M1MI2016 Codes et Cryptologie Feuille dexercices n 1. PDF

17 avr. 2015 Le CAS 2 concerne donc les nombres de Mersenne non premiers et le ... EXERCICE 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité. A. B.

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Exercice 2 : On considère les nombres de Mersenne Mn = 2n – 1 pour n entier naturel non nul. 1. a) Conjecture : Mn est un multiple de 3 si et seulement si

Exercices sur les nombres premiers

Exercice 6. — Soit p ≥ 3 premier et soit Mp = 2p − 1 le nombre de Mersenne associé. (a) Montrer que si q est un diviseur de Mp alors q ≡ 1 mod 2p et q

Exercices corrigés darithmétique

Exercices corrigés d'arithmétique. Diviseurs –Division euclidienne : Exercice 1 Il attendra donc 2835 jours. Exercice 6 : Nombres de Mersenne: a: Montrez ...

Exercice 1 : bases de numération (5 points) 1) Ecrire en décimal le

4) Convertir en base 5 le nombre décimal 2048. 5) Un repunit binaire est un nombre binaire qui ne comporte que le chiffre. 1. Un nombre de Mersenne est un

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problèmes corrigés. Il pourra également intéresser les élèves préparant l 2. Exercice 4 (Nombres de MERSENNE NOMBRES DE FERMAT). a) Nombres de Mer ...

Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014

19 juin 2014 Exercice 4. 5 points. Candidats ayant choisi la spécialité mathématique. Partie A ... L'algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de ...

Fermat Mersenne

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/Conferences/BNFredaction.pdf

Pondichery-avril-2015.

Exercice 4. 5 points. Les nombres de la forme 2n. −1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne. 1. On désigne par a b et c trois

Nombres premiers

19 juil. 2021 2 alors p divise b. EXERCICE 10. Nombres de Mersenne. Les nombres de la forme 2n − 1 où n ∈ N∗ sont appelés ...

Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions

M13 = 8191 est premier car il n'est divisible par aucun des 24 nombres premiers inférieurs à sa racine carrée. 1. Page 2. 2.2 Les diviseurs premiers des nombres

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si p = 2n+1 ? 1. En déduire que p est un nombre premier de Mersenne et donc que n + 1 est un nombre premier (voir l'exercice sur les nombres de Mersenne).

Exercice 1 : bases de numération (5 points) 1) Ecrire en décimal le

4) Convertir en base 5 le nombre décimal 2048. 5) Un repunit binaire est un nombre binaire qui ne comporte que le chiffre. 1. Un nombre de Mersenne est un

Devoir de spécialité 11 - 2018

7 mai 2018 Exercice 1. Les nombres de la forme 2n - 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015

17 avr. 2015 Si on entre n = 7 l'algorithme affiche 12 et « CAS 1 ». b. Le CAS 2 concerne donc les nombres de Mersenne non premiers et le nombre k est le ...

Nombres premiers - Lycée dAdultes

19 juil. 2021 2 alors p divise b. EXERCICE 10. Nombres de Mersenne. Les nombres de la forme 2n ? 1 où n ? N? sont appelés nombres de Mersenne.

Corrigé Devoir maison n° 4 Terminale S spécialité Novembre 2008

Exercice 2 : On considère les nombres de Mersenne Mn = 2n – 1 pour n entier naturel non nul. 1. a) Conjecture : Mn est un multiple de 3 si et seulement si n

Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014

19 juin 2014 Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014. Exercice 1 ... L'algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de Mersenne Mn est premier ...

Exercices de Michel Quercia

Exercice 3136 Nombres de Mersenne. On note Mn = 2n ?1 (n-ième nombre de Mersenne). 1. Montrer que : Mn est premier ? n est premier.

Thème : Des nombres particuliers : Mersenne Fermat Carmichael

Thème : Des nombres particuliers : Mersenne Fermat Carmichael Corrigé de l’activité 1 Nombres de Mersenne (5 exercices) Exercice 1 1) On fait la table de valeurs de t????? s avec un début de table à ????= s et un pas de s On obtient les valeurs : Nombre de Mersenne ???????? Valeur s ????1= t1? s ????1= s

Exercice 1 : bases de numération (5 points) - hmalherbefr

Un nombre de Mersenne est un entier naturel qui s'écrit sous la forme 2n – 1 avec n entier naturel Montrer que tout repunit binaire est un nombre de Mersenne (en base 10) 1) 2110011 en base 2 = 1 20 5+ 1 21 + 0 2 + 0 23 + 1 24 + 1 2 = 1 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 51 en base 10 2) 1964 = 2 982 + 0 982 = 2 491 + 0

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Feuille d"exercices n

1. Arithmétique1Sia= 462etb= 104, calculezd= pgcd(a;b), ainsi que deux entiersuetvtels que

au+bv=d. Calculezppcm(a;b).2Calculez par la méthode de votre choix les pgcd suivants :pgcd(46848;2379),pgcd(13860;4488),

pgcd(42098;36146),pgcd(30076;12669;21733),ppgcd(4096;11111111111111).3Montrez quepgcd(ab;ac) =apgcd(b;c).4Montrez quepgcd(2n3+ 5n2+ 4n+ 1;2n2+n) = 2n+ 1.5Le Lemme de Gauss.Montrez que, siajbcetpgcd(a;b) = 1, alorsajc.6Trouvez deux entiersuetvtels que29u+ 24v= 3, puis déterminez tous les couples

