[PDF] Logique Combinatoire et Séquentielle

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R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire

Minist`ere de l"Enseignement Sup´erieur et de la Recherche ScientifiqueU n i v e r s i t ´e A B D E R R A H M A N E M I R A

B e j a i a

Facult´e de Technologie

D´epartement de G´enie Electrique

Polycopi´e de cours UEF 2.2.1.2 intitul´e

Logique Combinatoire et S´equentielle

Dr AMIMEUR Hocine

Ma

ˆıtre de Conf´erences

Charg´e de Recherche

Laboratoire de maˆıtrise des ´energies renouvelables

Ann´ee universitaire 2016/2017Ce cours est destin´e aux ´etudiants en deuxi`eme ann´ee g´enie ´electrique.

Table des mati`eresTable des mati`eres

Table des mati`eres i

1 Syst`eme de num´eration et les codes 1

1.1 Syst`eme de num´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1 Base du syst`eme de num´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.2 Rang d"un chiffre de num´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2 Conversion d"un syst`eme de num´eration `a un autre . . . . . . . . . . . . .21.2.1 Conversion base B vers base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2.2 Conversion base 10 vers base B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2.3 Conversion base 2 vers base 2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.4 Conversion base 2nvers base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.5 Conversion de la base 8 vers la base 16 et de la base 16 vers la base 851.3 Arithm´etique binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.3.2 Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.3.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.4 Nombres entiers n´egatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.4.1 Repr´esentation par un bit de signe et une valeur absolue . . . . . .81.4.2 Repr´esentation par le compl´ement `a 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .81.4.3 Repr´esentation par le compl´ement `a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .91.5 Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.5.1 Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.5.2 Codes pond´er´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.5.3 Codes non pond´er´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Circuits logiques combinatoires 13

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.2 Fonctions logiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.2.1 Fonction compl´ement (NON, NOT) (inverseur) . . . . . . . . . . .132.2.2 Fonction produit logique (intersection) (porte ET, AND) . . . . . .14i

Table des mati`eres

2.2.3 Fonction somme logique (r´eunion) (porte OU, OR) . . . . . . . . . 14

2.3 Propri´et´es relatives (NON, ET, OU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Fonctions NAND (NON ET) et NOR (NON OU) . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Fonction NAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 Fonction NOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Fonctions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1 Fonction OU Exclusif (Exclusive OR, XOR) . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.2 Fonction co¨ıncidence ou identit´e (NON OU Exclusif, Exclusive NOR,

NX OR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Repr´esentation des fonctions logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6.1 Formes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6.2 Premi`ere forme canonique, disjonctive FNCD, ou somme des produits 20

2.6.3 Deuxi`eme forme canonique, conjonctive FNCC, ou produit des sommes 21

2.6.4 Troisi`eme forme canonique ou forme "NON ET" . . . . . . . . . . . 21

2.6.5 Quatri`eme forme canonique ou forme "NON OU" . . . . . . . . . . 21

2.7 Simplification des fonctions logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1 M´ethode alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.2 M´ethode graphique (m´ethode de Karnaugh) . . . . . . . . . . . . . 22

2.8 Additionneur et soustracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.1 Demi-additionneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.2 Additionneur complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.3 Demi-soustracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.4 Soustracteur complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9 Comparateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10 Transcodeur, codeur et d´ecodeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.10.1 Transcodeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.10.2 Codeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10.3 D´ecodeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.11 Circuits d"aiguillage d"information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11.1 Multiplexeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11.2 D´emultiplexeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Circuits logiques s´equentiels39

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Bascules asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Bascule RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 Bascule JK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.3 Bascule D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.4 Bascule T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43ii

Dr. Amimeur H.

