[PDF] Systèmes de numération : Un petit historique

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Systèmes de numération : Un petit historique...

Dans ce document, nous allons présenter certains " systèmesde numération » qui ont pu exister dans

l"histoire de l"humanité. Nous verrons que certains d"entre eux, aujourd"hui encore, sont utilisés de

manière implicite.

L"histoire veut que l"on prenne les choses de manière chronologique, nous allons donc commencer par

nous intéresser au premier système de numération inventé par l"homme. Et qui dit naissance de l"écriture,

dit aussi nécessité de calculer, c"est pourquoi le premier système de numération de l"histoire surgit au troi-

sième millénaire av. J.C., à l "époque de l"Egypte ancienne...

1 L"Egypte ancienne : Un système additif

Les Egyptiens (env. 3000 av. J.C.) ont mis sur le pied le premier système de numération de l"histoire.

Il s"agissait d"un système de numération formé de symboles,ici de hiéroglyphes, et chaque symbole était

représenté autant de fois qu"il y avait de multiples du nombre correspondant : Il s"agissait d"une numéro-

tationadditive. Voici la liste des symboles qui composaient leur système de numération : 1

101001 00010 000100 0001 000 000

Tableau 1.Ces hiéroglyphes égyptiens leurs servaient à " représenter» les nombres

Dans la numérotation égyptienne, la " place » ou la " position» des nombres n"avaient pas d"impor-

tance. En clair, les deux symboles et représentent tous les deux le même nombre, qui est

12. Ils comptaient les paquets qu"effectuaient les différents symboles, et les ajoutaient bout à bout :

Exemple.Prenons le nombre 6153.

6153=6×1000+1×100+5×10+3

soit, en égyptien

Exercice.

1. Ecrire en Egyptien les nombres suivants :

i. 123 ii. 1 345 1 iii. 689 001 iv. 3 234 900

2. Ecrire dans notre système numéral les nombres suivants :

i. ii. iii.

L"écriture des nombres ainsi introduite, on peut maintenant se poser la question des opérations. Com-

ment faisaient les Egyptiens pour additionner, soustraire, multiplier et diviser deux nombres ? C"est ce

que nous allons voir.

I - Addition

Pour additionner deux nombres, il suffit de regrouper les mêmes symboles et de compter les retenues.

Voyons cela sur un exemple :

Ajoutons 12 à 21 :

ce qui fait 33. Voyons un deuxième exemple :

Ajoutons 123 à 87 :

ce qui fait 210.

II - Soustraction

Le principe y est le même que pour l"addition, à ceci près qu"au lieu d"ajouter les symboles, on les

enlève ! Un petit exemple :

Effectuons l"opération 123-33 :

En effectuant la conversion du symboleen 10 fois le symbole .2Section 1 Exercice.1. Effectuer les opérations suivantes :

2. Transcrire les nombres suivants, puis effectuer les opérations en Egyptien :

123-33 ;4996-725 ; 30001-13296

III - Multiplication

Cette section fait l"objet du DM n1.

IV - Ecriture fractionnaire

Hormis les fractions23et34qui avaient leur propre symbole particulier, les Egyptiensne connaissaient

que la fraction de numérateur1. Pour écrire une telle fraction, ils écrivaient le dénominateur, et ils le sur-

montait du symbole de l"oeil d"Horus : Exercice.Ecrire les fractions suivantes en Egyptien : 1 2 ;1

40;13;1

189;2
140

Ce système de numération présente néanmoins deux inconvénients. Ils apparaissent lorsqu"on veut

écrire de grands nombres : En effet, si on veut écrire un très grand nombre, on peut se heurter au manque

de place, mais aussi au manque de symboles.

2 La numération Babylonienne : Première numération de positionLa numération Babylonienne : Première numération de position3

Le système de numération Babylonien n"est constitué que de deux symboles : Leclou, , valant 1 et empilable jusqu"à 9 fois, et lechevron, , valant 10 et empilable jusqu"à 5 fois. Ainsi, les Babyloniens pouvaient compter jusqu"à 59.

