[PDF] APPLICATIONS OF AFFINE ROOT SYSTEMS TO THE THEORY OF





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Discrete groups of affine isometries

isometries of an affine Euclidean space E is discrete (if and) only if there is a. ?–invariant affine subspace F of E such that the restriction homomorphism 



Chapitre 4 - Isométries dans un espace affine euclidien

Toute symétrie orthogonale de X (et en particulier toute réflexion) est une isométrie. Démonstration : Soit f une symétrie orthogonale d'axe Y . f est alors 



18 Isometries

Every isometry is an affine transformation. Proof. Let F ? Trans(Rn) be an isometry and let y = F(0). Now we may define the.



Sommaire Notations 1. Isométries Affines

L'isométrie affine est la composée de la rotation d'axe ? et de même angle et de la symétrie orthogonale par rapport à ?. C'est un anti-déplacement. 3.5. Pas 



On the Linearity of Form Isometries

Form isometries are necessarily affine-linear in the following situations: (1) when H is non- singular andfsurjective (see Ratz [6]); (2) when G is 



Chapitre 3 - Isométries affines et vectorielles

un espace affine euclidien. On appelle isométrie affine de X toute application affine f : X ? X qui conserve la distance induite par le produit scalaire.



Definition 7.4.1 Given any two nontrivial Euclidean affine spaces E

An affine isometry is a bijection. Let us now consider affine isometries f:E ? E. If. ?? f is a rotation we call 





AFFINE TRANSFORMATIONS IN A RIEMANNIAN MANIFOLD 0

orientable Riemannian manifold an infinitesimal affine transformation is an H(M} the group of all affine transformations M-*M that of all isometries.



Leçon 161 - Isométriqes dun espace affine euclidien de dimension

03-Jun-2017 – Pro : f : E ? E est une isométrie affine ssi c'est une application affine dont la partie linéaire est une application orthogonale. – Cor : ...

APPLICATIONS OF AFFINE ROOT SYSTEMS TO

TH E THEOR Y O F

SYMMETRI

C

SPACES

1 B Y

LAWRENC

E CONLO N

Communicate

d b y Raou l Bott

Novembe

r 25
196
8

Introduction

Le t (G K\ t K%) b e a compac t symmetri c tria d i n th e sens e o f [3] G simpl y connected Th e natura l actio n o f Ki o n G/K% i s o f interes t becaus e i t i s variationall y complet e [5] I n [3 w e intro duce d certai n "affin e roo t systems i n orde r t o describ e th e orbit s o f thi s ifi-action an d i n th e piesen t not e w e wis h t o announc e th e classi fication [4 o f thes e system s an d t o indicat e furthe r application s t o th e theor y o f symmetri c spaces 1

Preliminaries

Le t g b e a comple x semisimpl e Li e algebra v a n automorphis m o f g an d se t g {-X"Eg v(X) X}. Th e followin g i s du e essentiall y t o d e

Siebentha

l [7 (cf als o [4

§7])

(1.1

PROPOSITION

If fy,Cg* is a

Cartan

subalgebra, there is a unique Car tan subalgebra §C g such that P

C.§'

There is a finite family a f % - *C/iZ\ of affine functional and an orthogonal direct sum decomposition 8 Z f G a where dim(gf 1 and v o exp(ad(Z) g f exp(27r f (Z)) for all Z&) w and f

£cr

f (0 is pure imaginary for all f G ci h

V®iV

wher e V i s th equotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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