Table des mati`eres3.3 Horloge et bascules synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443.3.1 Horloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443.3.2 Bascule RS synchrone (RST ou RSH) . . . . . . . . . . . . . . . . .443.3.3 Bascule JK synchrone (JKT ou JKH) . . . . . . . . . . . . . . . . .453.3.4 Bascule D `a verrou (D latch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453.3.5 Bascule T synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.4 Synchronisation sur front et exemples de chronogrammes . . . . . . . . . .463.5 Compteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.5.2 Compteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.5.3 Compteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513.6 Registres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .553.6.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .553.6.2 Registre `a d´ecalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Bibliographie iiii

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codesChapitre 1

Syst`eme de num´eration et les codes

1.1 Syst`eme de num´eration

Le syst`eme de num´eration traitant des nombres binaires est appel´esyst`eme binaireousyst`eme `a base 2. Ce syst`eme comporte deux chiffres 0 et 1. Les chiffres binaires sont

aussi appel´es bits (venu debinary digit). Physiquement, dans les circuits ´electroniques num´eriques, un bit 0 est repr´esent´e par une tension basse (LOW) et un bit 1, par une tension haute (HIGH). Les ˆetres humains ont toujours travaill´e avec lesyst`eme d´ecimal. Ce denier est malheu- reusement difficile `a adapter aux m´ecanismes num´eriques, car il est difficile de concevoir du mat´eriel ´electronique fonctionnant sur dix plages de tensions diff´erentes. Tous les syst`emes de num´eration ont une caract´eristique de valeur ou de position (ou de poids). Par exemple, si on prend un syst`eme `a basea, un nombreNpeut s"´ecrire:

N=NnNn-1· · ·N1N0(a)

Sa valeur d´ecimale est:

N=Nnan+Nn-1an-1+· · ·+N1a1+N0a0

N nanrepr´esente le chiffre le plus significatif (appel´e chiffre de poids fort) etN0a0est le

moins significatif (appel´e chiffre de poids faible).Exemple 1.11413020110(2)= 1·24+ 1·23+ 0·22+ 0·21+ 1·20123,561(10)= 1·102+ 2·101+ 3·100+ 5·10-1+ 6·10-2+ 1·10-3

1.1.1 Base du syst`eme de num´eration

C"est le nombre de chiffres utilis´e par le syst`eme de num´eration.1.Syst`eme d´ecimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sa base est 10 (B= 10);1

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codes2.Syst`eme binaire: 0, 1. La base estB= 2;3.Syst`eme octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dont le base est 8 (B= 8);4.Syst`eme hexad´ecimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, o`u la base est

B= 16.

Pour les quatre bases usuelles:D´ecimal (B= 10)Binaire (B= 2)Octal (B= 8)Hexad´ecimal (B= 16)000011112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F161000020101.1.2 Rang d"un chiffre de num´eration

Le rang d"un chiffre de base quelconque est ´egal l"exposant de baseBassoci´e `a ce chiffre.Exemple 1.223021160(8)= 2·83+ 0·82+ 1·81+ 6·80Le rang de 2 est3, le rang de 0 est2, celui du chiffre 1 est1et le 6 est de rang0.

1.2 Conversion d"un syst`eme de num´eration `a un

autre

1.2.1 Conversion base B vers base 10Exemple 1.31.Base 2 vers base 1010111

(2)=?(10) = 1·24+ 0·23+ 1·22+ 1·21+ 1·20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 (10)2 Chapitre 1Syst`emes de num´eration et les codes2.Base 8 vers base 10701 (8)=?(10) = 78 + 081+ 180 = 448 + 0 + 1 = 449 (10)

3.Base 16 vers base 1015A

(16)=?(10) = 116 + 5161+ 10160 = 256 + 80 + 10 = 346 (10)

1.2.2 Conversion base 10 vers base B

Elle consiste `a diviser parBautant de fois que cela est n´ecessaire pour obtenir un

quotient nul. Ensuite on ´ecrit les restes dans l"ordre inverse de celui dans lequel ils ont ´et´e

obtenus. Pour la partie fractionnaire on multiplie parB(r´esultat nul ou selon la pr´ecision de- mand´ee).

