[PDF] Chapitre 1 - Espaces topologiques

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Chapitre 1

Espaces topologiques

1.1 Notion de topologie, ouverts

Définition 1.On appelleespace topologiqueun couple(X,T)oùXest un ensemble etTune famille de parties deXvérifiant : (T1)∅ ? T,X? T, (T2) Une intersection finie d"éléments deTappartient àT, (T3) Une reunion quelconque d"éléments deTappartient àT.

On appelleTla topologie surX.

Exemple 1.X=RnavecTla famille des ensembles ouverts deRn. Exemple 2.XavecT={∅,X}. On appelleTla topologie chaotique. Exemple 3.XavecT=P(X), la famille de toutes les parties deX. On appelleTla topologie discrete. On peut construire des topologies à l"aide dedistances. Définition 2.SoitXun ensemble non vide. Unedistance (métrique)surXest une application (x,y)?→d(x,y)deX×XdansR+telle que : (D1)d(x,y) = 0??x=y, (D2)d(x,y) =d(y,x),?x,y?X,

Exemple 4.X=Rnavec

d(x,y) =? ???n i=1(xi-yi)2, x,y?Rn. C"est la distance Euclidienne surRn. 1

2CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

Exemple 5.Sur tout ensemble non videXon peut définir une distance. Par exemple, en posant d(x,y) =?

0,six=y

1,six?=y.

C"est la distance "discrète" surX.

Définition 3.Unespace métriqueest un couple(X,d), oùdest une distance surX. Définition 4.Soit(X,d)un espace métrique. Pourx?Xetr >0, on définit : a) laboule ouvertede centrexet rayonr:B(x,r) ={y?X;d(y,x)< r}; Exemple 6.DansRmuni de la distance usuelle,B(1,1) =]0,2[.

Définition 5.Soit(X,d)un espace métrique. Par définition, une partie non-videUdeXest unouvert

si, pour toutx?U, il existe unr >0tel queB(x,r)?U. Par définition∅est un ouvert.

N. B.En principe,rdépend dex.

Exemple 7.DansRmuni de la distance usuelle,U=]0,1[est un ouvert. En effet, si on pose, pourx?U, r= min{x,1-x}, on vérifie aisément queB(x,r)?U.

Proposition 1.Soit(X,d)un espace métrique.

1. Une intersection finie d"ouverts est ouverte.

2. Une reunion quelconque d"ouverts est ouverte.

Démonstration.1) Soitx?n?

i=1U i. On ax?Ui,i= 1,...,n. ChaqueUiétant ouvert, il existe unri>0 tel queB(x,ri)?Ui,i= 1,...,n. Soitr= min{r1,...,rn}. AlorsB(x,r)?B(x,ri),i= 1,...,n, et doncB(x,r)?Ui,i= 1,...,n. Il s"ensuit queB(x,r)?n? i=1U i.

2) Soitx??

i?IU i. Il existe uni0?Itel quex?Ui0.Ui0étant ouvert, il existe unr >0tel que

B(x,r)?Ui0. Pour ce mêmer, on aB(x,r)??

i?IU i.Définition 6.Soit(X,d)un espace métrique. Latopologie métriquede(X,d)est

T={U?X;Uest un ouvert}.

Donc on peut voir un espace métrique comme un cas particulier d"un espace topologique. Terminologie.On appelle les éléments d"une topologieTaussi les ouverts de l"espace(X,T).

1.1. NOTION DE TOPOLOGIE, OUVERTS3

Définition 7.Soit(X,T)un espace topologique. On dit queXest un espace deHausdorff, ou séparé,

si pour deux pointsx,ydistincts on trouve deux ouvertsU,V? T, t.q.x?U,y?VetU∩V=∅. Proposition 2.Un espace métrique est un espace de Hausdorff (pour la topologie métrique). Démonstration.Soit(X,d)un espace métrique. Soientx,y?X,x?=y. Alorsρ=d(x,y)2 >0. On pose U=B(x,ρ)etV=B(y,ρ). Supposons quez?U∩V. Alors

