en cequi atrait auxcatégories d"actifs(fonds d"actions,fonds indiciels,fonds du marchémonétaire, etc.). D"un pointdevuemathé matique,la garantie etleprélèveme nt defraisdufonds dis- tinct complexifientgrandement lamodélisationet larésolution duproblèmed"optimi- sation d"investissementduportefeuille.Desoutils mathématiquesd"analyse convexe et desnotions av ancéesdecalculstochastique applicablesau marché financiermodé- lisé doiventêtrejudicieusemen tutilisés. Lasolutionauproblèmed"optimisationde 4 portefeuillediffè regrandementde lasolutionobtenue parMerton (1971)lorsqu"on étudie leproblème dansle contexte d"unfonds distinct.Dece fait,un gestionnaire de placementd"unfonds distinctne devraitpas utiliserla mêmestratégie d"inv estis- sementque pour unfondscommun deplacemen t. Comme l"articlede Chenet al.(2019), l"articlede MacKay etOcejo(2019) fait partie desrares articlesconcernan tles produitsd"assuranceliés auxmarc hésbour- siers offrantunegaran tieà l"échéanceàs"in téresseraux stratégiesd"inv estissement principalementdu poin tdevuedel"assuré.En effet,la littérature sep enche parti- culièrementsur lep oint devuedel"assureur(voir Linet al.(2017), BoyleetHardy (1997), Delong(2014), Bernardet LeCourtois (2012) etMo eniget Zhu(2018)par exemple). Dans cemémoire, ons"in téresseparticulièremen tàlastratégie d"investissement réa- liste optimaled"un gestionnairede placement d"unfonds distinctquidésiremaximiser le gaind"un assuréa yan tuneaversionaurisque.P our cefaire,onétudieprincipa- lementle problèmed"optimisation sanscon traintes deMacKa yetOcejo(2019)et redériveles résultatsen détails.Ainsi, toutesles notionsa vancées d"optimisation convexeetdemathématiques financières nécessairesà lamo délisationetàla réso- lution duproblème d"optimisation deportefeuilleappliqué auxfonds distinctssont présentéeset vulgarisées.De plus,des explications supplémentaires auxpreuv esde certains théorèmesutilisés ont étéajoutéesp our enfaciliterlacompréhension au lecteur. Parailleurs, onprolonge lasection d"illustrations numériq uesde MacKayetOc ejo (2019) enanalysan tdefaçonplus approfondieles résultatsthéoriques àl"aide de

100 000simulationsde Monte Carlodumarché financiersur unep érioded"in vestis-

5 sement.P ourcefaire,une discrétisation dutemps estnécessaire puisqu"enpratique il n"estpas possible derééquilibrerunp ortefeuillede façoncon tinue. Ons"interroge particulièrementsur l"applicabilité desrésultatsthéoriquesobten uset propose des ajustements.Dece fait,on analysel"impact decon traintes surla stratégied"in ves- tissementoptimale afinde seplacer dansun contexte dav antage réaliste. Ensuite, onpro cèdenotammentà différentescomparaisonsa vec desstratégiesd"in- vestissementréalistesjugées plustraditionnelles. Pour cefaire, ons"in téressenon seulementau poin tdevuedel"assuré(en analysant l"utilitéesp érée,les préférences face auxcar actéristiquesdufondsdistinct etl"a version aurisque del"assuré), mais égalementà celuide l"as sureur (enétudiantlescoûtspourl"assureur ainsique la tarification équitabledu fondsdistinct). Finalement, onanalyse l"évolutiondansle temps d"unfonds distinctsous lesdifféren tesstratégies d"inv estissementétudiées. L"organisation dece mémoirev acomme suit.Lechapitre 1in troduit lesco ncepts d"utilité etd"a versionaurisqueetprésen teles notionsd"optimisation con vexeetde relaxation lagrangienne.Finalement, desconceptsdebase d"unmarc héfinancier ainsi que desnotions importan tesdecalculstochastique sont également présentésdans ce chapitre.Lec hapitre2 seconcentresur lamétho dede résolutiond"unproblème d"optimisation dep ortefeuilleparl"approc hemartingale. Auchapitre3,on s"intéresse au problèmed"optimisation dep ortefeuilledans lecasoùla fonctionob jectifn"est pas concave.Ensuite,onapplique leproblème d"optimisation dansle contexte d"un fonds distinct.Finalemen t,uneétuden umériquedes résultatsobten usauchapitre 3 est présentéeauc hapitre4. Ons"intéressenotammen tau réalismeet àl"application pratique desrésultats.

