Table des matières
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Comment déterminer le coefficient d écrouissage ?
La capacité d'un métal à s'écrouir est estimée par le coefficient d'écrouissage n : lors d'un essai de traction, on trace la courbe de traction rationnelle c'est-à-dire la courbe : ? = ƒ(?)Qu'est-ce que l écrouissage ou la consolidation de l'acier ?
Le terme d'écrouissage est utilisé pour désigner une opération de transformation des propriétés mécaniques du métal (laminage, tréfilage, soyage et forgeage). Dès que la contrainte dépasse la limite élastique, le métal passera en déformation plastique qui sera rémanente.C'est quoi la zone de striction ?
Caractérise la ductilité d'un matériau par un essai de traction. Elle est égale à la différence entre la section initiale de l'éprouvette et sa plus petite section après l'essai. Elle est généralement exprimée en % de la section initiale.- L'écrouissage du matériau est induit par la multiplication dans le matériau des dislocations engendrées par le champ de contrainte pour accommoder la déformation plastique et qui modifient la frontière d'écoulement, c'est-à-dire les états de contrainte permettant de poursuivre la déformation plastique.
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Table des matières
Table des matières3
Introduction
5Généralités
7Mécanismes physiques de déformation
7 Phénomènes observés◦Techniques d"essaisModèles analogiques
8 Modèles linéaires◦Modèles non linéairesPlasticité des barres
13Essai de traction
13 Modélisation du comportement en traction-compression 14Modèles avec écrouissage◦Modèles parfaits◦Critère de plasticité◦Lois d"écoulement plastique
Résolution explicite d"un problème d"élasto-plasticité 17 Solution analytique◦Solution éléments finis Résolution numérique d"un problème élasto-plastique 25Algorithmes de calcul◦Projection sur le critère de plasticité◦Application à la structure treillis
Plasticité des poutres
31Rappels et notations
31Modèle élasto-plastique
31Flexion pure◦Flexion simple
Modèle simplifié - rotule plastique
36Plasticité3D
39Critères de plasticité
39Critère de Von Mises◦Critère de Tresca◦Prise en compte de l"écrouissage
Loi d"écoulement plastique
43Définition◦Principe de Hill◦Condition de charge◦Loi de normalité
Résolution numérique
45Intégration de la loi de comportement◦Application aux éléments finis
Bibliographie
49Introduction
L"objectif de ce document est de présenter le modèle de comportementélasto-plastique classiquedans le cadre des
petites transformations.Le premier chapitre est une rapide introduction des phénomènes physiques. Nous présentons les mécanismes de
déformations, les techniques d"essais et quelques modèlesrhéologiques.Le deuxième chapitre concerne l"évolution élasto-plastique des structures treillis constituées de barres. Nous
introduisons des notions importantes : critère de plasticité, condition de charge, méthodes itératives de résolution
et projection sur le critère à partir d"un exemple simple traité par différentes méthodes.
Le troisième chapitre s"intéresse à l"évolution élasto-plastique des poutres. Après avoir présenté un modèle élasto-
plastique pour des essais de flexion, nous introduisons la notion de rotule plastique. Ce modèle simplifié est utilisé
pour le calcul des charges limites des portiques.Dans le dernier chapitre, nous formalisons les notions abordées au cours du deuxième chapitre pour les appliquer
aux problèmes tri-dimensionnels.Généralités
Ce premier chapitre distingue les phénomènes mécaniques impliqués dans la plas- ticité classique où le temps et les vitesses de déformation ne jouent qu"un rôle secondaire de ceux pour lesquels le temps et/ou les vitessesde déformation jouent un rôle important comme les phénomènes de fluage, de fatigue ou de plasticité dynamique.Mécanismes physiques de déformation
Le comportement macroscopique est en fait le résultat de déformations locales à une échelle microscopique. Cet aspect microscopique est fondamental pour la com- préhension physique des phénomènes et relève du domaine desmatériaux. Les concepts présentés dans ce document permettent de modéliser, dans une certaine mesure et de manière macroscopique, l"ensemble deces phénomènes mi- croscopiques qui sont à l"origine d"un comportement globalirréversible. Dans un premier temps, rappelons le vocabulaire relatif auxphénomènes obser- vés et aux principales techniques d"essai. Pour compléter ces informations, il est possible de consulter les ouvrages1 2.1D. François, A. Pineau et
A. Zaoui.Comportement méca-
nique des matériaux. Hermès,Paris,1991
2J. Lemaitre et J.L. Chaboche.
