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MÉTHODES

ET EXERCICES

Physique méthodes et exercices

MPSI PTSI

ANNE-EMMANUELLE BADEL

EMMANUEL ANGOT

© Dunod, 2011, 2015

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com ISBN 978-2-10-072656-1Conception et création de couverture : Atelier 3+

Table des matières

Méthodes à retenir2

Énoncés des exercices6

Du mal à démarrer ?12

Corrigés des exercices13

CHAPITRE2CIRCUITS LINÉAIRES ENRÉGIME CONTINU17

Méthodes à retenir18

Énoncés des exercices26

Du mal à démarrer ?35

Corrigés des exercices37

CHAPITRE3RÉGIME TRANSITOIRE DU PREMIER ORDRE46

Méthodes à retenir47

Énoncés des exercices52

Du mal à démarrer ?60

Corrigés des exercices62

CHAPITRE4RÉGIME TRANSITOIRE DU SECOND ORDRE73

Méthodes à retenir74

Énoncés des exercices81

Du mal à démarrer ?91

Corrigés des exercices92

i

Méthodes à retenir104

Énoncés des exercices109

Du mal à démarrer ?121

Corrigés des exercices123

CHAPITRE6FILTRAGE135

Méthodes à retenir136

Énoncés des exercices144

Du mal à démarrer ?158

Corrigés des exercices160

CHAPITRE7CINÉMATIQUE180

Méthodes à retenir181

Énoncés des exercices188

Du mal à démarrer ?196

Corrigés des exercices198

CHAPITRE8PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE207

Méthodes à retenir208

Énoncés des exercices216

Du mal à démarrer ?229

Corrigés des exercices231

CHAPITRE9ENERGIE MÉCANIQUE243

Méthodes à retenir244

Énoncés des exercices249

Du mal à démarrer ?259

Corrigés des exercices261

ii CHAPITRE10MOUVEMENT DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE ET MAGNÉTIQUE271

Méthodes à retenir272

Énoncés des exercices277

Du mal à démarrer ?282

Corrigés des exercices282

CHAPITRE11PROPAGATION D"UN SIGNAL-NOTION D"ONDES287

Méthodes à retenir288

Énoncés des exercices295

Du mal à démarrer ?301

Corrigés des exercices302

CHAPITRE12LOIS DESNELL-DESCARTES-RÉFLEXION ET RÉFRACTION308

Méthodes à retenir309

Énoncés des exercices314

Du mal à démarrer ?324

Corrigés des exercices325

CHAPITRE13LENTILLES MINCES SPHÉRIQUES336

Méthodes à retenir337

Énoncés des exercices342

Du mal à démarrer ?355

Corrigés des exercices357

CHAPITRE14INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE373

Méthodes à retenir374

Énoncés des exercices378

Du mal à démarrer ?384

Corrigés des exercices385

iii CHAPITRE15MOMENT CINÉTIQUE-SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D"UN AXE FIXE389

Méthodes à retenir390

Énoncés des exercices399

Du mal à démarrer ?406

Corrigés des exercices407

CHAPITRE16FORCES CENTRALES CONSERVATIVES415

Méthodes à retenir416

Énoncés des exercices422

Du mal à démarrer ?433

Corrigés des exercices434

CHAPITRE17ETATS DE LA MATIÈRE444

Méthodes à retenir445

Énoncés des exercices454

Du mal à démarrer ?461

Corrigés des exercices462

CHAPITRE18PREMIER ET SECOND PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE468

Méthodes à retenir469

Énoncés des exercices482

Du mal à démarrer ?494

Corrigés des exercices496

CHAPITRE19MACHINES THERMIQUES511

Méthodes à retenir512

Énoncés des exercices515

Du mal à démarrer ?533

Corrigés des exercices535

iv CHAPITRE20CHAMP MAGNÉTIQUE-FORCES DELAPLACE-INDUCTION549

Méthodes à retenir550

Énoncés des exercices570

Du mal à démarrer ?584

Corrigés des exercices586

v

CHAPITRE

11

Oscillateurs harmoniques et si-

gnaux sinusoïdaux

Thèmes abordés dans les exercices

?Amplitude. ?Pulsation, période et fréquence. ?Phase instantanée ou à l"origine et déphasage. ?Oscillateur harmonique. ?Conservation de l"énergie mécanique. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices ?Caractériser un signal sinusoïdal. ?Etablir l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique. ?Résoudre l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique. ?Etablir l"équivalence entre les deux formes de solution d"un oscillateur harmonique. 1 Chapitre1Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux

Les méthodes à retenir

Etabliretreconnaîtrel"équation

différentielled"un oscillateur harmonique.•Connaître l"expression de la force de rappel d"un ressort -→f=-kx-→u →ext en notantkla raideur du ressort,xson allongement algébrique et-→u →ext le vecteur unitaire dirigé vers l"extérieur du ressort. •Utiliser leprincipefondamental deladynamiqueaprèsavoir défini le système et le référentiel et établi un bilan des forces. Cf. chapitre

Principe fondamental de la dynamique.

•Connaître la forme de l"équation différentielle d"un oscillateur har- monique

¨x+ω

20 x=0ennotantxle paramètre étudié etω 0 la pul- sation du mouvement.

Exemple :

ll 0 x=l-l 0 -→f=-kx-→u →ext -→u →ext On étudie le système constitué de la massemdans le réfé- rentiel terrestre considéré comme galiléen. Il est soumis à la force de rappel du ressort-→fainsi qu"à son poidsm-→get à la réaction-→R du support, ces deux forces étant perpen- diculaires au mouvement selon l"axe Ox.Leprincipefon- damental de la dynamique s"écritm-→a=-→f+m-→g+-→Rdont la projection sur l"axe Oxdonnem¨x=-kxou¨x+k mx=0. C"est l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique de pulsationω 0 k mobtenue par identification.

