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L'algorithme RSA est moins rapide que les algorithmes classiques à une seule clef ce qui est un handicap lorsque l'on doit coder des messages volumineux Aussi
Comment fonctionne l'algorithme RSA ?
Le cryptage RSA fonctionne en utilisant une paire de clés - clés publiques et privées - pour crypter et décrypter les données. La clé publique est utilisée pour chiffrer les données, tandis que la clé privée est utilisée pour déchiffrer les données.Comment coder en RSA ?
Protocole RSA pour le codage
e × d + m × (p – 1)(q – 1) = 1 Pour ce faire, elle peut utiliser un algorithme de calcul très connu depuis l'Antiquité (vers 300 ans avant Jésus-Christ) appelé algorithme d'Euclide. Elle calcule également n = p × q.Quels sont les deux outils mathématiques indispensables du chiffrement RSA ?
RSA a besoin d'une clé publique (constituée de 2 nombres (n,e) ) et d'une clé privée (1 seul nombre d ). Avec ces nombres, le couple (n,e) est appelée la clé publique et le nombre d est la clé privée.Algorithmes de cryptographie symétrique (à clé secrète)
Chiffre de Vernam (le seul offrant une sécurité théorique absolue, à condition que la clé ait au moins la même longueur que le message à chiffrer, qu'elle ne soit utilisée qu'une seule fois et qu'elle soit totalement aléatoire)DES.3DES.AES.RC4.RC5.MISTY1.
Résoudre dl'q
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Remarque : pour e et m fixés, cette équation n'admet pas toujours de solution ! Exemple : 2d mod 6 ≠ 1 pour tout d
Plus généralement, dès lors que PGCD(e,m) ≠ 1, l'équation n'admet pas de solution. L'approche brutale de résolution que nous avons employée pour l'exemple n'est bien sûr pas adaptée dès lors que e et m sont des grands nombres Pour e et m fixés, résoudre l'équation de mod m = 1 revient à trouver des entiers d et y tels que : de + my = 1 Pour ce faire, on fait appel à l'algorithme d'Euclide étendu Algorithme d'Euclide
L'algorithme d'Euclide permet de calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers a et b. Il est fondé sur la propriété suivante :
Propriété. Si a = bq + r alors PGCD(a,b) = PGCD(r,b). Preuve. Il suffit de montrer que PGCD(a,b) = PGCD(a-b,b), dont on déduit le résultat en soustrayant q fois b à a. Tout entier qui divise à la fois a et b doit aussi diviser a-b, et donc b doit aussi diviser a et b, et donc PGCD(a,b) ≥ PGCD(a-b,b). Fonction PGCD(a,b)
Entrée : deux entiers a,b avec a ≥ b ≥ 0 Sortie : plus grand commun diviseur de a et b
Si b = 0 alors retourner a
sinon retourner PGCD(b,a mod b) Complexité de l'algorithme d'Euclide
Fonction PGCD(a,b)
Entrée : deux entiers a,b avec a ≥ b ≥ 0 Sortie : plus grand commun diviseur de a et b
Si b = 0 alors retourner a
sinon retourner PGCD(b,a mod b) L'analyse de complexité fait appel au résultat suivant : Si a ≥ b alors a mod b < a/2.
- si b > a/2, alors a mod b = a-b < a/2. Par conséquent, à chaque appel récursif, l'un des deux arguments (a ou b) est divisé par au moins 2. Si on avait deux nombres de n bits au départ, on arrive donc au cas de base en au plus 2n itérations. A chaque itération, l'opération de modulo est en O(n), et par conséquent la complexité totale est O(n2). Algorithme d'Euclide étendu
PGCD(15,26) = ?
26 = 15 + 11
15 = 11 + 4
11 = 2 * 4 + 3
4 = 1 * 3 + 1
3 = 3 * 1 + 0
PGCD(15,26) = 1 = 4 - 3 = 4 - (11 - 2 * 4) = -11 - 3 * 4 = -11 + 3 * (15 - 11) = 3 * 15 - 4 * 11 = 3 * 15 - 4 * (26 - 15) = 15 * 7 + 26 * -4 = 1 d = 7Supposons qu'on veuille résoudre l'équation 15d mod 26 = 1, autrement dit trouver d et y tels que : Un légère modification de l'algorithme d'Euclide le permet !Observons le déroulement du calcul de PGCD(15,26)...15d + 26y = 1
Remarque : 15 et 26 dont premiers
entre eux, d'où l'existence de d et PGCD(15,26) = 1.
Algorithme d'Euclide étendu
Fonction PGCDmodif(a,b)
Entrée : deux entiers a,b avec a ≥ b ≥ 0 Sortie : x,y,d tels que d=PGCD(a,b) et ax + by = d Si b = 0 alors retourner (1,0,a)
(x',y',d) = PGCDmodif(b,a mod b) retourner (y',x'-(a/b)y',d)Ce principe par " substitution arrière » peut se formaliser par un algorithme récursif très proche de la fonction PGCD : La complexité est bien évidemment la même que celle de l'algorithme d'Euclide (la version étendue de l'algorithme d'Euclide se contente de faire remonter quelques information supplémentaires à chaque itération), soit O(n2).