(u;v)2Z2tels que29u+ 24v= 3. Mêmes questions pour30u+ 35v= 100,13u+ 19v= 4.7Soitd= pgcd(a;b). Déterminez tous les couples(u;v)2Z2tels qued=au+bv.8Démontrez les résultats suivants :

1. Siadivisecetbdivisecet sipgcd(a;b) = 1alorsabdivisec.

2. Sipgcd(a;b) = 1et sipgcd(a;c) = 1alorspgcd(a;bc) = 1.

3. Sipest un nombre premier et sipdiviseabalorspdiviseaoupdiviseb.9Faire la liste des nombres premiers inférieurs à100. On pourra utiliser le crible d"Ératosthène.10Nombres de Mersenne.Un nombre de Mersenne est un nombre entier de la forme

M p= 2p1. Montrez que, siMpest premier, alorspest premier (on pourra utiliser la formule x n1 = (x1)(xn1++x+1)). Vérifiez queM2,M3,M5,M7sont premiers mais pasM11.

On connait47nombres premiers de Mersenne. On conjecture qu"il en existe une infinité.11Nombres parfaits.Un entier positifaest un nombre parfait si la somme de ses diviseurs

positifs est égale à2a. Montrez que, sia= 2npavecppremier,aest parfait si et seulement sip= 2n+11. En déduire quepest un nombre premier de Mersenne et donc quen+ 1est un nombre premier (voir l"exercice sur les nombres de Mersenne). Calculez les quatre premiers nombres parfaits.

12Nombres de Fermat.Un nombre de Fermat est un nombre entier de la formeFn= 22n+1.

1. Montrez que, si2a+ 1est premier, alorsaest nécessairement une puissance de2(on

pourra utiliser la formule : sinest impair,xn+ 1 = (x+ 1)(xn1xn2+ x+ 1)).

2. Vérifiez queF0,F1,F2,F3,F4sont premiers, mais queF5n"est pas premier (on pourra

chercher un facteur de la forme128k+ 1).

3. Montrez les propriétés suivantes :

F n= (Fn11)2+ 1 F n=Fn1+ 22n1F0:::Fn2 F n=F2n12(Fn21)2 F n= (F0F1:::Fn1) + 2 et déduire de la dernière qu"il sont deux à deux premiers entre eux. On ne connait aucun autre nombre premier de Fermat..13Plimpton 322 On appelletriplet pythagoricienun triplet d"entiers(a;b;c)tels quea2+b2=c2. Le but de cet exercice est de décrire tous les triplets pythagoriciens.

1. Montrez que, simetnsont des entiers premiers entre eux, alors

a=m2n2; b= 2mn; c=m2+n2(1) est un triplet pythagoricien. Dans la suite, on suppose quea;b;cn"ont aucun diviseur commun, et quea2+b2=c2. Notre but est de montrer qu"alors(a;b;c)est de la forme (1).

2. Montrez quepgcd(a;b) = pgcd(b;c) = pgcd(c;a) = 1.

3. Montrez queaoubest pair.

On suppose désormais quebest pair et on poseb= 2b0.

4. Montrez queu= (c+a)=2etv= (ca)=2sont entiers et premiers entre eux.

5. Montrez queuv=b02et en déduire queuetvsont des carrés d"entiers.

6. Conclure.

7. Pour quelles valeurs demetnobtient-ona= 10441etc= 20809?

14Euclide a décidé de travailler sur les entiers écrits en base2pour se préparer à la révolution

numérique.Sia=a0+ 2a1+ 4a2++ 2nanavecak= 0;1est l"écriture binaire dea, il notea= a nan1:::a1a0.

1. Écrire en binaire les nombres16,13,280.

2. Convertir en base10le nombre binaire101010.

3. Quel est l"effet de la multiplication par une puissance de2sur un nombre binaire?

4. Posez et effectuez l"addition et la soustraction dea= 11100010etb= 10011111.

Euclide souhaite effectuer son célèbre algorithme sur des nombres binaires, mais comme il a du mal avec les multiplications et les divisions, il remplace les divisions euclidiennesa=bq+rpar a=b2k+roù il prendkle plus grand possible tel queb2ka.

5. Expliquez pourquoi, dans l"exécution de son algorithme, Euclide va parfois obtenir un

reste plus grand que le diviseur. Que doit-il faire dans ce cas? Exemple :a= 1101et b= 100.

6. Effectuez cet algorithme sura= 100001010etb= 111000pour calculer leur pgcd.

7. Montrez que, dans cette pseudo-division euclidienne,r < a=2.

8. En déduire que, dans la suite des restes successifsr0=a,r1=b;:::;rk;:::calculés au

cours de l"algorithme, on ark< a=2k=2.

9. En déduire que le nombre de pseudo-divisions dans cet algorithme est au plus deux fois

le nombre de chiffres binaires dea.

10. À l"aide de ce qui précède, comparer le nombre de divisions euclidiennes effectuées pour

calculer le pgcd de deux entiers, d"une part dans l"algorithme d"Euclide, et d"autre part dans la méthode consistant à d"abord factoriser ces entiers par divisions successives.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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