CHAPITRE I

NOTIONS DEBASE

Dans l"optiqued"étudier leproblème d"optimisationde porte feuilleappliqué aux fonds distincts,une présentation desconceptsd"optimisationet desnotions dema- thématiques financièresestnécessaire. Cesoutils mathématiquesnous perme ttrons tout d"aborddemo déliserle problèmed"optimisationétudiéet nousoffren tdes pro- priétés quison tutiliséespour sarésolution dansleschapitres suivan ts.

1.1 Utilitéet av ersionaurisque

Cette sectionest principalement baséesurlepremier chapitre deP ennacchi (2008) ainsi quesur l"ouvragede Norstad(1999) etprésen tela théoriede l"utilité: l"approche standard utiliséelors dela modélisation del"a versionaurisque .No usmotivons,tout d"abord,cette technique etnousprésentons, ensuite,son applicationau problème d"investissementdeportefeuille. 7

1.1.1 Leparado xedeSaint-P etersb ourg

Le conceptd"utilité aété intro duiten 1738parDanielBernoullienprop osant une solution auparado xedeSt-Petersb ourg:

"Peterlance unepièce àrép étitionjusqu"à l"obtention ducôtéface.Ce dernierre met

un ducat

1à Pauldansle caso ùle côtéface estobtenuau premierlancé, deuxducats

au deuxièmelancé, quatreducats autroisième, huit ducatsau quatrièmeet ainside suite. Legain estdonc multiplié pardeux àchaquelancé supplémentaire.» 2 En interprétantlejeuxprécéden tcomme unactif risqué,ons"intéresseauprix que Paulserait prêtà pay erp ourparticiperaujeu.P ourcefaire,on estintuitivemen t portéà calculerl"esp érancedes gainsfuturs.Ainsi,en modélisan tle problèmeci-haut avecp?/12 ?étantla probabilitéd"obte nirface pourlapremière foisau ième lancé aveci/ 1;2;3;:::etx?/ 2?-1représentantlegain auième lancé,l"esp érancedes gains,μx, estdonc :

μx/∞X

/1p ?x? X /1 12 2?-1 12 1 +14 2 +18

4 +116

8 +:::

12 (1 +1 +1 +1 +:::) /1:1. Typedemonnaie.

