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2 allée Kepler - 77420 Champs-sur-Marne

Satory LIVIC - Batiment 140 - 13 route de la Minière - Satory - 78000 Versailles

Internet www.lcpc.fr

MODÉLISATION NON LINÉAIRE

DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE DES CHAUSSÉES

AVEC LE MODULE CVCR DE CESAR-LCPC

Opération de recherche 11P063

" Outils avancés de calcul et de dimensionnement des structures de chaussées » Par :

Denis ST-LAURENT, ing.

Division Structures et Matériaux pour

les Infrastructures de Transport (SMIT)

Le 5 août 2008

Direction du Laboratoire

des Chaussées

AVANT PROPOS

J'ai préparé ce document au cours de mon séjour à la division SMIT du centre LCPC de

Nantes, dans le cadre du programme franco-québécois d'échange de fonctionnaires. Je tiens à

remercier tout le personnel de la division SMIT pour leur esprit de collaboration ainsi que pour leur accueil chaleureux et leur aide amicale. Merci à Pierre Hornych pour l'accueil et

l'aide qu'il a assurée dès mon premier appel téléphonique, et à Jean-Michel Piau pour les

enseignements qu'il m'a transmis généreusement. Mon séjour serait aussi nettement moins riche sans le précieux concours que j'ai reçu de Jean-Maurice Balay, Didier Bodin, Armelle Chabot, Ferhat Hammoum et Emmanuel Chailleux. Merci aussi à Chantal de La Roche pour

son support et sa confiance, ainsi qu'à tout le personnel de la division, thésards et chercheurs

de passage qui contribuent à la cohésion d'ensemble et au maintien d'une belle ambiance de travail.

Je n'oublie pas aussi les intervenants du Ministère des Transports du Québec qui m'ont donné

la chance de vivre cet échange, enrichissant pour moi et ma famille. Je remercie en particulier Anne-Marie Leclerc, Claude Tremblay, Guy Tremblay et Guy Bergeron qui m'ont accordé leur confiance et les dispositions nécessaires à la réalisation de ce projet.

1TABLE DES MATIÈRES

1.0 Introduction..........................................................................................................................2

2.0 Contexte ...............................................................................................................................3

3.0 Notions théoriques................................................................................................................5

3.1 Tenseurs de contraintes et de déformations .....................................................................5

3.2 Potentiel ou densité d'énergie élastique...........................................................................6

3.2.1 Rhéologie des sols et matériaux granulaires.............................................................7

3.3 Loi de Hooke..................................................................................................................10

3.4 Modélisation anisotrope.................................................................................................11

3.5 Modèle de Boyce............................................................................................................13

3.5.1 Inversion du modèle de Boyce................................................................................14

3.6 Modèle de Coulibaly......................................................................................................15

3.6.1 Inversion du modèle de Coulibaly ..........................................................................17

3.7 Modèle k-theta................................................................................................................20

3.8 Modèle d'Uzan...............................................................................................................21

4.0 Simulations non-linéaires avec CVCR...............................................................................21

4.1 Domaine de solution des différents modèles non linéaires............................................22

4.2 Post-traitement en terme de paramètres E, Nu, K et G sécants......................................27

4.3 Comparaison des modèles de Boyce et de Coulibaly ....................................................33

5.0 Conclusions........................................................................................................................39

6.0 Bibliographie......................................................................................................................40

ANNEXE 1 : Simulations axisymétriques non linéaires, SANS poids propre ANNEXE 2 : Simulations axisymétriques non linéaires, AVEC poids propre ANNEXE 3 : Base d'article rédigée par Jean-Michel Piau 2

1.0 Introduction

Le module de calcul aux éléments finis CVCR (Chaussée Visco-élastique sous Charge

Roulante) permet le calcul des déplacements, des déformations réversibles et des contraintes

dans une chaussée multicouche soumise à une charge roulante. Il est intégré au progiciel d'éléments finis CESAR-LCPC du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC). Cette

chaussée peut être constituée de matériaux à lois de comportement élastique linéaire isotrope,

élastique non linéaire éventuellement orthotrope pour les matériaux non traités ou les sols