Ceci est une contradiction. DoncU∩V=∅etXest Hausdorff.Exemple 8.On revient à l"exemple de la topologie chaotique,XavecT={∅,X}. Le seul ouvert qui

contient un point deXestXlui-même. Donc siXcontient deux points, ces deux points ne peuvent pas être dans deux ouverts différents. Alors siXcontient plus qu"un point il n"est pas Hausdorff. Définition 8.Soit(X,T)un espace topologique. Un ensembleF?Xestfermési son complémentaire F cest ouvert, c.-à.-d. siFc? T. Exemple 9.∅etXsont à la fois ouverts et fermés. Proposition 3.Dans un espace de HausdorffXtout ensemble fini est fermé. Démonstration.Il suffit de montrer que{x}est fermé, oùx?X. Soity? {x}c(on suppose queXa plus qu"un point.) Alors on peut choisir un ouvertVy?Xqui contientymais pasx. Il s"ensuit que {x}c=? y?{x}cVyqui est alors reunion des ouverts, donc ouvert.Proposition 4.Soit(X,d)un espace métrique.

1. Pour toutx?Xet toutr >0,B(x,r)est un ouvert.

2. Pour toutx?Xet toutr >0,B(x,r)est un fermé.

Démonstration.1) Soity?B(x,r). On aρ=r-d(y,x)>0. On va prouver queB(y,ρ)?B(x,r). En effet,

2) On doit montrer queB(x,r)cest un ouvert. Soity?B(x,r)c;ysatisfait doncd(y,x)> r. Soit

ρ=d(y,x)-r >0. On a

z?B(y,ρ) =?d(z,x)≥d(y,x)-d(z,y)> d(y,x)-ρ=r=?z?B(x,r)c; autrement dit, on aB(y,ρ)?B(x,r)c.Proposition 5.Soit(X,T)un espace topologique. Alors

4CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

1. Une reunion finie de fermés est fermé.

2. Une intersection quelconque de fermés est fermé.

Démonstration.1) SoientFi,i= 1,...,ndes fermés. AlorsUi=Fcisont ouverts. On a n i=1F i=n? i=1X\Ui=X\n? i=1U i ce qui est fermé car par (T2) ?n i=1Uiest ouvert.

2) SoientFi,i?Ides fermés etUi=Fci. On a

i?IF i=? i?IX\Ui=X\? i?IU i ce qui est fermé car par (T3) i?IUiest ouvert.1.2 Espaces normés Définition 9.SoitEun espace vectoriel réel. UnenormesurEest une applicationx?→ ?x?deEdans R += [0,∞[telle que : (N1)?x?= 0??x= 0; (N2)|λx?=|λ|?x?,?λ?R,?x?E;

Exemple 10.On rappelle que, dansRn,?x?2=?

n? i=1x 2i? 1/2 est une norme (lanorme euclidienne standard); ici,x= (x1,...,xn). Exemple 11.On vérifie aisément que, dansRn, les formules?x?1=n? i=1|xi|et ?x?∞= max{|x1|,...,|xn|}définissent des normes. Exemple 12.Pour1< p <∞etx?Rn, on définit?x?p=? n? i=1|xi|p? 1/p (pourp= 2, on retrouve le

cas particulier de la norme euclidienne).? ?pvérifie clairement (N1) et (N2). On peut montrer que? ?p

vérifie aussi (N3); c"est l"inégalité de Minkowski prouvée à la fin de ce chapitre. Par conséquent,? ?pest

une norme.

SurR, toutes les normes définies ci-dessus coïncident avec l"applicationx?→ |x|. Cette norme est la

norme usuellesurR. Définition 10.Unespace norméest un couple(E,? ?), où? ?est une norme surE.

1.3. INTÉRIEUR, ADHÉRENCE5

Proposition 6.Un espace normé(E,? ?)est un espace métrique pour la métriqued(x,y) =?x-y?, ?x,y?X. Démonstration.(D1) découle de (N1). Pour vérifier (D2), on note que d(y,x) =?y-x?=?(-1)(x-y)?=| -1|?x-y?=?x-y?=d(x,y). (D3) est une conséquence de (N3) :

Définition 11.Soit(X,T)un espace topologique. PourA?X, on définit l"intérieur deA,◦A, par

◦A=?