2. TraductionlibredeP ennacchi (2008),p.5

8 On obtient,ici,"l"effet paradoxal» :la plupartdesindividusalloueraien tune somme modérée(et noninfinie) pour prendrepart àceje u.C"est alorsqu"in tervient le concept del"utilité. Seloncette théorie, unindividu s"intéressenonpas auxgains potentiels,maisbien àl"utilité deces gains.D ece fait,le montan taccordé pour prendre partau jeuest liéà l"espérance del"utilité desgains, -u. Comme définidans lepremier chapitre (Intro duction)deNorstad(1999), unefonc- tion d"utilitéreprésen telapréférence subjectiv ed"unindividu/in vestisseurfaceà différentsniv eauxderichesse ainsique leniveaude risquequ"il estprêt àprendre dans lebus d"augmenter sonniveaude richesse. End"autresmots, Inge rsoll(1987) affirme dansson premierc hapitrequ"il estpossiblede modéliser etquan tifierlavaleur subjectivequ"unindividu attribue àun montantd"argen tpar unefonction d"utilité. Le lecteurest référéà lasec tion1.1 d"Ingersoll(1987) etlasection1.1 deP ennacchi (2008) pourunein tuitionplus approfondiedelanotion d"utilité. On considèrequ"unindividu n"atteint jamaisun niveaudesatisfaction totalde ri- chesse.Chaque montan tsupplémentaireaugmenteson niveaudesatisfaction. Ainsi, la fonctiond"utilité eststrictemen tcroissan te. De plus,on suppose quel"utilitémarginale(la dériv éede lafonction d"utilitépar rapportà laric hesse)est, quantàelle, strictement décroissante.Unejustific ation de cettecaractéristique provien tdufaitqueleniv eaude satisfactiond"un individu augmentede moinsen moinsrapidemen tplus sonniv eauderichesse augmente. Par exemple, unindividu possédan tinitialement5$obtientune plusgrande augmentation de sonutilité enrecev ant unmontantde10$en comparaisonà unindividu possédan t initialement500 000$. Eneffet, pour cedernier,l"ajout de10$engendre unetrès faible variationdeson niveau desatisfaction faceàlaric hessequ"il possède. 9 Un faitmoinsin tuitifest lelienentre l"utilitéet l"av ersionau risque.L"aversion au risque estdéfinie (notamment àlasection 1:1:4d"Ingersoll (1987))comme étant la crainted"un individuface àun risqueou àun événemen tincertain. Plusprécisé ment, l"aversionaur isque représentelefaitqu"unindividu hésiteàentreprendre unév éne- mentcomp ortantungaintrèsincertain plutôtqu"un autreév énement compor tant un gainp otentielpluspetit,mais dav antagecertain.De cefait, cettedernièrejus- tifie égalementlastricte conca vitéd"une fonctiond"utilitéd"unindividua yan tune aversionaurisque. Puisque nousconsidérons unindividu rationneldon tle niveau desatisfactionderi- chessen"est jamaisattein tet possédantune av ersionaurisque,onpeut affirmerque sa fonctiond"utilité estde formecroissan tee tstrictemen tconcav e.Dansceca s,ilest possiblede définirl"utilité, telleque présentée, entre autres, dansChen?t al.(2018) et Korn(1997) : Déτnition 1.1.U?? ???ct???d'ut?l?té U: [0;∞)→Rd??t Êtr?c??t??ûm??t d??ér??t?abl??élém??td? C∞?? Êtr?str?ct?m??tcr ??ssa?t??t str?ct?m??tc??cav? ? Sat?s?a?r?l?sc ??d?t???sd'I ?ada?limx!?U0(x) =∞?tlimx!1U0(x) =0 . Les conditionsd"Inada so ntdesconditionstechniquesquiassuren tl"existence d"une solution. Ellespro viennentdel"articled"Inada(1963) quiprésen tedes conditionsafin d"avoirunéquilibre économique decroissance. En représentant,maintenant ,l"utilitédesgainsdePaulpar lafonction U∞(x) =⎷x, 10 on obtientquel"utilité espérée deP aulest: -u=) X /1p ?U1(x?) X /1θ 12 ?⎷2 1 X /1ψ

1⎷2

+1 ≈1:707: Ainsi, Paulseraitprêt àparticip erau jeuen versantun montan tunique offrant la même utilitéesp érée,communément appelémontantéquiv alentcertain( certainty equivalent), soit2:914ducats. Eneffet, U1(2:914) =⎷2:914≈1:707. Dénition 1.2.On dénitle montanté quivalentc ertainRpourune fonctiond'uti- litéUet unevariable aléatoir eXpar

U(R) =E[U(X)];(1.1)

dans lec asoùE[U(X)]<∞. Dans leparado xedeSt-Petersb ourg,puisque l"utilitédesgainscroîtà unrythme moins rapideque ladécroissance desprobabilités associées (àcause dela décroissance de l"utilitémarginale), lemon tant allouépourprendrepartau jeuest unevaleur finie. Ensuite,on constateque l"utilisationdu conceptde l"utilitédans lecas ci-haut reflète égalementleniv eaude satisfactiondujoueur(ou del"in vestisseur) faceà l"incertitude desgains futurs.P arex emple,silafonction d"utilitéavait plutôtété 11 deU2?x? ?x-2, représentantuneplusgrandea version aurisque 3, Paulauraitété prêt àpa yerplutôt):???ducats. Finalement,comme mentionné auchapitre1.1 deP ennacchi(2008),on pourrait s"interrogersur lec asoù lafonctiond"utilitécroît aumême rythmeou plusrapi- dementque lerythme auquelles probabilitésdécroissen t(toujours dansle contexte du paradoxedeSt-Petersb ourg).Dans cecas-ci,l"espérancedel"utilit édiv ergerait. Cependant,Pennacc hijustifiequepuisquemêmel"individu leplus fortunéau monde possèdeune richesse finie( <1), personnen"esten mesurede proposer lejeu de lancementde piècejoué parP eter.