Conversion base 10 vers base 2

Exemple 1.4

57;43

75 (10)=?( )

Partie enti`ere:

FPremiere facon

572= 28 reste1

282 = 14 reste0

142 = 7 reste0

72 = 3 reste1

32 = 1 reste1

12 =0reste1

Arr^et

57
(10)= 111001( )

FSeconde facon

P artie fractionnaire: 0 43

75 2 =0;8750

0 87

50 2= 1;7500

0 75

00 2= 1;5000

0 50

00 2= 1;0000

Arr^et3

Dr. Amimeur H.

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codes0,4375(10)= 0111(2)donc 57,4375(10)= 111001,0111(2).

Conversion base 10 vers base 8Exemple 1.5155(10)=?(8)155÷8 = 19 reste3

19÷8 = 2 reste3

2÷8 =0reste2↑Arrˆet155(10)= 233(8)

Conversion base 10 vers base 16Exemple 1.6155(10)=?(16)155÷16 = 9 resteB

9÷16 =0reste9↑Arrˆet155(16)= 9B(16)

1.2.3 Conversion base 2 vers base2n

Conversion base 2 vers base 8(23)

On regroupe le nombre en base 2 (binaire) en groupe de 3 bits.4 Chapitre 1Syst`emes de num´eration et les codesExemple 1.7

111001110

(2)=?(8) 110
(2)=6(8)001 (2)=1(8)111 (2)=7(8))11

10 01110(2)= 716(8)

Conversion base 2 vers base 16(24)

On regroupe le nombre en base 2 en groupe de4bits pour avoir son ´equivalent en base 16 (2 4).

Exemple 1.8

11011
(2)=?(16) 1011
(2)= B(16)0001 (2)= 1(16))00011011(2)=1B (16)

1.2.4 Conversion base2nvers base 2

Conversion base ?(23)vers base 2

Exemple 1.9

572
(8)=?(2) 2 (8)=

0 10(2)7

(8)=

1 11(2)5

(8)=

1 01(2))57

2 (8)= 101111010(2)

Conversion base 16(24)vers base 2

Exemple 1.10

1D3 (16)=?(2) 3 (16)= 0011(2)D (16)= 1101(2)1 (16)= 0001(2))1D

3 (16)=000111010011(2)=111010011(2)

1.2.5 Conversion de la base ? vers la base 16 et de la base 16

vers la base ?

Conversion base ?(23)vers base 16(24)

On convertit le nombre en base 8 vers la base 2 par groupe de 3 bits, puis vers la base

16 par groupe de 4 bits.5

Dr. Amimeur H.

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codesExemple 1.11330(8)=?(16)

Premi`ere ´etape (base 8 vers base 2): 330

(8)=?(2)0(8)= 000(2)3(8)= 011(2)3(8)= 011(2)?330(8)=011011000(2)= 11011000(2)

Seconde ´etape (base 2 vers base 16): 11011000

(2)=?(16)1000(2)= 8(16)1101(2)= D(16)?11011000(2)= D8(16)

Par suite: 330

(8)= D8(16)

Conversion base 16(24)vers base 8(23)

On convertit le nombre en base 16 vers la base 2 par groupe de 4 bits, puis vers la base

8 par groupe de 3 bits.Exemple 1.1213F(16)=?(8)

Premi`ere ´etape (base 16 vers base 2): 13F(16)=?(2)F(16)= 1111(2)3(16)= 0011(2)1(16)= 0001(2)?13F(8)=000100111111(2)= 100111111(2)

Seconde ´etape (base 2 vers base 8): 100111111

(2)=?(8)111(2)= 7(8)111(2)= 7(8)100(2)= 4(8)?100111111(2)= 477(8)

Donc: 13F

(16)= 477(8)

1.3 Arithm´etique binaire

Les op´erations d"addition, de soustraction, de division et de multiplication dans le syst`eme binaire se font de la mˆeme mani`ere que dans le syst`eme d´ecimal.

