[PDF] Boughizane Nebil a) Montrer que g est

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4eme Année Section : Mathématiques RECAPITULATIF

Prof : Dhahbi . A * Isométries, déplacement et antidéplacement

I - Généralités :

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé directe (O, i j

1°/ Définition :

On appelle isométrie toute application du plan P dans lui même qui conserve les distances.

Soit f une application du plan P dans lui-même

f est une isométrie signifie Exemples: les translations , les rotations et les symétries axiales sont des isométries .

2°/ Propriétés caractéristiques :

Théorème :

Soit f une application du plan P dans lui-même

f est une isométrie f conserve le produit scalaire mages ''BA ''CA AB AC

Propriétés :

* Une isométrie est une bijection et sa réciproque est une isométrie. * La composée de deux isométries est une isométrie. * Une , le parallélisme et le barycentre de deux points pondérés. * Une isométrie transforme une droite en une droite, un segment en un segment et un cercle en un cercle . * Pour tout points A, B, C, D, E et F , par une isométrie et x et y deux réels , on a : AB = x CD + y EF ''BA = x ''DC + y ''FE

II - Isométries et points fixes :

1°/ Isométrie fixant trois points non aligné :

Théorème :

Une isométrie du plan qui fixe trois points non .

Corollaire :

Deux isométries du plan qui coïncident en trois points non alignés sont égales.

2°/ Isométrie fixant deux points distincts :

Théorème :

3°/ Isométrie fixant un seul point :

Théorème :

Une isométrie du plan fixant un seul point est une rotation de centre A.

4°/ Isométrie ne fixant aucun point :

Théorème :

Soit f une isométrie du plan, O un point du .

Il existe une isométrie unique g telle que f =

'OOt o g et g (O) = O.

Théorème :

Toute isométrie du plan est translation ou une rotation ou une symétrie orthogonale ou la composée

Conséquence :

us trois symétries orthogonales.

5°/ Classification des isométries :

On peut classer les isométries en deux catégories : celles qui conservent les mesures des angles orientés

appelés : déplacements et celle qui ne conservent pas les angles orientés appelés : antidéplacements

RECAPITULATIF :Isométries du plan 1 Dhahbi . A

RECAPITULATIF :Isométries du plan

f est une isométrie de P avec o o o CC BB AA f + A , B et C sont trois points non alignés f = identité du plan f est une isométrie de P avec o o BB f AA + AB f = S(AB) . f est une isométrie de P avec o o CB f AA + AB = AC f = )),(,(ACABAR ou f = Smed[BC] . f est une isométrie de P avec o o AB f BA f = SI ou I = A * B ou f = Smed[AB] . f est une isométrie de P avec o o CB f BA + : sont trois points non alignés

1ér cas :f est un déplacement : * Si

),(BCAB 0 [ 2 f =

BCABtt

* Si ),(BCAB [ 2

C = A impossible

* Si ),(BCAB [ 2 ] et f =R( I, ) ou I med[AB] med[BC].

2émecas :f est un antidéplacement : f =

S ou f est une symétrie glissante. * Si f = S = med[AB] = med[BC] impossible S * f est une symétrie glissante f = S o ut ut o S avec = ( A*B B*C)

Pour chercher

u on utilise f o f = ut2 et A B C ( f o f)(A) = C 2 u AC u 2 1 AC

III - Déplacements et antidéplacements :

1°/ Propriétés :

* Un déplacement conserve les mesures des angles orientés. * Un antidéplacement change les mesures des angles orientés en leurs opposés. * La composée de deux déplacements ( resp . antidéplacement ) est un déplacement. * La composée ement est un antidéplacement. * La resp . antidéplacement) est un déplacement ( resp .antidéplacement)

IV - Déplacements :

Soit f une isométrie du plan P.

f est un déplacement f transforme un repère orthonormé direct en un repère orthonormé direct . f est un déplacement rthogonales . a) Théorème : tels que A

B et C

D,on à: (

AB ''BA CD ''DC ) [ 2 ]. ( AB ''BA

RECAPITULATIF :Isométries du plan 2 Dhahbi . A

RECAPITULATIF :Isométries du plan

b) Théorème : f est une translation.