1.1.2 Utilitéiso élastique

Pennacchi(2008)et Korn (1997)pré senten tnotammen tlagrandefamilledefonctions d"utilité àa versionabsoluehyperb olique(HARA, ?y⎷e?bol?cabsolute??sk ave?s?on) pouvants"écriresousla forme: U

HARA?x? ?)~

"x)~ ;(1.2) où~

6? (," >(,x1-~

Cette grandefamille englobe lesfamillesd"utilitéà av ersionabsolue aurisque constante (CARA,Constant absolute??sk ave?s?on) (~ ?1;~? )) etla familled"a version relativeau risquec onstante (CRRA,Constant ?elat?ve??skave?s?on ) (~

<),~? ().3. Desexplications supplémen tairesconcernantlesdiσérents niveauxd'av ersionau risquesont

présentéesplus loinà lasous-section 1.1.2. 12 Comme mentionnéprécédemmen t,l"aversionaurisque estliéeàl"utilitémarginale. Ainsi, unemesure évaluan tledegréd"aversion aurisque doits"attarder principa- lementsur l"utilitémarginale plutôtque surla fonctiond"utilit émême. L"av ersion relativeau risque,Ar??, estune mesureutilisée afinde quantifier l"av ersionau risque.

Elle estdéfinie par:

A r?x? ?xA?x?; oùA?x? ?U??(x)U ?(x)représentel"a versionabsolueaurisqued"Arro w-Pratt( A??ow- P?attme asu?eo{absolute??sk-ave?s?on) etoù x >(représentela richesse. Onpeut interpréterA?x?comme unrat ioduniveau d"av ersionaurisquepar rapportauniveau d"augmentationde l"utilitéf aceà uneaugmentationde laric hesse,et ce,pourun niveaude richesse x. Dans leca sd"unindividua yan tune aversionaurisque(dontla fonctiond"utilité est présentéeàla définition 1.1),l"a versionrelative aurisque eststrictemen tpositive puisque l"utilitémarginale eststrictemen tp ositiveetla dérivéedel"utilitémarginale est strictementnégative. Plusparticulièrement,dans lecas delafamilleCRRA, puisque l"aversionrelativeest constante,l"av ersionabsolue aurisqued"Arrow-Pratt décroît aumême rythmeque laric hessecroît. Cettefamille estfréquemmentutilisée en finance,car sona version relativeaurisquenedép endpasduniv eaude richesse auquel elleest évaluée. L"utilisationd"unefonctiond"utilité dela familleCRRA simplifie lesproblèmes étudiés.Cep endant ,commementionnéparWakker (2008)(à la sectionAnalys?st?? ou}?t?eA?? ow-P?att ?ndex), ilest importan tdeprendreen considération ledomaine surlequel lafonction d"utilitéest étudiée. Dans lafamille defonctions d"utilitéCRRA, onretrouv ela fonction d"utilitéiso é- 13 lastique (Power utility). Cettedernière estobten ueen substituant"?(1?~ ?0et~ ?(1? )dans lafonction d"utilitéHARA en(1.2) :

U(x) /x∞

(1? );(1.3) où >0, ?/ 1. Àl"aide dequelque smanipulations algébriques,onobtient que représentele coefficien td"aversionrelative aurisque,soitA?(x) / pourtout x >0.(a)Utilité enfonction dela ric hesse(x) (b)Utilité marginale Figure 1.1:Utilité isoélastiquesousdiéren tsniv eauxd'a versionaurisque À partirde lafigure 1.1,il estp ossiblede constaterque plusle paramètre est grand, plusl"a versionaurisqueestgrande. Deplus, onv oitque pour lesv aleursde / 2, / 3, / 4etquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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