Mécanique des matériaux solides.
Dunod, Paris,1985Phénomènes observésLes différents phénomènes observés peuvent être classifiéscomme suit :
Déformations élastiques Elles correspondent à des variations des espaces interato- miques et à des mouvements réversibles de dislocations3. Ces déformations sont3Dislocation : défaut dans la
structure du réseau cristallin. Le nombre de dislocations augmentelorsque l"on charge le matériau.essentiellement instantanément réversibles et la configuration initiale est retrou-
vée après décharge. Déformations visqueuses Elles correspondent à la poursuite de la déformation alors que la charge est constante, il n"y a plus équilibre. Le tempset les vitesses de déformation jouent un rôle important dans les lois de comportement d"un ma- tériau visqueux. Lors de ce phénomène favorisé par l"activation thermique, on parle d"écoulement de fluage. Déformations permanentes Elles correspondent auxmouvements irréversibles des dis- locations. Ces déplacements se font par glissement dans les plans cristallogra- phiques4. En pratique ces déplacements ne modifient pas la structure cristalline4Plan cristallographique : plan de
plus grande densité d"atomeset le volume reste inchangé, on parled"incompressibilité plastique.
Écrouissage Ce phénomène aussi appeléconsolidationcorrespond à une augmen- tation du nombre de point de blocage du mouvement des dislocations. Il vient contrecarrer l"augmentation du nombre de dislocations, etmodifie le seuil au- delà duquel les déformations ne sont plus réversibles. Restauration Ce phénomène aussi appelé recouvrance correspond à une recris- tallisation par regroupement de dislocations de signe opposé. Il se produit dans le temps et est favorisé par l"activation thermique.Techniques d"essais
L"objectif des essais est de fournir à l"ingénieur, les caractéristiques mécaniques du matériau nécessaires aux calculs qu"il compte mener. Lors de ces essais, on observe 8 les déformations que subit une éprouvette sous l"action d"un système donné de contraintes. Les différents essais d"écrouissage à température constante peuvent être classifiés comme suit : Écrouissage Essai pour lequel la déformationεest imposée à vitesse constante; tA B (a) imposé A B (b) mesuréFig.1: écrouissage Fluage + recouvrance Essai pour lequel la contrainteσest imposée grâce à une fonction échelon suivi d"attente à contrainte nulle. La courbe de réponse caracté- rise ladéformation retardée; tσ A (a) imposé tA (b) mesuréFig.2: fluage + recouvrance Relaxation Essai pour lequel la déformationεest imposée selon une fonction échelon. La courbe de réponse caractérise la viscosité. t A B (a) imposéσ t A B (b) mesuréFig.3: relaxation Pour être reproductibles, ces essais sont normalisés5. Ils peuvent être réalisés sur5Les différents essais normalisés
sont disponibles sur le site del"AFNOR www.afnor.frdes éprouvettes de géométrie différente. Citons les essaisles plus classiques :
- chargement simple : tractionessai unidimensionnel; - chargement complexe : traction - torsion d"un tube mince, traction - pression d"un tube mince, traction biaxiale, compression triaxiale.Modèles analogiques
Ces modèles permettent d"avoir une image concrète simplifiée des équations tradui- sant les lois de comportement générales tensorielles. Les trois éléments mécaniques le plus utilisés sont décrits sur la figure4.Modèles linéaires
Ces modèles sont constitués d"assemblages de ressorts et d"amortisseurs linéaires.Généralités9
σσE
(a) ressort : élasticité li- néaire parfaiteσ=Eεε (b) amortisseur : viscosité linéaire newtonienneσ=ηεεσσσs
(c) patin : modèle rigide plastique parfait |σ|?σsFig.4: éléments d"assemblageÉlastique parfaite