Théorème :

parallèles est une translation de vecteur orthogonal à ces axes . Réciproquement, toute translation est la composée de deux 'DS o DS IJt2 avec I

D ; J

D et ( IJ )

D

Théorème :

sécantes est une ro des axes . Réciproquement, toute rotation est la composée de deux symét. 'DS o DS )2,(Or tel que: D et 2 ( OI OJ 2 [ 2 ]

Théorème :

Soit A , B , C et D quatre point du plan .

Si AB = CD et A

B alors il existe un unique déplacement du plan qui transforme A en C et B en D. * Si ),(CDAB 0 [ 2 f =

BDACtt

* Si ),(CDAB [ 2 f = SI ou I = A * C = B*D. * Si ),(CDAB [ 2 ] et f =R( I, ) ou I med[AC] med[BD] si non I (AB) (CD) dans le cas ou med[AC] = med[BD].

Exemple :

f = ACt o ),(Ar est un déplacement qui transforme A en C et B en D.

V - Antidéplacements :

Soit f une isométrie du plan P.

f est un antidéplacement f transforme un repère orthonormé direct en un repère orthonormé indirect f est un antidéplacement rthogonales .

Théorème 1:

passant par ce point

Théorème 2:

Soit f un antidéplacement qui ne fixe aucun point. Il existe un seul vecteur non nul u et une droite unique D tels que:f = ut o DS DS o ut réduite de f. f est appelé symétrie glissante de vecteur u

Remarques :

* f o f = ut o DS DS o ut ut2 * Pouar f, on a D

RECAPITULATIF :Isométries du plan 3 Dhahbi . A

RECAPITULATIF :Isométries du plan

Théorème :

Soit A , B , C et D quatre point du plan .

Si AB = CD et A

B alors il existe un unique antidéplacement du plan qui transforme A en C et B en D. * Si med[AC] = med[BD] = f = S * Si med[AC] med[BD] f est une symétrie glissante f = ut o DS DS o ut ou u un vecteur directeur u de D . Cherchons u et D .

Si A * C

B * D (D) = ( A*C B*D) et A of C oDS C1 ut (A) = C1 u 1AC Si A * C = B * D on essaye de déterminer un autre point de D autre que A et C .ou bien g : A

ACCAtfoo

'BDBCAttoo g = CAt o f on a alors g antidéplacement qui fixe A et transforme B en g = S ou f = CAt o S ** Si f =

21'oSS

avec 1

2 = {I}

f =R( I, ) avec 2( 12,uu ) [ 2 ** Si f =

21'oSS

avec 1 // 2 f = ut avec ut 2 1 2 ) = 1. ** Si f = DvoSt avec v o , on a trois cas :

1ér cas : Si

v est un vecteur directeur de D alors f = DvoSt vDotS est une symétrie glissante de vecteur directeur u

2émecas : Si

v est orthogonal à D alors vt 'DS o DS vt 2 1 (D).

Donc f =

DvoSt 'DS o DS o DS 'DS f est une symétrie orthogonale.

3émecas : Si

v v on décompose v v 1v 2v avec 1v un vecteur directeur de D et 2v un vecteur orthogonal à D f = DvoSt 1vt o 2vt )o DS 1vt o ( 2vt o DS 1vt o 'DS Alors f est une symétrie glissante de vecteur directeur 1v

Pour une bonne réussite

Signature : Dhahbi . A

RECAPITULATIF :Isométrie du plan 4 Dhahbi . A

4éme Année * Section : Mathématique : Isométrie du plan I

Proposé par : Prof : Dhahbi . A Déplacements et antidéplacements

EXERCICE N°1 :

Soit une isométrie du plan et A, B, C trois points non alignés.

1°/ Montrer que si le triangle ABC est globalement invariant par

globalement invariant par .

2°/ Montrer que si lai globalement

invariant le triangle ABC.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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