1.3.1 AdditionExemple 1.13100101(2)+ 100011(2)=?(2)6

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codes1 1 1←retenues

1 0 0 1 0 1←premier facteur

+ 1 0 0 0 1 1←second facteur= 1 0 0 1 0 0 0←r´esultat (somme)

Alors, 100101

(2)+ 100011(2)= 1001000(2).

1.3.2 SoustractionExemple 1.141000(2)-0111(2)=?(2)1101010←premier facteur

101111 1←second facteur= 0 0 0 1←r´esultat (diff´erence)

Donc, 1000

(2)-0111(2)=0001(2)= 1(2).

1.3.3 MultiplicationExemple 1.151101(2)×101(2)=?(2)1 1 0 1←multiplicande

×1 0 1←multiplicateur11 1 0 1←premier produit

10 0 0 0• ←deuxi`eme produit

11 1 0 1• • ←troisi`eme produit= 1 0 0 0 0 0 1←r´esultat (produit final)

Donc, 1101

(2)×101(2)= 1000001(2) N.B:Les arithm´etiques octal et hexad´ecimal se font de la mˆeme fa¸con que dans les arithm´etiques d´ecimal et binaire.

1.4 Nombres entiers n´egatifs

Il existe trois types de repr´esentation7

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codes1.4.1 Repr´esentation par un bit de signe et une valeur absolue

Le premier bit indique le signe

?0 pour le signe +;

1 pour le signe-.

Le reste des bits repr´esente la valeur absolue du nombre en base 2.Exemple 1.16+ 3(10)=011(2)o`u0-→signe-et11-→|3|-3(10)=111(2)o`u1-→signe+et11-→|3|-8 =11000+8 =01000

Effectuer sur 4 bits les op´erations suivantes: 1) 0 (10)-1(10)=?(10)0(10)=0000-1(10)=1001?0000+ 1001=1001?-1(10)(le r´esultat est correct) 2) +1 (10)-2(10)=?(10)+ 1(10)=0001-2(10)=1010?0001+ 1010=1011?-3(10)(le r´esultat estfaux) Inconv´enient:la soustraction vue comme une addition bit `a bit ne fonctionne pas.

1.4.2 Repr´esentation par le compl´ement `a 1

Un nombre n´egatif est obtenu en compl´ementant tout ses bits (par exemple, le compl´ement de 10010 est 01101).Exemple 1.17+ 5(10)= 101 et avec le bit de signe c"est:0101

-5(10)= 010 et en tenant compte du bit de signe:1010Effectuer l"op´eration +2(10)-3(10)=?(10)en compl´ement `a 1 (c`a1) sur 4 bits.+ 2(10)=0010+ 3(10)=0111-3(10)=1000 en c`a1?0010+ 1000=1100 le c`a1 de 100 est 001?1001 =-1(10)

D"o`u: +2

(10)-3(10)=-1(10).8

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codes1.4.3 Repr´esentation par le compl´ement `a 2

Un nombre n´egatif est obtenu en compl´ementant tout ses bits et en lui ajoutant 1

(c"est-`a-dire c`a2 = c`a1 +1).Exemple 1.18+ 6(10)=0110-6(10)=1001←c`a1+ 1---=1010←c`a2? -6(10)=1010 en c`a2.

1.5 Codes

1.5.1 Codage

Le codage est une op´eration qui ´etablie une correspondance entre les ´el´ements de deux

ensembles diff´erents (lettres, chiffres, des signes de ponctuation, etc.).

1.5.2 Codes pond´er´es

Codes binaire, octal, d´ecimal et hexad´ecimal

Chaque chiffre en base B re¸coit un poids proportionnel `a sa position.Exemple 1.19N(8)= 1531 5 3↑ ↑ ↑828180?153(8)= 1·82+ 5·81+ 3·80.

N (16)= D1E9(16)= D·163+ 1·162+ E·161+ 9·160.