La relation qui lie les déformations aux contraintes estσ=f(ε)comme indiqué sur la figure5. La réversibilité est instantanée, le tableau suivant donne l"allure caracté- ristique des courbes de réponses aux trois types d"essais évoqués précédemment. (a)σ=Eε (b) écrouissage t (c) fluageσ t (d) relaxationFig.5: élasticité parfaiteViscosité parfaite
Dans ce cas, les contraintes dépendent seulement de la variation temporelle des déformations tel queσ=f(ε). Les différentes relations contraintes-déformations sont illustrées sur la figure6. L"essai de fluage imposeσ=σ0, ce qui entraîne :ε=σ0/ηt(1)
etσ=0 entraîneε=ε1, soit un fluage illimité àt∞. L"essai de relaxation est théoriquement impossible, on ne peut pas imposer ins- tantanément une déformation au système, car à une vitesse infinie correspond une contrainte infinie. Ce que nous modéliserons par unefonction de dirac. (a)σ=ηε (b) écrouissage t (c) fluageσ t (d) relaxationFig.6: viscosité parfaiteVisco-élasticité
Dans ce cas, les contraintes dépendent à la fois des déformations et de leur variation temporelle tel queσ=f(ε,ε). Différents modèles peuvent être proposés. Les deux plus simples sont constitués d"un montage en série ou en parallèle. Les allures des courbes de réponse sont données sur la figure7. Modèle de MaxwellLe modèle de Maxwell est décrit sur la figure7. Pour l"essai de fluageσ=σ0entraîne :ε=σ0
ηt+σ0E(2)
10 oùσ0Ereprésente une déformation instantanée. Une contrainteσ=0 entraîneε= cste=ε1soit un fluage illimité àt∞. L"essai de relaxationε=ε0conduit à :σ=Eε0e-E
ηt(3)
autrement dit, une relaxation complète àt∞. (a)ε=1Eσ+1ησ (b) écrouissage t (c) fluageσ t (d) relaxationFig.7: modèle de Maxwell Modèle de Kelvin-VoigtCe modèle est décrit sur la figure8. Pour l"essai de fluage σ=σ0entraîneε=σ0/Etetσ=0 entraîneε=ε1=cste, soit un fluage limité dans le temps. L"essai de relaxation est théoriquement impossible car on ne peut pas imposer instantanément une déformation au système puisqu"à une vitesse infinie corres- pond une contrainte infinie. D"autres modèles plus complexes peuvent être construits sur le même principe. (a)σ=Eε+ηε t (b) écrouissageσ tε (c) fluageσ t (d) relaxationFig.8: modèle de Kelvin-VoigtModèles non linéaires
La non-linéarité peut venir du comportement du ressort ou del"amortisseur et l"in- troduction d"un patin, par exemple. Toute combinaison comportant un élément non linéaire aura un comportement non linéaire. Nous nous intéressons ici à la non- linéarité caractérisant la plasticité (patin). Sur les figures9,10,11et12sont repré- sentées les allures de la courbe de réponse à l"essai d"écrouissage pour les modèles que nous rencontrerons par la suite. σs (a) analogie mécanique s p (b) essai d"écrouissageFig.9: modèle rigide plastique parfait RPPGénéralités11
(a) analogie mécaniqueσσs
(b) essai d"écrouissageFig.10: modèle élasto-plastique parfait EPP (a) analogie mécanique s (b) essai d"écrouissageFig.11: modèle rigide plastique avec écrouissage RPE a b (a) analogie mécanique s EE (b) essai d"écrouissageFig.12: modèle élasto-plastique avec écrouissage EPEPlasticité des barres
Ce chapitre introduit les principales notions d"élasto-plasticité à partir de l"analyse de la réponse d"une éprouvette soumise à un essai de traction-compression. La mo- délisation de cet essai permet de présenter différentes schématisations couramment utilisées pour traiter des problèmes d"évolution élasto-plastique. Ces modèles sont ensuite soumis aux calculs analytique puis numérique des structures treillis.Essai de traction
Intéressons-nous à l"aspect phénoménologique de l"essai dans le cadre de l"élasto- plasticité classique, à savoir hypothèses de transformations quasi-statiques en pe- tites déformations et à température constante. FFS0 ?0Fig.13: éprouvette de tractionConsidérons une éprouvette de traction sous la forme d"un cylindre homogène