(modèles k-theta et Boyce modifié) et visco-élastique linéaire isotrope pour les enrobés

bitumineux (modèle Huet & Sayegh). Le module CVCR peut avoir plusieurs usages requérant l'analyse de la réponse d'une chaussée dans le cadre de la réalisation d'expertises et de travaux de recherche. Son utilisation est par exemple préalable au module ORNI, qui est un autre module de CESAR-LCPC destiné cette fois au calcul prévisionnel de l'orniérage. Le module CVCR peut aussi servir de préalable pour un calcul d'endommagement par fatigue. Il peut aussi s'appliquer à un corps de géométrie quelconque, tel qu'une éprouvette de laboratoire, en l'absence de matériau viscoélastique. La programmation du module CVCR a auparavant été complétée, documentée et validée

(Nguyen et al., 2008). Les travaux décrits dans le présent document ont été réalisés dans le but

d'établir des solutions de référence avec le module CVCR pour appuyer le développement et

la validation d'un outil de calcul non linéaire simplifié (par exemple ZEPHYR ou ALIZÉ). Deux problèmes sont apparus lors de la modélisation d'essais de plaque sur chaussée. D'une

part, le modèle k-theta s'est avéré inutilisable parce que les calculs tendent toujours à

converger vers des états de contraintes et déformations en dilatance (pression négative) à la

base de la GNT. Dans ces conditions le module CVCR interrompt les calculs avant de les

compléter. D'autre part, le post-traitement des résultats issus du modèle de Boyce mène vers

des modules d'Young et coefficients de Poisson sécants défiant les critères d'acceptation généralement reconnus avec la loi de Hooke.

Cette double problématique entrave la mise au point d'un outil non linéaire simplifié basé sur

la théorie des couches élastiques. Un autre modèle, celui de Coulibaly, a été incorporé dans

une version recherche de CVCR pour faire face au second problème, mais on trouve encore la

même incompatibilité avec les limitations de la loi de Hooke. Une étude théorique a aussi été

menée pour vérifier le respect des lois de la thermodynamique lors de l'utilisation du modèle

de Boyce.

Le présent rapport situe le sujet à l'aide d'une mise en contexte et décrit les notions théoriques

impliquées. Les simulations effectuées et les problèmes rencontrés sont ensuite présentés et

analysés. 3

2.0 Contexte

Le dimensionnement des structures de chaussées se base en premier lieu sur un calcul des

champs de contraintes et déformation produits dans la chaussée sous le passage des véhicules

lourds. Ces calculs peuvent se faire à l'aide de différents modèles de calcul. Il faut y introduire des informations sur le comportement mécanique des matériaux, notamment sur le

comportement contraintes/déformations. Les outils utilisés sont en général limités au domaine

des déformations réversible et se basent sur la théorie de l'élasticité linéaire isotrope. Le

comportement mécanique des matériaux est dans ce cas représenté par le module d'Young et le coefficient de Poisson. A faible niveau de déformation (de l'ordre de 10 -3 ) le comportement en compression des matériaux granulaires est de type élastique non linéaire durcissant, en se basant sur la

réversibilité et la forme des courbes de déformation. Ceci se traduit par un module élastique

sécant variable en fonction de l'état de contraintes. Cela varie dans le corps d'une chaussée en

fonction de plusieurs facteurs : épaisseur et rigidité des différentes couches de la structure de

chaussée, poids propre des matériaux constituant la chaussée, configuration et poids des

camions circulant à la surface, distance d'un point donné par rapport à la position des roues

