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Introduction des concepts Indices de Sobol’ (I) V V S ij ij On définit ainsi les indices de sensibilité de Sobol’(Sobol’ 1993) : Indice de premier ordre : part de variance de Y expliquée par les variations de X i indépendamment de la valeur des autres facteurs On a : ii k j i S i S
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2 CHAPITRE 5 ANALYSE DE SENSIBILITÉ A N est la sous-matrice formée des colonnes correspondantes aux variables de N or-donnéesselonN Exemple5 1 1 Prenonsleproblème minz= 1100x 1 1400x 2 1500x 3 8 >> < >>: x 1 + 2 3 340; 2x 1 + 3x 2 + x 3 2400; x 1 + 2 2 + 3 3 560; x 1;x 2;x 3 0: LesystèmematricielAx= baveclesvariablesd’écartsest 2 4 1
Analysedesensibilitédes
modèlesdesimulationSamuelBuis
UMR1114EMMAH84914Avignon
Plan •Introductiondesconcepts •Quelquesexemplesdeméthodes Plan •Introductiondesconcepts •QuelquesexemplesdeméthodesIntroductiondesconcepts
Problématique
Lesmodèlesdeviennentcomplexes
...tropcomplexes! paramètres? ?QuelsparamètresdevraisͲjeestimer avecplus sansconséquences?Introductiondesconcepts
LeModèle
xfyxDDf l yk xCI,CL,forçages,
paramètresCodeinformatique
Variables
simuléesVariablesd'intérêtFacteurs
Analysedesensibilité
impactIntroductiondesconcepts
Lesdérivéespartielles
pointdonnéCalculablepardifférences
finiesouparcodeadjoint Y X1 X2Informationpurement
localepartielleen casdefortesnonͲ linéarités. pointdel'espacedesfacteurs. approchesdéterministes informativessurphénomèneslocaux paramètres(modèlespatiaux,...). XY D x D y fIntroductiondesconcepts
Méthodeslocalesetglobales
(méthodesOneͲAtͲaͲTime) toutelagammedevaleursétudiée. l'espacedesfacteurs,Souventgourmandesennombredesimulations.
Ex.:Méthodesbaséessurlavariance
XetYsontconsidéréescommedes
laproportiondevariancedeYexpliquée leurloidedistribution.Source:Saltelli etal.2000
Introductiondesconcepts
Méthodeslocalesetglobales
iikk ijjiijii xxfxxfxffxf),,(),()()( 1120x ,ilexiste unedécompositionfonctionnelleunique(Hoeffding 1948,Sobol'
1993):
deprobabilitéfixée.Introductiondesconcepts
Décompositiondelavariance(I)
oùlesfonctionsf x 000 jjiijjiijiijiiii xfxffxXxXYExxffxXYExfYEfIntroductiondesconcepts
Décompositiondelavariance(II)
ziikk ijjiijii xxfVxxfVxfVYV)),...,(()),(())(()(1...12
jijiXXXijjiijiXXiiiVVXXYEVVxxfVXYEVVxfV
jijiii Avec interactions.Introductiondesconcepts
IndicesdeSobol'(I)
VVS ij ijIndicedepremierordre:partdevariancedeY
expliquéeparlesvariationsdeX i indépendamment delavaleurdesautresfacteurs Ona: ziik ijiji SSS1 12YVXYEV
VVS iXXi i ii Donc: •Siσܵ ൌͳalorslemodèleestadditifIndiced'ordre2:partdevariancedeYdueaux
variationsdeX i etX j nonexpliquéeparlasommede leurseffetspropres ijkijii SSSST 12 kͲ1,enpratiqueoncalcule
souventl'effettotal(Homma etSaltelli 1996): )())((1YVXYVE
YVXYEVST
iXXiXX i iiii "...agood,synthetic,though non exhaustivecharacterisation ofthe sensitivity patternforamodelwith kfactors is given bythetotalsetof firstorder terms plusthetotal effects. »Saltelli etal(2006).Introductiondesconcepts
IndicesdeSobol'(II)
ladistribution(Borgonovo 2006),...Sobol'(Kucherenko etal2009,Roustant etal2013)
Introductiondesconcepts
Ilexisteunegrandevariétédeméthodes(cf.Saltelli etal2008,Faivre etal2013). faiblecoût) • Quantitatives/Qualitatives • Graphiques/Déterministes/Stochastiques boîtesnoires)/avecIntroductiondesconcepts
Lesdifférentesfamillesdeméthodes
Plan •Introductiondesconcepts •QuelquesexemplesdeméthodesQuelquesexemplesdeméthodes
Méthodes graphiques:nuagesdepoints(I)
•EchantillonnerXavecN>>k, 14 3221 sinsinsinXXBXAXY
Xj ~U(Ͳpi,pi),
A=7etB=0.1
N=300Modèled'Ishigami (Ishigami andHomma,1990)
informationsqualitatives plusoumoinsapparentes surl'effetdesparamètres: force,sensdevariation, présenced'interactions,...Quelquesexemplesdeméthodes
Méthodes graphiques:nuagesdepoints(II)
YVXYEVS
iXX i ii iXXiXXXYEVXYVEYV
iiiiThéorèmedelavariancetotale:
Effetsliésauxautres
paramètres =erreurrésiduelledumodèle derégression iX XYE iVarianceexpliquéeparlemodèlede
régression iX XYE i QuelquesexemplesdeméthodesMéthodes graphiques:nuagesdepoints(III) S Xi ST Xi X 10.31 0.56
X 20.44 0.44
X 3 00.24 parméthodeànoyau). S Xi X 1 0.28 X 2 0.3 X 3 0.001Quelquesexemplesdeméthodes
Méthodes graphiques:àvoiraussi
intégrateurs surtoutsibeaucoupdefacteurs. quantitative. Cobweb plotCUSUNOROplot(Plischke 2012)Interactionplot 111xfxxxxxfxEE kiii i
Quelquesexemplesdeméthodes
Méthodes descreening:laméthodedeMorris
(Morris1991,Campolongo 2007)Pland'expérience:
•Tiragealéatoirederpointssur unegrillerégulièrededimension ketàpniveaux •Créationdertrajectoiresdek+1 pointsenaugmentantou diminuanttouràtourd'un niveauchaquecomposantedu vecteurdesfacteurs.Coût:
r(k+1)simulations •Indicesdesensibilité i lamoyennedesEE iquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Méthodes d 'analyse de sensibilité de modèles pour entrées - INRA
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