Uouvert, U?AU

et l"adhérence deA,A, parA=?

Ffermé, F?AF.

Proposition 7.SoitAune partie d"un espace topologique. a)◦Aest un ouvert contenu dansA. b) SiUest un ouvert etU?A, alorsU?◦A.

Autrement dit,

◦Aest le plus grand ouvert contenu dansA. a")Aest un fermé contenantA. b") SiFest un fermé etF?A, alorsF?A. Autrement dit,Aest le plus petit fermé contenantA.

Démonstration.a)◦Aest une union d"ouverts contenus dansA, donc un ouvert contenu dansA. b) Par

définition! La preuve est identique pour a"), b").Exemple 13.On considère, dansRmuni de la distance usuelle,A= [0,1[. Alors◦A=]0,1[etA= [0,1].

En effet,]0,1[est un ouvert contenu dansA,[0,1]est un fermé contenantA, et donc]0,1[?◦A?A?A?

[0,1]. On a donc soit◦A=A, soit◦A=]0,1[. Pour éliminer la première possibilité, on montre queAn"est

pas un ouvert. Par l"absurde : sinon, il existe unr >0tel queB(0,r) =]-r,r[?A. Or,-r/2?B(0,r), mais-r/2??A. Contradiction. PourA, il y a aussi deux possibilités :A= [0,1]ouA=A. On n"est pas

dans le deuxième cas, carAn"est pas fermé. Ceci revient à montrer queAc=]- ∞,0[?[1,+∞[n"est pas

un ouvert et se démontre par l"absurde (il n"y a pas der >0tel queB(1,r)?Ac).

6CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

Proposition 8.SoientAetBdeux parties d"un espace topologique.

1. On aA?B=?◦A?◦BetA?B.

2. ◦A=X\A cetA=X\◦Ac.

Démonstration.1. Evident.

2. On prouve la première égalité, qui revient, après passage au complémentaire, àX\◦A=A

c. (En l"appliquant àAcon obtient la seconde égalité.) On a ◦A=?

Uouvert, U?AU=?X\◦A=?

Uouvert, U?AU

c=?

Ffermé, F?AcF=A

c.Proposition 9.Dans un espace topologique,

1.Uouvert??U=◦U.

2.Ffermé??F=F.

Démonstration.1. "?=" est claire, car◦Uest un ouvert. Réciproquement, siUest ouvert, alors le point

b) de la proposition précédente impliqueU?◦U. Par ailleurs, on a toujoursU?◦U, d"où l"égalité

voulue.

2. Par passage au complémentaire de a) :Ffermé??Fcouvert??Fc=◦Fc=X\F??F=F.Proposition 10.Dans un espace topologique

1.A?B=A?B.

2.A∩B?A∩B. En général, l"inclusion est stricte.

3. ◦A∩B=◦A∩◦B. 4. ◦A?B?◦A?◦B. En général, l"inclusion est stricte. Démonstration.1.A?A?B=?A?A?B; de même,B?A?Bet par conséquentA?B?A?B. Par ailleurs,A?Best un fermé contenantA?Bet doncA?B?A?B.

2. CommeA∩B?A, on aA∩B?A; de même,A∩B?B, d"oùA∩B?A∩B.

Un exemple d"inclusion stricte : dansRmuni de la distance usuelle, on prendA= [0,1[,B=]1,2]. On

a vu queA= [0,1]; par le même raisonnement,B= [1,2]. AlorsA∩B=∅=∅, maisA∩B={1}.

3. Comme dans 2, on a

◦A∩B?◦A∩◦B. Par ailleurs,◦A∩◦Best un ouvert contenu dansA∩Bet donc

◦A∩◦B?◦A∩B.

4. L"inclusion se montre comme dans 1. Un exemple d"inclusion stricte : on prendA,Bcomme dans

2. Alors (pourquoi?)◦A?B=]0,2[et◦A?◦B=]0,2[\{1}.

1.4. VOISINAGE D"UN POINT7

1.4 Voisinage d"un point

Définition 12.Soit(X,T)un espace topologique. On appelle voisinage dex?Xtoute ensembleV?X qui contient un ouvertUqui contientx. Un poseVxla famille des voisinages dex. Proposition 11.SoitAune partie d"un espace topologique.

