[PDF] Limites infinies limites à linfini

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ouvert ]a "L. lim ( ) xf x L si on peut rendre f(x) arbitrairement proche de L à condition de prendre x suffisamment grand. On utilise aussi la notation f(x) r L si x r "

On définit de manière similaire

lim ( ) xf x L prend x grand en valeur absolue, mais négatif, pour des fonctions définies sur un intervalle de la forme ]-" b[. La proposition suivante est évidente. Elle est souvent utilisée. que ( ) ( )f x g x pour xa aussi et on a lim ( ) lim ( ) xxf x g x

Exemple : On cherche

2lim4x

x x . Pour x positif,

4 ( 2)( 2)x x x

et pour 4x , on a

2( ) ( )4

xf x g xx où

1()2gxx

. Donc lim ( ) lim ( ) 0 xxf x g x

Propriétés

lim ( ) xf x L et lim ( ) xg x M et soit c une constante. On a les propriétés suivantes : 1) lim xacc . 2)

1lim 0xx

3) lim[ ( ) ( )] xf x g x L M . 4) lim[ ( )] xcf x cL 5) lim[ ( ) ( )] xf x g x LM . 6) ()lim()x f x L g x M 7) lim[ ( )]nn xf x L (n entier > 0). 8) lim ( )nn xf x L (L > 0 si n pair). 9) Si ( ) ( )f x g x sur un intervalle ]a "L, alors LM ces propriétés, on a en particulier que pour tout entier n > 0,

1lim 0nxx

Exemple 1 : Soient

2( ) 2 3 4P x x x

et

2( ) 5 6 7Q x x x

. Alors, en divisant en haut et en bas par x2, on a 2 2

342( ) 2 0 0 2lim lim67( ) 5 0 0 55

xx Pxxx Qx xx Dans cet exemple, 2x2 et 5x2 sont appelés les termes dominants de P(x) et Q(x), respectivement. La limite est donc le rapport des coefficients des termes dominants. Il est

facile de voir que la situation se généralise à tout quotient de polynômes de même degré.

Exemple 2 : Soient

( ) 2 3P x x et

2( ) 4 5 6Q x x x

. En divisant de nouveau en haut et en bas par x2, on a 2 2 23
( ) 0 0lim lim 056( ) 4 0 04 xx Pxxx Qx xx

Il est facile de voir que la situation se généralise à tout quotient de polynômes où le degré

du dénominateur est plus grand que le degré du numérateur : la limite est toujours zéro.

Limites infinies

Définition : Soit f une fonction définie au voisinage du point x = a, sauf peut-être au point

lim ( ) xafx si on peut rendre f(x) arbitrairement grand à condition de prendre x suffisamment proche

On définit de manière similaire

lim ( ) xafx (ou f(x) r -" si x r a). La différence est La proposition suivante est évidente. Elle est souvent utilisée. Proposition : Soient f et g deux fonctions définies au voisinage du point x = a, sauf peut- être au point x = a lui-même, avec la propriété que ( ) ( )f x g x pour xa . Si g tend vers On peut définir de manière similaire les limites infinies à gauche et à droite.

Exemples :

0

1limxx

0

1limxx

et 20

1limxx

Asymptotes

Si lim ( ) xf x L ou lim ( ) xf x L , on dit que la fonction f a une asymptote horizontale y = L. Si lim ( ) xafx lim ( ) xafx ou lim ( ) xafx , on dit que la fonction f a une asymptote verticale en x = a. au plus deux asymptotes horizontales. lim ( ) xfx si on peut rendre f(x) arbitrairement grand à condition de prendre x suffisamment grand.

On utilise aussi la notation f(x) r " si x r "

On définit de manière similaire

lim ( ) xfx (ou f(x) r -" si x r " lim ( ) xfx (ou f(x) r " si x r -" HP lim ( ) xfx (ou f(x) r -" si x r -"B

Exemples : Si n est un entier positif,

limn xx limn xx si n est pair et limn xx si n est impair.

On peut voir que si

()Px et ()Qx sont des polynômes et que le degré de ()Px est plus grand que le degré de ()Qx , alors ()lim , , ou()x Px Qx Cela dépend des signes des coefficients des termes dominants et de la parité des degrés des polynômes.

© 2015 B. de Dormale

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