Exemple.21=

Mais alors comment représenter des nombres supérieurs à 59,comme par exemple 122 ?

Pour représenter des nombres supérieurs à 59, ils faisaientdes " paquets » de 60, c"est à dire qu"ils

représentaient le nombre de puissances de 60 correspondant, et ils écrivaient le tout, en séparant chaque

puissance de 60 par un espace. En réalité, leur système, sansle savoir, est un système de numération " en

base 60 », mais il a l"avantage, au contraire du système Egyptien, d"être plus efficace : En effet, la position

des symboles a une grosse importance : Ici, représente 21, et réprésente 80 !

Ainsi, 122=

Les deux premiers clous, espacés des deux seconds, représentait le nombre de soixantaines nécessaires à

l"écriture de 122. Exercice.Transcrire en Babylonien les nombres suivants :

12;24;153; 1202; 3824

(Indication: Ne pas oublier de décomposer en somme des puissances de 60 nécessaires !) Exercice.Transcrire en écriture décimale les nombres suivants :

Mais on se heurte à un problème majeur : Comment peut-on savoir s"il ne " manque » pas des puis-

sances de 60 ?

Par exemple, un clou

peut indifféremment représenter1(1 unité), 60 (une soixantaine),3600 (une fois 60

2), etc...

Le contexte, tout du moins au début, aidait beaucoup à identifier le nombre correspondant. Mais la

nécessité d"inventer un symbole pour signifier ce " manque » se fit de plus en plus sentir et, aux alentours

de-180, les Babyloniens se mirent à utiliser un symbole spécial, deux clous empilés et de travers, signi-

fiant le manque, à cette place là, d"une puissance de 60. Cetteinvention est révolutionnaire car sans le

savoir, et malgré qu"il n"ait pas le même sens que celui que nous utilisons aujourd"hui, les Babyloniens

inventèrent le premier " zéro » de l"histoire de l"humanité.Il était représenté par le symbole

.4Section 2 Exercice.Transcrire en Babylonien les nombres suivants :

36061;216 324;324 079 235

(Indication: Ne pas oublier de décomposer en somme des puissances de 60 nécessaires, en n"oubliant pas de représenter les puissances de 60 manquantes !) Exercice.Transcrire dans notre système numéral les nombres suivants:

Il reste encore aujourd"hui des traces de cette numération en base 60 : En effet, il vous suffit de

regarder votre montre, votre pendule chez vous pour remarquer que les minutes et les secondes se comp-

tent... par paquets de 60 !

3 La numération Romaine

La numération Romaine consiste à aligner des symboles; Toutcomme le système Egyptien, il est

additif. Voici la liste des symboles : 1

510501005001000

IVXLCDM

Ainsi, III représentait3. Mais en Romain, la position a quelque chose d"important : Ainsi, un symbole

d"une plus faible valeur à gauche d"une autre symbole signifiait qu"on soustrayait au symbole à droite la

valeur du symbole à gauche. Exemple.4ne s"écrivait pas IIII (1+1+1+1) mais IV (5-1). On ne pouvait retrancher à un symbole qu"un seul autre symbole, et du même ordre de grandeur. Ainsi, on n"écrivait pas 99 comme 100-1, soit IC, mais plutôt 90+9, soit XCIX.

Pour écrire de très grand nombres (en réalité supérieurs à3999), on surlignait les multiples de1000

d"une barre, et les multiples d"un million de deux barres.

Exemple.

•2010 s"écrivait MMXLa numération Romaine5 •599 s"écrivait DXCIX •17429 s"écrivait XVII

CDXXIX

Exercice.Ecrire en Romain les nombres suivants :

•17 •203 •574 •1 022 •2 597 •5 341 •18 231 •33 409 •54 217 •88 135 •103 215 •888 888 •1 037 037 •3 584 182 •15 189 991 •999 999 9996Section 3quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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