1.x?◦Asi et seulement siAcontient un voisinage dex.

2.x?Asi et seulement siAintersecte tout voisinage dex.

Démonstration.1. Soitx?◦A. Alors◦Aest un voisinage dexqui est contenu dansA. On suppose queAcontient un voisinage dex. Alors il existe un ouvertUt.q.x?U?A. Donc par definition de l"interieurx?U?◦A.

2.x?Assix /?A

c=◦AcssiAcne contient pas de voisinage dexssiAintersecte tout voisinage dex.1.5 Suites

Si(xn)est une suite, on notera une suite extraite (=sous-suite) soit par(xnk), soit parx?(n). Dans le

premier cas,n0,n1,...,est une suite strictement croissante d"entiers; dans le second,?:N→Nest une

application strictement croissante.

Par abus de notation, si tous les termes d"une suite(xn)appartiennent à un ensembleX, on écrit(xn)?X.

Définition 13.Soit(X,T)un espace topologique. Si(xn)?Xetx?X, alors, par définition,xn→x ((xn)convergeversx) si et seulement si tout voisinage dexcontient presque tout point de la suite, c.-à.-d. ?V? Vx?,NV?Nt.q.?n≥NV:xn?V.

Une suite(xn)est convergente s"il existe unx?Xtel quexn→x. On écrit alorsx= limn→∞xn.

Il est évident, à partir de la définition, que si(xn)→xet si(xnk)est une sous-suite, alorsxnk→x.

Exemple 14.(X,T)avecT={∅,X}. Alors le seul voisinage d"un point estX. Il s"ensuit que chaque point deXest limite de chaque suite deX! Exemple 15.(X,T)avecT=P(X). Alors{x}est un ouvert donc un voisinage. Il s"ensuit qu"une suite (xn)converge versxsi et seulement si?N?n≥N:xn=x. Proposition 12.Soit(X,T)un espace de Hausdorff. Alors une suite converge vers au plus un point de X.

8CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

Démonstration.Supposons quexetysont limite d"une suite(xn). Six?=yil existe deux ouverts disjoints,

UetV,x?U,y?V. MaisU∩Vest un voisinage dexet contient donc presque tout point de la suite.

Contradiction!Proposition 13.Soit(X,d)un espace métrique. Alors(xn)converge versxsi et seulement sid(xn,x)→

0où encore

?? >0?N??Nt.q.?n≥N?:d(xn,x)< ?. Démonstration.x= limnxnsi et seulement si tout voisinage dexcontient presque tout point de(xn).

Ceci est équivalent à dire que tout ouvert contenantxcontient presque tout point de(xn). Ceci est

équivalent à dire que toute boule ouverte de centrexcontient presque tout point de(xn).1.6 Caractérisation des ensembles à l"aide des suites

Pour cette section on demande que(X,d)soit un espace métrique. Proposition 14.Soit(X,d)un espace métrique etF?X. AlorsF={x?X;?(xn)?Ftelle quexn→x}.

Démonstration."?" On considère unxappartenant à l"ensemble de droite. Soitr >0. Il existen0tel

qued(xn,x)< r,n≥n0. En particulier,xn0?B(x,r)∩F, et doncB(x,r)∩F?=∅, d"oùx?F. "?" Soitx?F. Pourn?N, on considère unxn?F∩B(x,1/(n+1)). Alors(xn)?F,d(xn,x)<1/(n+1)

et doncxn→x.Corollaire 1.Fest un fermé??pour toute suite convergente(xn)?Fon alimn→∞xn?F.

Démonstration."=?" Sixest tel qu"il existe une suite(xn)?Ftelle quexn→x, alorsx?F=F. "?=" Six?F, il existe une suite(xn)?Ftelle quexn→x. Par conséquent,x?F, et doncF?F.