Exponentiation modulaire
Fonction Modexp(x,e,n)
Entrée : entiers x,e,n
Sortie : xe mod n
Si e = 0 alors retourner 1
f = Modexp(x,e/2,n) Si e est pair alors
retourner f2 mod n sinon retourner x * f2 mod n Autrement dit :
si y est pair si y est impair Soit N le nombre de bits du plus grand entier parmi x,e,n. L'algorithme s'arrête après au plus N appels récursifs, et lors de chaque appel il multiplie des entiers d'au plus N bits (faire le calcul modulo n nous sauve ici), pour une complexité globale de Modexp en O(N3).RSAn = pqm = (p-1)(q-1)e et m premiers entre euxde mod m = 1 Clé publique : (e,n)Clé privée : (d,n)Cryptage : y = xe mod nDécryptage : x = yd mod n
ee ee equotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
IDqû1ot:Cri1udGhi(itDhpudripo qit'drim
cOitoCriéqti:ésoudre qtiùSqti:ésoudre qti(h(dhtitoCriuql'dti1o'uim
Shrqu dCqui(q'ûiCo èuqti1uq dquti1iqrili(qi
su:C(qir:dééq xhto'(uqiéDhl':rdoCi(qi o(i i/iPi pu=1r:sqi=i/iûqi o(iC (hpu=1r:sqiûi/i=(i o(iCilcéCi/i1l i/i≥1-P<≥l-P Un légère modification de l'algorithme d'Euclide le permet !Observons le déroulement du calcul de PGCD(15,26)...15d + 26y = 1 ici), pour une complexité globale de Modexp en O(N3).RSAn = pqm = (p-1)(q-1)e et m premiers entre euxde mod m = 1 Clé publique : (e,n)Clé privée : (d,n)Cryptage : y = xe mod nDécryptage : x = yd mod nRésoudre l'équation de mod m = 1
Remarque : pour e et m fixés, cette équation n'admet pas toujours de solution ! Exemple : 2d mod 6 ≠ 1 pour tout d
Plus généralement, dès lors que PGCD(e,m) ≠ 1, l'équation n'admet pas de solution. L'approche brutale de résolution que nous avons employée pour l'exemple n'est bien sûr pas adaptée dès lors que e et m sont des grands nombres Pour e et m fixés, résoudre l'équation de mod m = 1 revient à trouver des entiers d et y tels que : de + my = 1 Pour ce faire, on fait appel à l'algorithme d'Euclide étendu Algorithme d'Euclide
L'algorithme d'Euclide permet de calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers a et b. Il est fondé sur la propriété suivante :
Propriété. Si a = bq + r alors PGCD(a,b) = PGCD(r,b). Preuve. Il suffit de montrer que PGCD(a,b) = PGCD(a-b,b), dont on déduit le résultat en soustrayant q fois b à a. Tout entier qui divise à la fois a et b doit aussi diviser a-b, et donc b doit aussi diviser a et b, et donc PGCD(a,b) ≥ PGCD(a-b,b). Fonction PGCD(a,b)
Entrée : deux entiers a,b avec a ≥ b ≥ 0 Sortie : plus grand commun diviseur de a et b
Si b = 0 alors retourner a
sinon retourner PGCD(b,a mod b) Complexité de l'algorithme d'Euclide
Fonction PGCD(a,b)
Entrée : deux entiers a,b avec a ≥ b ≥ 0 Sortie : plus grand commun diviseur de a et b
Si b = 0 alors retourner a
sinon retourner PGCD(b,a mod b) L'analyse de complexité fait appel au résultat suivant : Si a ≥ b alors a mod b < a/2.
- si b > a/2, alors a mod b = a-b < a/2. Par conséquent, à chaque appel récursif, l'un des deux arguments (a ou b) est divisé par au moins 2. Si on avait deux nombres de n bits au départ, on arrive donc au cas de base en au plus 2n itérations. A chaque itération, l'opération de modulo est en O(n), et par conséquent la complexité totale est O(n2). Algorithme d'Euclide étendu
PGCD(15,26) = ?
26 = 15 + 11
15 = 11 + 4
11 = 2 * 4 + 3
4 = 1 * 3 + 1
3 = 3 * 1 + 0
PGCD(15,26) = 1 = 4 - 3 = 4 - (11 - 2 * 4) = -11 - 3 * 4 = -11 + 3 * (15 - 11) = 3 * 15 - 4 * 11 = 3 * 15 - 4 * (26 - 15) = 15 * 7 + 26 * -4 = 1 d = 7Supposons qu'on veuille résoudre l'équation 15d mod 26 = 1, autrement dit trouver d et y tels que : Remarque : 15 et 26 dont premiers
entre eux, d'où l'existence de d et PGCD(15,26) = 1.
Algorithme d'Euclide étendu
Fonction PGCDmodif(a,b)
Entrée : deux entiers a,b avec a ≥ b ≥ 0 Sortie : x,y,d tels que d=PGCD(a,b) et ax + by = d Si b = 0 alors retourner (1,0,a)
(x',y',d) = PGCDmodif(b,a mod b) retourner (y',x'-(a/b)y',d)Ce principe par " substitution arrière » peut se formaliser par un algorithme récursif très proche de la fonction PGCD : La complexité est bien évidemment la même que celle de l'algorithme d'Euclide (la version étendue de l'algorithme d'Euclide se contente de faire remonter quelques information supplémentaires à chaque itération), soit O(n2).
Exponentiation modulaire
Fonction Modexp(x,e,n)
Entrée : entiers x,e,n
Sortie : xe mod n
Si e = 0 alors retourner 1
f = Modexp(x,e/2,n) Si e est pair alors
retourner f2 mod n sinon retourner x * f2 mod n Autrement dit :
si y est pair si y est impair Soit N le nombre de bits du plus grand entier parmi x,e,n. L'algorithme s'arrête après au plus N appels récursifs, et lors de chaque appel il multiplie des entiers d'au plus N bits (faire le calcul modulo n nous sauve
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