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Chapitre 14 Le pendule simple - chaurandfr
Pendule simple Le pendule simple est une mo-délisation du pendule pesant en considérant une masse m ponc-tuelle centrée sur G liée à l’axe de rotation (?) par un ?l inexten-sible de longueur? de masse négligeable (?) ? ? (m) Amplitude Le pendule oscille avec une certaine am-plitude angulaire maximale ?max La valeur de
Université Joseph Fourier - Grenoble 1
Licence 1
èreannéePhy 12a/12b
Mécanique du point(2èmesemestre)Galilée (1564-1642) J. Kepler (1571-1630) I. Newton (1643-1727)
Travaux dirigés et AteliersAnnée 2015-2016
Table des matières
Table des matières 3
Pour bien commencer 7
Notations conseillées 9
QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET COLLISIONS 10
Vrai-Faux
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Couple de patineurs
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Billard à une bande
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Ralentissement d"atomes par des photons
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Ralentissement des neutrons
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12Pendule et projectile
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12Angle maximum de déflexion
???,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Patineur et ballon
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Désintégration du radon
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Estimation de la masse du neutron
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Échange entre deux wagons
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Remplissage d"un wagon
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14CINÉMATIQUE 16
Vrai ou faux?
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3Mouvement avec accélération constante
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Avion de chasse
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Détermination d"un mouvement polaire
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Détermination d"un mouvement cylindrique
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Mouvement elliptique
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Mouvement circulaire accéléré
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Trajectoire d"une roue
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Longueur de l"astroïde
???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Tube tournant
???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19OSCILLATEUR HARMONIQUE 21
Deux ressorts accrochés
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Ressort et gravité
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Le pendule simple
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Molécule diatomique
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Ressort et frottement visqueux : analogie électrocinétique ??. . . . . . . . . . . . . . . . .24Pendule simple et énergie
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24Oscillations d"un cube dans l"eau
???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Ressort et frottement solide
???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25MOMENT D"UNE FORCE ET MOMENT CINÉTIQUE 27
Le treuil
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27Le pendule pesant
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27Le Toboggan
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Enroulement d"une ficelle autour d"un poteau
???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28L"atome de Bohr
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28L"expérience de Cavendish
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29Le régulateur de Watt
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30FORCES CENTRALES ET GRAVITATION 32
Poids et altitude
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Trajectoire d"une comète
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Satellite géostationnaire
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Poids à l"intérieur et à l"extérieur de la Terre :Théorème de Gauss ??. . . . . . . . . . . . .33Pesanteur à la surface du soleil