Code BCD (Binary Coded Decimal)

Chaque chiffre en d´ecimal (base 10) est cod´e en 4 bits en binaire (base 2). Par exemple,421(10)=010000100001(BCD)au lieu de 110100101(2)en binaire naturel.-En BCD un nombre denchiffres occupe 4nbits;-Pour l"addition en BCD, on ajoute le 6(10)(0110(BCD)) si le r´esultat est strictement

sup´erieur `a 9

(10)(1001(BCD));-Pour la soustraction, il suffit de soustraire le 0110(BCD)si le r´esultat est sup´erieur `a

1001
(BCD);-En code BCD, le code 8421 est plus r´epandu.9 Chapitre 1Syst`emes de num´eration et les codesD´ecimalBCD

00 0 0 0

10 0 0120 01030 0114010 050101601107011181 0 0 0

91 0 01Code BCD: 8421

Les 4 bits pond`erent les chiffres 8, 4, 2 et 1. Ainsi, 0111 correspond `a 08+ 14 + 1

2 + 11 = 0 + 4 + 2 + 1 = 7 donc 0111(BCD)= 7(10).

Il existe aussi d"autres codes BCD on cite `a titre d"exemple les codes 2421 et 5421.

1.5.3 Codes non ponderes

Codes de Gray

Il encode les entiers de telle fa¸con que le passage d"un nombre au nombre suivant ne change qu"un seul bit `a la fois. e tableau suivant illustre l"exemple `a 4 bits.D´ecimalBinaireGray

00 0 0 00 0 0 0

10 0 0 10 0 0120 0 1 00 01130 0 1 10 0 1040 1 0 0011 050 1 0 10 1 1160 1 1 00 10170 1 1 10 1 0081 0 0 011 0 091 0 0 11 1 01101 0 1 01 111111 0 1 11 1 10121 1 0 0101 0131 1 0 11 0 11141 1 1 01 001151 1 1 11 0 00D"apr`es le tableau pr´ec´edent: 9

(10)= 1001( )= 1101(G).10

Dr. Amimeur H.

Chapitre 1 Syst`emes de num´eration et les codesExemple 1.20101001(2)=?(G)et 1011(G)=?(2)Binaire:1→+0→+1→+0→+0→+1↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓Gray:1 1 1 1 0 1?101001(2)= 111101(G).Gray:1 0 1 1↓+↓+↓+↓Binaire:1?1?0?1?1011(2)= 1101(G).

Code d´etecteur d"erreur par ajout d"un bit de parit´e

On ajoute un bit suppl´ementaire qui s"appelbit de parit´e. Le bit de parit´e est tel que:Parit´e paire (PP):?PP = 0,si le nombre des 1 est pair;

PP = 1,si le nombre des 1 est impair.Parit´e impaire (PI):?PI = 0,si le nombre des 1 est impair;

PI = 1,si le nombre des 1 est pair.

Le bit de parit´e paire (PP) est le plus utilis´e.Exemple 1.21Code (information)bit de parit´e (PP)0 0 0110 01010 011011011010100110011

Chapitre 2 Circuits logiques combinatoires12

Chapitre 2Circuits logiques combinatoiresChapitre 2 C ircuits logiques combinatoires

2.1 Introduction

Un circuit gouvern´e par les r`egles de la logique combinatoire poss`ede une ou plusieurs entr´ees, et une ou plusieurs sorties, et ob´eit `a la propri´et´e suivante: L"´etat de la (ou des) sortie(s) `a un instant donn´e ne d´epend que du circuit et de la valeur des entr´ees `a cet instant.8 :s

1=ffe1 e2 eng...

s n=ffe1 e2 eng

2.2 Fonctions logiques de base

2.2.1 Fonction compl´ement (NON, NOT) (inverseur)

- Table de v´erit´eES=f(E)AA 01 10 13

Dr. Amimeur H.