des véhicules, température du revêtement bitumineux, etc. La prise en compte de ces variations exige le recours à des outils de calcul tenant compte du comportement non linéaire. Elle est souhaitable et justifiée entre autre par ce qui suit : x Le LCPC reconnaît l'importance de la non linéarité du comportement mécanique des matériaux granulaires dans le cas des chaussées souples. x La méthode de dimensionnement du MTQ reconnaît l'importance de la non linéarité depuis le début des années 90. x Les outils manquent pour inclure efficacement la non linéarité dans la pratique du dimensionnement des chaussées. x Le Guide de dimensionnement SETRA-LCPC de 1994 prescrit une méthode de subdivision des couches de graves non-traitées (GNT) en sous-couches de modules croissants du bas vers le haut. Cette méthode a pour but de tenir compte du comportement mécanique non linéaire. L'approche s'avère peu satisfaisante : elle ne tient pas compte de l'ensemble de la structure, et ne s'adapte pas en fonction du chargement appliqué en surface. On ne peut par ailleurs pas tracer d'abaque de dimensionnement car la réponse en fonction des épaisseurs est irrégulière. x La méthode de dimensionnement du MTQ tient compte de la non linéarité en ajustant le module des couches granulaires à l'aide de critères prédéterminés en fonction de l'épaisseur du revêtement. Cette méthode s'avère peu satisfaisante car elle ne tient pas compte de la qualité du support ni de l'épaisseur des fondations. Elle souffre aussi de la plupart des limitations affectant la méthode LCPC. x La prévision mécaniste des ornières (module ORNI de CESAR-LCPC ou méthode 1-

D simplifiée) nécessite au préalable des calculs élastiques non linéaires car on ne peut

à la rigueur pas admettre la présence d'efforts de tension dans les matériaux granulaires. x Un outil non linéaire et opérationnel permettrait finalement de mieux gérer les problèmes suivants qui sont récurrents dans le cadre de l'exercice de la profession : o Effet de la rigidité du sol support, sur le module des fondations et de la sous fondation.

4o Effet d'enclume sur la rigidité des fondations granulaires au dessus de coupes de

roc, de dalles concassées (rubblizing) ou dans les structures inverses et de type " sandwich ». o Effet de la rigidité et de l'épaisseur de la structure sur le module des fondations, sous fondations et sols. o Aléas des rétrocalculs FWD et de leur interprétation. o Effets de la charge sur les modules, ce qui est particulièrement important pour les dossiers impliquant des véhicules extra lourds, hors norme, aéronautiques ou industriels. o Chaussées souples ou à revêtement mince. 5

3.0 Notions théoriques

On rappelle ici quelques notions théoriques en lien avec le présent travail.

3.1 Tenseurs de contraintes et de déformations

Le tenseur est fondamental en mécanique pour décrire les états de contraintes et de déformations régnant dans un milieu continu. La convention usuelle est la suivante pour

décrire l'état de contraintes d'un point matériel ou élément de volume en trois dimensions :

zzyzzxyzyyyxxzxyxx

VVVVVVVVV

VV où V ij =V ji

La valeur des différentes composantes

V ij dépend de l'orientation des axes (repères) de

référence. Il est heureusement possible de définir des quantités significatives invariantes,

indépendamment du repère de projection du tenseur.

Premier invariant

zzyyxx trIVVVVT )( 1 ou encore )(31 3V T trp = pression moyenne. Cet invariant est donc défini par la trace du tenseur, c'est-à-dire la somme des composantes formant la diagonale de la matrice. Nota : A moins d'indication contraire, on adoptera en général la convention de signe usuelle de la mécanique avec V positif en traction et négatif en compression. Un signe (-) est alors appliqué au calcul de la pression moyenne pour obtenir une pression p positive en compression.

Deuxième invariant

222222

2 6/)( yzxzxyzzyyzzxxyyxx

JVVVVVVVVVV

ou en d'autres termes )(3621)(23 23

22222222

VVVVVVVVVVWJstrq

yzxzxyzzyyzzxxyyxxoct Cet invariant est défini par le déviateur de contrainte " s » issu des composantes hors de la diagonale du tenseur (matrice de trace nulle) :

Ips˜ V

100010001

I (matrice identité) Le principe est le même en terme de déformations. 6

Premier invariant de déformations

zzyyxxv trHHHHH )(= déformation volumique

Deuxième invariant de déformations

)(34632)(32

22222222

HHHHHHHHHHHJetr

yzxzxyzzyyzzxxyyxxq Ie v

˜ 3

H H : déviateur de déformation (matrice de trace nulle) Quelques identités utiles à reconnaître : )(31 22
str oct W )(31 22
etr oct J

2222222

6)(3 yzxzxyzzyyzzxxyyxx strVVVVVVVVV ˜ octoct GJW2 octoct q qG J W H23 v pK H pq KG qv HH3

Rappel de traces à reconnaître :

v trHH )( TV )(tr 0)( etr 0)( str 22
23)(:
q etreeH 22

32)(:qstrss

2 3)(:: q

GestreseHV

Nota : Le symbole " : » exprime le produit contracté (élément par élément) entre deux

matrices, on obtient la même chose en faisant la trace du produit matriciel )·(:batrba , ce qui donne un scalaire.