?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Orbite d"un satellite
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34Sonde interplanétaire
??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34ATELIER 1 : CINÉMATIQUE 35
Approche numérique de la vitesse et de l"accélération Le bus qui tourne dans un rond point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Bases et systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Trajectoires et accélérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
ATELIER 2 : MODÈLE, APPROXIMATIONS ET ORDRES DE GRANDEUR 40 Mouvement d"un projectile soumis à une force de frottement fluide. . . . . . . . . . . . .40 Modélisation du mouvement d"une bulle d"air dans l"eau. . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Résolution de l"équation du mouvement d"une bulle d"air dans l"eau. . . . . . . . . . . .41QUELQUES CORRIGÉS 43
Angle maximum de déflexion
???,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Détermination d"un mouvement polaire
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46Le pendule simple
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Le pendule pesant
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54Trajectoire d"une comète
??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56Phy 12a/12b 2015-2016
Conseils pour bien commencer
Bienvenue dans cette nouvelle UE. Le but de ce qui suit est de vous donner quelques conseils pour bien utiliser ce recueil d"exercices ainsi que pour travailler avec efficacité."moment cinétique» et "forces centrales». La compréhension d"un de ces chapitres nécessite
impérativement d"avoir bien assimilé les chapitres précédents. Pour cette raison, il vous faudra
fournir un effort constant durant tout le semestre. Rappelez-vous qu"au cours de chaque cha- pitre, un "QCM en ligne» sera proposé et sa notation interviendra dans la note finale de l"UE. ZLe découpage de chaque chapitre est le suivant : Chaque c hapitrecommen cepar qu elquese xercicesju gésessen tielsqui ser ontcorr igésen séance.D ese xercicessupplémen taires,q uis uivantl "étatde v otreav ancement,pou rrontêt reétudi és
soit en séance soit chez vous. D esré ponsesp artiellessont donn éesà l afin du ch apitre.L ecorr igédét ailléd "unexer cicep arch apitreest don néà la fin du pol ycopiéiLe degré de difficulté est marqué par le nombre d"astérisques dans l"en-tête de l"exercice (de
?à???) et les exercices corrigés par un,. ZVous êtes fortement encouragés à consulter d"autres ouvrages. Utilisez des ouvrages dispo- pas de consulter le site internet du DLST proposant des documents pédagogiques. ZPour que vous appréhendiez le plus tôt possible la méthode pour résoudre un exercice de mécanique, voici une liste de recommandations qu"il vous est demandé de suivre : l irel "énoncéd anssa globali té fair el al istedes d onnéesper tinenteset des i nconnues: le bu td "unexer ciceest souv entd "ex- primer les inconnues en fonction des données : si on ne les a pas identifiées on risque de tourner en rondfair eu nsch éma: g rand,légen dé,colo ré,p récis,p ropre,résumant l "énoncé(r iend eplu s,r ien
de moins, attention à ne pas faire le schéma dans un cas particulier)r especterl esn otationsimposées pa rl "énoncé: si l "énoncéi mposed "appelerRla réaction
du support etrle rayon de la trajectoire, inverser les deux est très dangereux! Vous devezexpliciter sur votre copie toute grandeur qui n"est pas définie dans l"énoncé (par un schéma,
une formule et/ou une phrase)choisir le t héorèmeo ur ésultatd ecours à utili ser,sa chantqu "ilfaut t rouverau tantd "équa-
tions que d"inconnues (1 équation vectorielle compte pour 2 si elle peut être projetée sur 2
axes perpendiculaires)UJF L1 7 TD Phy 12a/12bPhy 12a/12b 2015-2016
r ésoudre: là c "estpur ementd esmat hs,mais la rédac tionn edoit p asêt reu nesui ted "équa-
tions sans lien logique les unes avec les autres, on doit pouvoir suivre le raisonnement (avec quelques mots bien choisis, ex. donc6AEcar, et/ou des symboles mathématiques du type))si l aq uestionest " donnerl "expressionde X» on attend comme résultat final une forme litté-