Chapitre 2 Circuits logiques combinatoires-Symbole (sch´ema logique)2.2.2 Fonction produit logique (intersection) (porte ET, AND)-Table de v´erit´eABA·B000010100111La sortie (S=A·B) estvraisi toutes les entr´ees (AetB) sont `a l"´etatvrai.-Symbole2.2.3 Fonction somme logique (r´eunion) (porte OU, OR)-Table de v´erit´eABA+B000011101111La sortie (S=A+B) estvraisi au minimum une des entr´ees (AouB) est `a l"´etat

vrai.-Symbole14 Chapitre 2 Circuits logiques combinatoires2.3 Propri´et´es relatives (NON, ET, OU) SoientA,BetCtrois variables logiques.a)Commutativit´e

A·B=B·A

A+B=B+A

D´emonstration en utilisant la table de v´erit´e:ABA·BB·AA+BB+A000000010011100011111111b)Associativit´e

A·(B·C) = (A·B)·C

A+ (B+C) = (A+B) +C

D´emonstration par la table de v´erit´e (T. V.) deA·(B·C) = (A·B)·C:ABCB·CA·(B·C)(A·B)(A·B)·C00000000010000010000001110001000000101000011000101111111c)Distributivit´e

ET/OU (AND/OR)A·(B+C) = (A·B) + (A·C)

OU/ET (OR/AND)A+ (B·C) = (A+B)·(A+C)

D´emonstration par la T. V. deA+ (B·C) = (A+B)·(A+C):ABCB·CA+ (B·C)A+BA+C(A·B)·C000000000010001001000100011111111000111110101111110011111111111115

Chapitre 2 Circuits logiques combinatoiresd)Compl´ementation

A·A= 0

A+A= 1e)InvolutionA=Af)El´ement neutre

A·1=A

A+0=Ag)El´ement absorbant

A·0=0A+1=1h)Idempotence

A·A=AetA·A·A· ··· ·A=A

A+A=AetA+A+A+···+A=Ai)De Morgan1.Premier th´eor`eme de De Morgan(Compl´ement d"une somme)A+B=A·BA+B+C=A·B·C2.Second th´eor`eme de De Morgan(Compl´ement d"un produit)A·B=A+BA·B·C=A+B+C

D´emonstration par la T. V. deA+B=A·B:ABA+BA+BABA·B000111101101001010010111000016

Chapitre 2Circuits logiques combinatoiresExemple d"application des diff´erentes propri´et´es

SoitF(A;B

;C) =ABC+B(A+C) + A+B+AC D

´emontrer queF(A;B;C) =BC+A?

F(A;B ;C) =ABC+B(A+C) + A+B+AC =ABC+AB+BC+ABAC =ABC+AB+BC+AB(A+C) =ABC+AB+BC+AAB+ABC =BC(A+

1 )+ A(B+B)+ ABC

=BC+A+ABC =BC+A(1 + BC) =BC+A 2.

4 Fonctions NAND (NON ET) et NOR (NON OU)

2.4.1 Fonction NAND

F(A;B) =AB

- Table de v´erit´eABAB001 011 101
110

La sortie (

S=AB) es t` al" ´etatfauxsi toutes les entr´ees (AetB) sont `a l"´etatvrai.

- SymboleLa fonction (l"op´erateur) NAND permet la r´ealisation des trois fonctions de base comme

indiqu

´e par les logigrammes suivants:

NAND est donc un op´erateur (fonction) complet.

2.4.2 Fonction NOR

F(A;B) =A+B17

Dr. Amimeur H.

Chapitre 2 Circuits logiques combinatoires-Table de v´erit´eABA+B001010100110La sortie (S=A·B) estvraisi toutes les entr´ees (AetB) sont `a l"´etatfaux.-SymboleLa fonction (l"op´erateur) NAND permet la r´ealisation des trois fonctions de base comme

indiqu´e par les logigrammes suivants:L"op´erateur NOR permet la r´ealisation des trois fonctions logiques de base, c"est alors

un op´erateur logique complet.18quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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