Exercice1.8.

2 Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdauxChapitre1 Résoudreléquation différentielledun oscillateurharmonique.•Savoir que la solution de l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique

¨x+ω

20 x=0 peut s"écrire sous l"une des deux formes : a)x(t)=Acos(ω 0 t)+Bsin(ω 0 t)où A et B sont deux constantes d"intégration à déterminer à l"aide des conditions initiales, b)x(t)=Xcos?ω 0 t+??où X et?sont deux constantes d"intégra- tion à déterminer à l"aide des conditions initiales. •Savoir passer d"une forme de solution de l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique à l"autre enutilisant les deuxrelations trigonométriques cos (a+b)=cosacosb-sinasinbd"une part et sin (a+b)=sinacosb+sinbcosad"autre part, ce qui conduit aux relations

A=Xcos?

B=-Xsin??

?X=? A 2 +B 2 tan?=-B A

Exemple :

On reprend l"exemple précédent pour lequel on suppose qu"on écarte initialement la massemd"une distancea et qu"on l"abandonne sans vitesse initiale. La solution de l"équation différentielle s"écritx(t)=Xcos?ωt+??etladé- rivée x(t)=-ωXsin?ωt+??. Les conditions initiales sont d"une part pour la positionx(0)=Xcos?=aet d"autre part pour la vitesse x(0)=-ωXsin?=0 donc sin?=0ou encore?=0etX=a. Finalementx(t)=acosωt. Autre manière de faire : on écrit la solution sous la formex(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)et la dérivée x(t)=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt). Les conditions initiales conduisent àx(0)=A=aetx=Bω=0doncA=aet B=0

à savoir la même expression.

En“n on peut passer dune forme à lautre par les relations indiquées ci-dessus.

Exercices1.2, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10.

Utiliseret relierlesnotions

damplitude, de phase, de période,de fréquenceet de pulsation.Pour un signalx(t)=Xcos?ωt+??, on définit les différentes gran- deurs suivantes :

•l"amplitude X,

•la pulsationω

0 ou la fréquencefvérifiantf=ω 0

2πou la période T

telle que T=1 f=2π 0

•la phase à l"instantt:ω

0 t+?et la phase initiale?. 3 Chapitre1Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux

Exemple :

12345678 9 10 11 12

0 Š4

Š22

4 Š3

Š113

x(t)(cm) t(s) x(0)X -Xv 0 =x(0)TT On lit une amplitude X=3,0 cm. On mesure la période T par l"écart entre les instants de deux maxima successifs soit T=t 2 -t 1 =8,6-2,4=6,2 s. On en déduit la valeur de la fréquencef=1

T=16,2=0,16 Hz ainsi que celle de la

pulsationω=2πf=1,0 rad.s -1

Exercices1.1, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9, 1.10.

Estimer un déphasageet déterminersi

unsignalest enavanceou enretardsur un autre.Soientx 1 (t)=X 1 cos?ωt+? 1 ?etx 2 (t)=X 2 cos?ωt+? 2 ?deux signaux demême pulsationωdoncdemême périodeT. Ilssontditsdéphasés dansletemps.Ledéphasagedusignalx 2 (t)parrapportausignalx 1 (t) est noté?=? 2 1 et est lié au plus petit décalage temporelΔtentre deux maxima consécutifs dex 1 etx 2 .Onaalors?=±2πΔt T.

•Six

2 (t) atteint son maximum aprèsx 1 (t) (ce qui est le cas ici), on dit quex 2 (t) est en retard surx 1 (t)etona?<0.

•Six

2 (t) atteint son maximum avantx 1 (t), on dit quex 2 (t)esten avance surx 1 (t)etona?>0. Remarque :le déphasageétant défini à2πprès, avanceet retardsont bien évidemment deux notions relatives. Ainsi un déphasage retard

2correspond à un déphasage avance de 2π-π2=3π2.Afinde

lever toute ambiguité, on choisit souvent une valeur de déphasage 4 Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdauxChapitre1

Exemple :

02468 121357911

0 Š4

Š22

4 Š3

Š113

x 1 (t)x 2 (t) t(s)Δt T T=t 2 -t 1 =10,2-3,9=6,3 s. Le déphasage correspond au décalage temporel des deux maxima soit pourt 1 =5,3 s et t 2 =7,1 s doncΔt=7,1-5,3=1,8 s. La valeur du dépha- sage est donc?=? 2 1 =-2πΔt

T=-2π1,86,3soit numéri-

quement?=-1,8 rad. Le déphasage dex 2 (t) par rapport àx 1 (t) est négatif puisquex 2 (t) est en retardsurx 1 (t) c"est-

à-dire quex

2 (t) passe par son maximum aprèsx 1 (t).

Exercices1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.9.

Interpréterlaphase àlorigine.L"interprétation de la phase à l"origine? 2 du signalx 2 (t) peut aussi être envisagé en termes de déphasage avec une courbe fictive pré- sentant son maximum ent=0. Il faut alors pour la calculer prendre l"écart temportelΔtcomme indiqué sur la courbe suivante.

Exemple :

02468 121357911

0 Š4

Š22

4 Š3

Š113

x 2 (t) t(s)Δt 5 Chapitre1Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux On mesure la période par l"écart entre deux maxima suc- cessifs soit T=t 2 -t 1 =7,1-0,8=6,3 s. Le phase à l"ori- gine correspond à la position du premier maximum soit

Δt=0,80 s, sa valeur est donc?=-2πΔt

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