rale, la plus simplifiée possible, reliant l"inconnueXaux données de l"énoncé v érifiersilerésultatfinalestlogiquedansunoudeuxcas"triviaux»(parexemplesilaconstante de raideur d"un ressortk7¡!1, alors son allongement¢x7¡!0) applicat ionsnumériques:silaquestionest"calculerX»ondemandeuneapplicationnumé-rique. Même s"il est souvent préférable d"effectuer le calcul en mettant toutes les grandeurs
en unité SI, on veillera à afficher le résultat final dans une unité usuelle et adaptée à l"ordre de
grandeur (donc pas forcément SI : ex. la vitesse d"une voiture se comprend mieux en km/h, un angle en degré c"est souvent plus clair qu"en radian, l"épaisseur d"un cheveu se mesure plutôt en¹m qu"en m) et avec un arrondi correct (ex. en physiquexAE3,0 donne 1/xAE0,33 et non 0,33333... : garder en gros autant de chiffres significatifs dans le résultat que dans lamoins précise des données, voire un de plus pour éviter les erreurs d"arrondis si on réutilise
ce résultat ensuite) v érifierl "homogénéitédu résu ltatfin al BVoici en supplément quelques "règles" qu"il vous faut respecter : S oignerlaprésentationdelacopie,enparticulierenfaisantapparaîtreclairementlesrésultatsfinaux demandés (encadrer, souligner ou surligner : ça aide à la fois l"étudiant, qui peut ainsi
mieux retrouver les résultats utiles dans sa copie, et l"enseignant qui compte les points), aussi bien en examen qu"en TD!S oignerla rédact ion: or thographe(" ona démont rer». ..),liens logiq ues(ex. si mAE100 g et
idem en français, ne pas confondre "donc» et "car» (la cause et l"effet) : il fait beau donc je
vais me baigner et non ...), attention à la construction des phrases, à utiliser un vocabulaire
scientifique précis (ex. " [OB] est le milieu de [AB] » ne veut rien dire, l"enseignant n"est pas
censé faire l"effort de traduire)P asde j ustification= 0 p oints(même si l arépon seest ju ste!): t outrésu ltatdoit êt reju stifié
de façon claire et concise, en quelques mots bien choisis qui montrent à l"enseignant que le résultat n"est pas donné par hasard (surtout pour les questions demandant une réponse du type oui/non : on ne joue pas à la loterie!)P asd "unité= 0 p oint(même si la v aleurn umériqueest juste ,car le résu ltatest inutili sable!):
faire apparaître l"unité du résultat. Si cela peut vous aider, écrire l"unité des valeurs numé-
riques dans le détail de l"opération à calculer, afin de vérifier si les unités utilisées sont cor-
rectes (ex.dAEV£tAE(50 m/s)£(1 min)AE(50 m/s)£(60 s)AE3000 mAE3 km).UJF L1 8 TD Phy 12a/12bPhy 12a/12b 2015-2016
Notations conseillées
Repère cartésien#
ı,#|,#kRepère polaire#
ur,# uµRepère cylindrique# ur,# uµ,#kVecteur position#OMAE#rdans un repère cartésien#
OMAEx#ıÅy#|Åz#kdans un repère polaire#OMAEr# urdans un repère cylindrique#
OMAEr# urÅz#kDifférentielled
# OMAE# OM(tÅdt)¡# OM(t)Vecteur vitesse# vVecteur accélération# aQtité de mvt# pAEm#vd #pAE#p(tÅdt)¡#p(t)Angle statique®,µ0Composantes d"un vecteur# TAETx#ıÅTy#|ÅTz#kNorme d"un vecteurTAEk#TkPoids#PForce de 1 sur 2 (resp. 2 sur 1)#
F1/2(resp.#F2/1)Coefficient frott. statiquek
sCoefficient frott. dynamiquek dRéaction normaleRNRéaction tangentielleR
TForce gravitationnelle#
FAE¡Gm1m2r
2# urMoment cinétique#
LM/OAE# OM^#pMoment d"une force#
M#F/OAE# OM^#FTravail élémentairedWAE#F.d# OMTravailW B AAEZ BA#F.d# OMEnergie cinétiqueE
cEnergie potentielleE pEnergie mécaniqueEmCentre de masse(m1Åm2)# OGAEm1# OM1Åm2# OM2Dérivées temporelles deµ(t)dµ/dtAEµ,d2µ/dt2AE¨µ, ...Dérivées spatiales def(x)df/dxAEf0,d2f/dx2AEf00, ...UJF L1 9 TD Phy 12a/12b
Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET COLLISIONS
Exercices prioritaires :
Vrai-Faux
