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C. Lainé

PRISME DROIT ET CYLINDRE

1. Prisme droit

1) Définitions

Exemple

: On a construit ci-dessous un prisme droit à base triangulaire en perspective cavalière.

Ses bases sont les triangles ABC et DEF.

Ses côtés, appelés faces latérales, sont les rectangles ABED, BCFE et ACFD.

Il a six sommets : les points A, B, C, D, E et F.

Il a neuf arêtes : les segments [AB], [BC], [CA], [DE], [EF], [FD], [AD], [BE] et [CF]. L"arête [DF] n"est normalement pas visible : elle est tracée en pointillé.

Un solide est un objet de l"espace.

Un prisme droit est un solide qui a :

- deux polygones superposables pour faces parallèles ; on les appelle les bases - des rectangles pour les autres faces ; on les appelle les faces latérales.

Objectifs :

• Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir d"un patron • Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné. • Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides. • Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d"un prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. A B C D E F ~ 2 ~

C. Lainé

Exemple : Dans l"exemple précédent, les trois arêtes latérales [AD], [BE] et [CF] ont la même

longueur : c"est la hauteur du prisme.

Remarque

: Lorsque les bases sont des rectangles, le prisme droit est un parallélépipède rectangle.

2) Patron d"un prisme droit

Exemple : Patron d"un prisme droit à base triangulaire

3) Aire latérale d"un prisme droit

Exemple : Soit un prisme droit à base triangulaire de longueurs 4 cm=a, 3 cm=b,

6 cm=c et 10 cm=h.

()= + + ×aa b c h ()4 3 6 10 13 10 130= + + × = × =a. Donc l"aire latérale de ce prisme droit est égale à 130 cm 2. • Les arêtes qui relient les bases sont appelées les arêtes latérales ; elles ont toutes la même longueur. • La longueur commune des arêtes latérales est la hauteur du prisme droit. Le patron d"un solide est une figure plane qui, pliée, permet de reconstituer le solide. Elle est composée des faces du solide. L"aire latérale d"un prisme droit (aire des faces latérales) est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur du prisme. ~ 3 ~ C. Lainé 4) Volume d"un prisme droit Exemple : Soit un prisme droit, dont la base est un triangle rectangle, 4 cm=a, 3 cm=b,

5 cm=c et 10 cm=h.

aire de la base= ×vh. Or l"aire du triangle rectangle est égale à 23 46 cm

2 2× ×

a b.

D"où

6 10 60= × =v.

Donc le volume de ce prisme droit est égal à 60 cm 3.

2. Cylindre

1) Définition

2) Patron d"un prisme droit

Le volume d"un prisme droit est égal au produit de l"aire de sa base par sa hauteur. Un cylindre est un solide dont les deux bases sont des disques identiques reliés

à angle droit par une surface courbe.

Le patron d"un cylindre est constitué de deux disques de même taille pour les bases, et d"un rectangle qui a pour largeur la hauteur du cylindre et pour longueur le périmètre d"un disque. ~ 4 ~ C. Lainé 3) Aire latérale d"un cylindre

Exemple

: Soit un cylindre de rayon 3 cm=r et de hauteur 10 cm=h.

2π= × × ×ar h.

2 3 10 60 188,5π π= × × × = ≈a.

Donc l"aire latérale de ce cylindre est égale à environ 1885,5 cm 2.

4) Volume d"un cylindre

Exemple : Soit un cylindre de rayon 3 cm=r et de hauteur 10 cm=h.

2 aire de la baseπ= × = × ×vh r h.

D"où

23 10 9 10 90 282,74π π π= × × = × × = ≈v.

Donc le volume de ce cylindre est égal à environ 282,74 cm 3. L"aire latérale d"un cylindre de hauteur h, dont la base est un disque de rayon r, est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur du cylindre, c"est-à- dire à

2r hπ× × ×.

Le volume d"un cylindre de hauteur h, dont la base est un disque de rayon r, est égal au produit de l"aire de sa base par sa hauteur, c"est-à-dire à

2r hπ× ×.

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