3.2 Potentiel ou densité d'énergie élastique

Le potentiel élastique décrit l'énergie fournie par un élément de matière élastique lors d'un

processus de déformation élastique. Une relation contraintes-déformations qui dérive du

potentiel élastique est dite hyperélastique et assure le respect des deux premiers principes de

la thermodynamique. Le potentiel élastique, ou la densité d'énergie élastique de déformation

(w ou U) représente l'aire sous la courbe contrainte-déformation d'un matériau. Sa dérivée

par rapport aux déformations permet de déduire les contraintes :

HVww w Ÿ

xxxx w HVww yyyy w HVw w

Le potentiel élastique complémentaire, ou la densité d'énergie élastique de contrainte (w

ou U c ) s'exprime réciproquement en fonction du tenseur de contraintes. Sa dérivée permet de déduire les déformations : VHww w xxxx w VHww yyyy w VHw w

Ces deux quantités (

w et w) sont liées par la relation suivante : 7 HV: tww pour HV, quelconques HV: ww pour HV, liés par une relation élastique

La densité d'énergie élastique de contrainte du modèle élastique linéaire isotrope (loi de

Hooke) s'écrit ainsi :

22
3)1(

6)21(),(*

qEEqw Q T Q T Ce modèle décrit le matériau à l'aide de deux constantes, le module d'Young (E) et le coefficient de Poisson ( Q). Il peut aussi s'écrire en termes de modules de compressibilité (K) et de cisaillement (G), ce qui permet de voir le découplage des cisaillements et efforts normaux dans le plan des invariants p, q : 2 222
61
21

62),(*pq

GKpGq Kpqw T La densité d'énergie élastique de déformation s'écrit : 22

321),(

octvoctv

GKwJHJH

3.2.1 Rhéologie des sols et matériaux granulaires

L'étude des sols et matériaux granulaires montre qu'ils n'obéissent pas à la loi de Hooke,

mais qu'ils suivent une loi non linéaire dans la portion élastique. Etant de fait composé de

particules distinctes, ces matériaux ne peuvent pas résister à des états de traction significatifs.

L'enveloppe de rupture utilisée en mécanique des sols (Figure 1) reconnaît ce fait en conditions de chargement statique. Les sols possédant une cohésion interne (C) sont les seuls à pouvoir supporter un effort de tension (p négatif). Un matériau granulaire pourrait aussi développer une petite cohésion sous l'effet d'une succion d'eau en condition partiellement

saturée. Cette possibilité a été ajoutée dans le module CVCR en introduisant une translation

de l'origine (O vers O') à partir d'un paramètre de pression de cohésion (Pc) pouvant

s'ajouter aux modèles de comportement mécanique. Cette translation s'opère dans le modèle

rhéologique en remplaçant la pression p par p + Pc. Il faut noter que l'introduction d'une

valeur Pc lors du calage d'un modèle rhéologique entraine forcément un effet sur la valeur des

autres paramètres du modèle. 8 Figure 1 : Diagramme p-q, droite de rupture et cohésion Les efforts de compression ont au contraire pour effet d'accroitre la rigidité des matériaux granulaires en rapprochant les grains les uns des autres. Les matériaux granulaires présentent

donc un comportement asymétrique ou unilatéral qui se reflète dans la non linéarité des

courbes de déformation réversible.