Comme on a toujoursF?F, on trouveF=F, et doncFest fermé.1.7 Comparaison des topologies sur un même espace

Définition 14.SoitXun ensemble etT1,T2deux topologies surX. On dit que la topologieT1est plus grossière queT2(ouT2est plus fine queT1) siT1? T2. Remarque 1.Si une suite(xn)converge versxpour la topologieT2(qui est plus fine queT1) alors elle converge aussi versxpour la topologieT1. Définition 15.SoitEun espace vectoriel. Deux normes? ?1,? ?2surEsontéquivalentes??

1.8. CONSTRUCTION DES ESPACES TOPOLOGIQUES9

Définition 16.SoitXun ensemble non vide. Deux distancesd1,d2surXsontéquivalentes??

Il est facile de vérifier que l"équivalence des normes ou distances est, comme son nom l"indique, une

relation d"équivalence.

Le résultat suivant est évident :

Proposition 15.Soit? ?1,? ?2deux normes équivalentes surE. Alors les distances associées à? ?1,

2sont équivalentes.

Proposition 16.Soitd1,d2deux distances équivalentes sur l"ensembleX. Alors les topologies ils defi-

nissent sont les mêmes. Plus précisement : b) les fermés de(X,d1)et de(X,d2)coïncident; c) les ouverts de(X,d1)et de(X,d2)coïncident.

Démonstration.a) Exercice! b) C"est une conséquence de a) et de la caractérisation des fermés à l"aide

des suites. c) Par passage au complémentaire de b).On montrera plus tard le résultat fondamental suivant :

Théorème 1.SoitEun espace vectoriel réelde dimension finie. Alors toutes les normes surEsont

équivalentes.

Il s"ensuit que, pour ce qui concerne les ouverts, fermés, suites convergentes, le choix de la norme sur

un tel espace est immatériel. En particulier, on ne précisera pas la norme surE. Par exemple, "DansRn,

..." sous-entend "DansRnmuni d"une norme (et de la distance associée), ...".

1.8 Construction des espaces topologiques

1.8.1 Base et sous-base d"une topologie

SoitXun ensemble etSune collection de parties deX. On pose

B={intersections finies d"éléments deS }etT={réunions d"éléments deB} ? {∅} ? {X}.

Proposition 17.Test une topologie surX. Plus précisément,Test la plus petite topologie contenantS.

Démonstration.(T1) et (T3) étant immédiats, il suffit de vérifier que, si U 1=? i 1?I1B i1,1, ... ,Un=? i n?InB in,n,

10CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

est une collection finie d"élements deT, oùBi1,1, ... , Bin,n? B, alorsU1∩ ··· ∩Un? T. En effet,

U

1∩ ··· ∩Un=?

i

1?I1,...in?InB

i1,1∩ ··· ∩Bin,n.

MaisBi1,1∩···∩Bin,nest une intersection finie d"éléments deS, et doncU1∩···∩Un? T. Il s"ensuit queT

est une topologie. De plus,T ? B ? S. Réciproquement, toute topologie surXcontenantScontientB (d"après (T2)) etT, d"après (T1) et (T3).On appelleBetSlabaseet lasous-basede la topologieT. Exemple 16.DansR, on poseSla collection de tous les intervalles de la forme]a,b[. On a alors B={∅} ? Set la topologieTengendré coïncide avec la topologie usuelle.

1.8.2 Sous-espace

Définition 17.SoitA?Xune partie d"un espace topologique(X,T). On pose T

A={U∩A|U? T }

et l"appelle la topologieinduitesurA(ou la topologierelativesurA).

Lemme 1.TAest une topologie surA.

Démonstration.(T1)∅=∅ ∩AetX=X∩Adonc∅,X? TA. (T2) SoitIfini alors? i?I(Ui∩A) = (? i?IUi)∩A. Alors une intersection finie d"ensembles de la formeUi∩A,Uiouvert, est ouverte pour la topologie induite. (T3) SoitIquelconque alors? i?I(Ui∩A) = (? i?IUi)∩A. Alors une reunion quelconque d"ensembles

de la formeUi∩A,Uiouvert, est ouverte pour la topologie induite.Proposition 18.SoitA?Xune partie d"un espace topologique(X,T)etx?A. AlorsVest un voisinage