droit de sectionS0et de longueur?0. Cette éprouvette est soumise à un effort de tractionFcomme sur la figure13. Pour des petites déformations de l"éprouvette, l"état de contrainte peut être supposé uniforme et uniaxial(la diminution de section est négligée). Nous posonsε=εxx=Δ?/?0etσ=σxx=F/S0. Considérons les graphes (σ,ε)obtenus pour trois essais de traction avec décharge. Selon le niveau de sollicitation lors du chargement, nous obtenons les allures de la figure14. 0 (a) essai1:σ<σ0σ0σ
(b) essai2:σ=σ0 A Bσ0σ
pεe (c) essai3:σ>σ0Fig.14: traction avec décharge1.σ<σ0: le système se situe dans le domaine élastique et le comportement du
matériau est réversible. Il est supposé par la suite que la loi de comportement dans le domaine élastique est linéaire, soitσ=EεeoùEest le module d"Young du matériau;2.σ=σ0: cet essai est impossible à réaliser physiquement. La limite d"élasticitéσ0,
seuil à partir duquel il existe des déformations irréversibles, est définie de façon conventionnelle et correspond à une fraction de déformation permanente;3.σ>σ0: la décharge à partir du pointA(chargement maximum) s"effectue
parallèlement à la charge élastique, on parle de décharge élastique. EnB(charge nulle) ne subsiste que la déformation plastique ou déformation permanenteεp.σ0σ
εchargementmonotone
Fig.15: réponse à une série de
charges-décharges consécutivesEn tout point de la courbe, la déformation estε=εe+εp. Effectuons maintenant
une série de charges-décharges consécutives. L"allure de la courbe de réponse est représentée sur la figure15. Nous observons une évolution de la limite d"élasticité en traction due à l"écrouissage. En première approximation, nous pouvons considé- rer que : - lors des chargements consécutifs la limite d"élasticité suit la courbe du charge- ment monotone; - l"écoulement plastique ne modifie pas le module d"élasticité. 14 Par conséquent, connaissant la déformation plastique, le seuil de plasticité actuel peut être défini à partir de la courbe d"écrouissage obtenue pour un chargement monotone. En fait le problème de l"évolution du domaine d"élasticité est une des difficultés majeures de la plasticité. Prenons l"exemple d"un chargement cyclique pour mon- trer que la connaissance de l"état actuel (σ,εp) ne suffit pasa prioripour définir le domaine d"élasticité actuel. Sur la figure16, après décharge nous obtenons le point O ?, la déformation plastique est définie par le segmentOO?. Or dans cet état, la limite d"élasticité est différente au premier et au deuxième passage. Cet exemple montre que les lois décrivant l"évolution du domaine d"élasticité ont un caractère essentiellement incrémental. De plus, il faut distinguer deux cas :σ0σ
A BC O O?Fig.16: historique d"un cycle de
chargement OA-AB-BCCharge plastique Il y a variation des paramètres d"écrouissage et de la déforma-
tion plastique. Charge ou décharge élastique Il n"y a pas de variation des paramètres d"écrouis- sage ni de la déformation plastique. En résumé, l"évolution plastique ne peut se traduire que pardes lois incrémentalesreliant à un instant donné les incréments des paramètres d"écrouissage et de défor-
mation plastique à partir de l"état actuel. Pour l"étude desproblèmes quasi-statique d"élasto-plasticité (sans vieillissement ni viscosité),nous utilisons donc un temps ci- nématiquetpour repérer les états successifs du matériau en fonction del"historique des sollicitations.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] les alcanes pdf
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