Au niveau structural, les calculs avec une loi élastique font apparaître des efforts de traction

dans les matériaux granulaires. Cela se produit notamment sous la charge en bas de couche, un peu comme s'il s'agissait de la fibre inférieure d'une poutre en flexion. De tels efforts de

traction ne peuvent pas se produire dans la réalité. Si un matériau granulaire est comprimé

verticalement et étiré horizontalement, les grains auront vraisemblablement tendance à

chercher à s'éloigner (par effet de Poisson) jusqu'à ce qu'ils trouvent un appui horizontal,

constitué de matière plus éloignée mais plus stable. On peut alors tenter d'imaginer une espèce de butée, ou contrainte de compression, produite sous l'effet d'une zone d'augmentation de volume 1 . Une loi de comportement appropriée devrait dans ce cas admettre un gonflement volumique, mais seulement des contraintes de compression. Cela se situe évidemment en dehors du cadre fourni par la loi de Hooke.

Plusieurs modèles ont été développés pour décrire le comportement local des matériaux

granulaires. Ces modèles rhéologiques sont en général exprimés à partir des invariants de

contraintes. On retrouve notamment les modèles suivants parmi ceux qui dérivent d'un potentiel élastique :

Le modèle non-linéaire de Boyce (1980) :

an an n a aan an Gqp Knp p pq

GKnppqpw611

61
11),( 211
12 11 1 Cette augmentation de volume se fait peut être au prix d'une augmentation temporaire de l'indice des vides. Cela pourrait par exemple favoriser l'intrusion des particules fines qu'on observe parfois sous l'effet du trafic lourd, sur les chantiers de construction où le matériau granulaire repose sur un sol argileux de faible portance. q p C Pc

Domaine physiquement

admissible

ij'(q/p)

max

27 0.5

45 1
63 2

68 2.5

72 3

Ligne de rupture

O O'

9Ce modèle décrit le matériau à l'aide de trois constantes (K

a , G a et n). Le paramètre p a est une pression de référence définie par convention, généralement la pression atmosphérique.

0dnd1 : on retrouve directement la loi de Hooke lorsque n tends vers 1 à ceci près que

la pression moyenne p doit être positive (compression seulement d'admise). Le modèle non-linéaire de Lade-Nelson (1987) : nn octvn a aoctv pkpnnw 211

22)21(1

9)21()1(

)1)(1(6)21(),( JHQQ QJH Ce modèle décrit le matériau à l'aide de trois constantes (k, Q et n). Le modèle non-linéaire de Taciroglu et Hjelmstad (2002) : 2422

33321),(

octvoctoctvoctv cbGKwJHJJHJH Ce modèle décrit le matériau à l'aide de quatre constantes (K, G, b et c). Le modèle non linéaire de Houlsby (1985) pour les argiles : 2

3)exp(),(

octv aoctv pwJDNN H JH Ce modèle décrit le matériau à l'aide de deux constantes (

N et D).

Une série d'autres modèles applicables aux argiles sont décrits par Niemunis et Cudny (1998).

Les modèles de potentiel élastique doivent respecter certaines conditions pour être convexes.

Des exemples de potentiel sont tracés sur la Figure 2 avec la loi de Hooke (E = 250 MPa,

Q = 0,35) et plusieurs cas de GNT représentés avec la loi de Boyce. La convexité de la loi de

Hooke exige que certaines conditions ( K>0, G>0 et -1 <

X < ½ ) soient respectées en

admettant un module d'Young positif. La convexité de la loi de Boyce est étudiée plus en détails dans la base d'article jointe à l'Annexe 3. 10 Figure 2 : Potentiel élastique complémentaire en fonction des invariants p et q

3.3 Loi de Hooke

Après dérivation du potentiel, la loi de Hooke s'écrit sous plusieurs formes, incluant les suivantes :

Formes abrégées (notation tensorielle) :

ItrEItr)()21(1)(2

HXXHXHOHPV

ItrEE)(1V

X V X H

ItrKeG)(2HV

KIp Gs32 H Où

I = matrice identité

Forme explicite :

11Forme vectorielle matricielle :

yzxzxyzzyyxx yz xzxyzzyyxx

GGEGEEEEEEEEE

VVVVVV

Q

QQQQQQ

H HHHHH H

1000000

1000000)1(21000000100010001

2 22

Que l'on abrége par :

VHC (C = matrice de souplesse)

klijklij

CVH en notation indicielle

yzxzxyzzyyxx yz xzxyzzyyxx

GGGGGGHHHHHH

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