dexpour la topologieTAsi et seulement s"il existe un voisinageW?Xpourx(pour la topologieT), tel queV=W∩A. Démonstration.SoitVun voisinage dexpour la topologieTA. Alors il existeU? TAt.q.x?U?V. Alors il existe˜U? Tt.q.U=˜U∩A. PoseW=˜U?V. AlorsWest voisinage dexpour la topologieT etV=W∩A. SoitWvoisinage dexpour la topologieT. Alors il existe˜U? Tt.q.x?˜U?W. PoseV=W∩A. AlorsU=˜U∩Aest un ouvert deTAqui contientxet est contenu dansV. DoncVest voisinage dex

pour la topologieTA.Proposition 19.SoitA?Xune partie d"un espace métrique(X,d). SoitdAla restriction dedsur

A×A. Alors(A,dA)est un espace métrique etTAest la topologie métrique dedA. Démonstration.On utilise queBdA(x,r) =Bd(x,r)∩A.

1.8. CONSTRUCTION DES ESPACES TOPOLOGIQUES11

1.8.3 Produit d"espaces

Cartesien. La topologieproduitest la familleTde parties deXqui sont reunion quelconque d"ensembles de la forme U

1× ··· ×Un. Uk? Tk.

Lemme 2.Test une topologie surX.

Démonstration.(T1)∅=∅ × ··· × ∅etX=X1× ··· ×Xndonc∅,X? TA.

(T2) Un ouvert est de la forme? i=(i1,···,in)?IUi1× ··· ×UinoùIest une famille de multi-indices quelconque. Or i?IU i1× ··· ×Uin? j?JV j1× ··· ×Vjn) i?I;j?J((Ui1× ··· ×Uin)∩(Vj1× ··· ×Vjn)) (i,j)?I×J(Ui1∩Vj1)× ··· ×(Uin∩Vjn) etUik∩Vjksont des ouverts dansXk.

X×X→R+donné par

D(x,y) = maxkdk(xk,yk).

Alors(X,D)est un espace métrique etTest la topologie métrique deD.

Remarque 2.Dp(x,y) = (?

kdk(xk,yk)p)1p Démonstration.SoitU? Tetx?U. Il existe doncUi? Tit.q.x?U1×U2. CommeTiest métrique par rapport àdiil existerit.q.Bdi(xi,ri)?Ui. Soitr= min{r1,r2}. Alorsx= (x1,x2)?Bd1(x1,r)× B d1(x2,r). OrBd1(x1,r)×Bd1(x2,r) =BD(x,r)ce qui montre queUest ouvert pourD. Ceci montre

du produit. Alors une suite(xn)n?Xconverge versxsi et seulement si toutes les suites données par les

Démonstration.Soit(xn)nune suite dansX. On suppose d"abord que la suite converge versxdansX. Alors dans tout voisinageV? Vxse trouve presque tout point de la suite. SoitViun voisinage de la composantexidansXi. AlorsVicontient un ouvertUiqui contientxi. CommeU1× ··· ×Unest un

12CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES

voisinage dexil contient presque tout point de la suite(xn)n. DoncVicontient presque tout point de la

suite(xni)n. Donc(xni)ntend versxi. Supposons maintenant que les(xni)ntend versxi. SoitVun voisinage dex. Or commeVcontient un

ouvert qui contientxil contient même un ouvert de la formeU1×···×Un,Ui? Ti, qui contientx.Uiest

un voisinage dexiet donc contient presque tout point de la suite(xni)n. Donc d"abordU1× ··· ×Unet

en conséquence aussiVcontient presque tout point de la suite(xn)n. Donc(xn)ntend versx.1.8.4 Espace quotient

Définition 19.Soit≂une relation d"équivalence sur un espace topologique(X,T). On pose˜X=X/≂

l"ensemble des classes d"équivalance de la relation et note[x]?˜Xla classe dex. Soitq:X→˜Xla

surjection canonique,q(x) = [x]. On pose T

˜X={U?˜X|q-1(U)? T }

et l"appelle la topologiequotientsur˜X.

Lemme 3.T˜Xest une topologie sur˜X.

(T2) Pour n"importe quelle application?:X→YetA,B?Xon a?-1(A∩B) =?-1(A)∩?-1(B).

On applique celui à?=qetA,Bdeux ouverts deX.

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