Algorithmique Récursivité
On appelle récursive toute fonction ou procédure qui s'appelle elle même. Algorithme Fact. Entrée : un entier positif N. Sortie : factorielle de N.
Fonctions récursives (5.1)
IFT2810 A2009
Cours 2 : La récursivité
Comment programmer une fonction récursive ? Quels sont les pièges à éviter ? 2013-2014. Algorithmique. 9. Page
Programmation fonctionnelle Récursivité
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Récursivité
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Le document présente des exemples de fonctions définies de façon récursive – L'objectif est de comprendre la programmation récursive de quelques fonctions
Fonctions récursives (5.1)
Il est parfois difficile de définir un objet
Il est parfois plus simple de définir cet objet en fonction de lui-mêmeCe procédé s'appelle la récursivité
On peut utiliser la récursivité pour définir des ensembles, des suites, des fonctionsIFT2810, A2009, Sylvie Hamel
Université de Montréal
1Fonctions récursives
Récursivité
Récursion en programmation
Quand une méthode (fonction) s'appelle elle-mêmeUn exemple classique:IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
Université de Montréal
2Fonctions récursives
La fonction factorielle
n!=1·2·3··· ··(n-1)·nDéfinition récursive:
f(n)=1sin=0
n·f(n-1)sinonIFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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3Fonctions récursives
Éléments essentiels d'une méthode récursiveUn (ou plusieurs) cas de base
Les valeurs d'entrées pour lesquelles on ne fait aucun appel récursif sont appelées les cas de baseAppels récursifs
Appels de la méthode couranteChaque suite d'appels récursifs doit essentiellement se terminer sur un cas de baseIFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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4Fonctions récursives
Trace d'une récursion
Une boîte pour chaque appel
récursif Une flèche pour chaque appelUne flèche pour chaque retour d'une valeurFactoRécur(4)
appel appelFactoRécur(3)FactoRécur(2)
appel appelFactoRécur(1)FactoRécur(0)
appelRetourner 1Retourner 1*1=1 1Retourner 2*1=2
2Retourner 3*2=6
3Retourner 4*6=24
4IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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5Fonctions récursives
Un autre exemple de récursion linéaire
Algorithme SommeLinaire(A,n)
Entrées: Une liste d'entiers A et un entier
n >=1, tel que A contient au moins n élémentsSortie: La somme des n premiers entiers de A
Si n=1 alorsretourner A[0]Sinonretourner SommeLinaire(A,n-1)+ A[n-1]IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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6Fonctions récursives
Bien définir la récursion
Lorsqu'on crée des méthodes récursives, il est important de les définir de façon à faciliter la récursionCela implique parfois qu'il faut donner des
paramètres additionels en entrée à la méthode Pour définir une fonction récursive qui inverse les éléments d'une liste, il est plus facile de définir une méthode InverseListe(A,i,j) qui prend en entrée deux indices i et j en plus de la liste a inverser.IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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7Fonctions récursives
Inverser les éléments d'une liste
Algorithme InverseListe(A,i,j)
Entrées: Une liste d'entiers A et des indices i et jSortie: La liste ayant les éléments de l'indice i à j
dans l'ordre inverseSi i < j alorséchanger A[i] et A[j]
InverseListe(A,i+1,j-1)
Retourner A
IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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8Fonctions récursives
"Tail recursion" Lorsqu'une méthode récursive exécute son appel récursif comme dernière étape La méthode InverseListe en est un exempleCes méthodes peuvent facilement être converties en des méthodes non récursives (ce qui sauve de l'espace mémoire)IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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9Fonctions récursives
Récursion Binaire
Quand une méthode fait deux appels récursifsExemple:Algorithme SommeBinaire(A,i,n)Entrées: Une liste d'entiers A et des entiers i et nSortie: La somme de n entiers dans A, où l'on
commence à additionner à partir de l'indice i Si n = 1 alorsretourner A[i]Sinonretourner SommeBinaire[A,i,n/2] +SommeBinaire[A,i+n/2,n/2]
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10Fonctions récursives
Calculer les nombres de Fibonacci
Les nombres de Fibonacci sont définis récursivement F 0 =0F 1 =1 F i =F i-1 +F i-2 pour i > 1Les calculer avec un algorithme récursif (essai 1)Algorithme FibBinaire(k)
Entrées: Une entier k >= 0Sortie:
F kSi k = 0 ou 1 alors
retourner k sinon retourner FibBinaire(k-1) + FibBinaire(k-2)IFT2810, A2009, Sylvie Hamel
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11Fonctions récursives
Un meilleur algorithme
Algorithme FibLineaire(k)Si k = 1 alors
retourner (k,0) sinon (i,j) := FibLinaire(k-1) retourner (i+j, i)Entrées: Une entier k >= 0Sortie:
(F k ,F k-1Complexité en temps: O(k)
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