?Exercice n° 1 1. L orsd "unch ocinélast iquen il "énergien il aq uantitéde mouv ementne son tcon servées. 2. L orsdu ch océl astiqued "uneball ei ndéformablet ombantv erticalementsur la sur facede la terre (supposée aussi indéformable) la quantité de mouvement totale n"est pas conser- vée sinon la terre serait légèrement déviée. 3. R oulonss ousla plu ie: un wagon netr oulesan sfr ottementà l "horizontale,sou sl ap luie, de sorte qu"il se remplit d"eau au fur et à mesure qu"il avance.Sa vitesse : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangep asSa quantité de mouvement : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangepa sSon énergie : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangep asCouple de patineurs ?Exercice n° 2 Un couple de patineurs est initialement immobile sur la glace. Se repoussant avec leurs mains, la femme communique à son partenaire une vitesse de 10 km/h sur la glace. La femme a une massemAE52 kg et l"homme une massem0AE68 kg. 1. Q uelest le mou vementdu cent rede m assedu cou ple? 2. C alculerla vitesse d el afemm esu rla g laceet l av itesseà laqu ellel "hommev oits apa rte- naire s"éloigner.Billard à une bande ?Exercice n° 3 Les boules A et B d"un billard sont disposées comme sur la figure. On veut percuter la boule B avec la boule A, via un rebond sur la bande.UJF L1 10 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016 1. E nsu pposantl ech océlast ique,t rouverl aposi- tion du rebond de la boule A sur la bande pour que celle ci entre en collision avec la boule B. 2.S achantqu "onconsidér erala ban dec ommeu n
on dire de l"énergie de la boule avant et après le choc?3.Q uepeut-on dir edes c hangementd equant itésde mouv ementsel on( x) et selon (y)? iLors du choc sur la bande les forces sont exclusivement perpendiculaires à celle-ci.Ralentissement d"atomes par des photons
??Exercice n° 4Les forces exercées par la lumière sur la matière peuvent se comprendre de façon assez simple
et une quantité de mouvementpphAEhº/cAEh/¸, avechAE6,63£10¡34la constante de Planck,ºla fréquence de l"onde électromagnétique,¸la longueur d"onde etcla vitesse de la lumière
dans le vide. Quand un atome absorbe (ou émet un photon), ce dernier disparaît (ou apparaît),
mais l"énergie et la quantité de mouvement totale sont conservées. 1.O nc onsidèreu nje td "atomes,se dép laçantde ga ucheà dr oiteà la v itesseinitiale v0:
de combien la quantité de mouvement de chaque atome varie-t-elle lorsqu"il absorbe un photon se propageant en sens opposé? (faire un schéma représentant la situation avant/après) 2. D ufa itde l "intensitédu faisc eaulu mineuxet de l "efficacitédu p rocessusd "absorption, chaque atome absorbeRphotons par seconde. En déduire la quantité de mouvement ¢pencaissée par chaque atome pendant un temps¢tet donc, la force de freinage qui s"exerce sur un atome. 3. M ontrerqu el afor ceexer cées "exprimede f açontrès s impleen f onctionde la puissan ce P abs(en W) transportée par les photons absorbés. A quelle relation déjà connue, cette relation puissance-force est-elle analogue? 4. L esatomes de sodium de m asseat omiquemAE23 g et de vitesse initialev0AE300 m/s absorbent un photon de longueur d"onde 0.6¹m toute les 3¹s. Que vautR? En déduire le temps nécessaire pour immobiliser les atomes. 5. E nfa it,c haqueabs orptionest suiv ied el "émissionsp ontanéed "unp hotonq uip arten dans le bilan global des échanges de quantités de mouvement?UJF L1 11 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016Remarque : dans cet exercice, la description théorique du problème est énormément simplifiée
perdue par les atomes?Ralentissement des neutrons ??Exercice n° 5 Un neutron de massem, de vitesseV, heurte un noyau de massekmau repos. Exprimer l"éner- gieE0du neutron après le choc en fonction de son énergie initialeEet dek. On suppose que lesvitesses des particules, avant et après le choc, sont toutes colinéaires et que l"énergie cinétique
est conservée au cours du choc (choc élastique).L"énergie cinétique initiale du neutron étant 1 MeV, combien de chocs identiques au précédent
malisation) lorsqu"elle percute : 1. des n oyauxd "hydrogène( kAE1)? 2. des n oyauxde deutér ium( kAE2)? 3. des n oyauxde c arbone( kAE12)?Conclusion : quel est l"élément le plus efficace pour ralentir des neutrons?Exercices supplémentaires :
Pendule et projectile
??Exercice n° 6 Un pendule simple est composé d"une masseMsuspendue à un fil inextensible et sans massequotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] exercices corrigés physique 1ere sti2d
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