[PDF] ÉQUATIONS POLYNOMIALES Corollaire : Un polynôme de





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Équations de degré deux trois et quatre

Niveau : Terminale. Difficulté : ??. Durée : 4 heures. Rubrique(s) : Algèbre (polynômes nombres complexes) . Encore des équations de degré 3 ou 4 avec une 



Équations de degré deux trois et quatre

Niveau : Terminale. Difficulté : ??. Durée : 4 heures. Rubrique(s) : Algèbre (polynômes nombres complexes) . Encore des équations de degré 3 ou 4 avec une 



Chapitre 4 - Les nombres complexes II : Résolution déquation

Résoudre l'équations Xn “ 1 et représenter les solutions dans le plan complexe. 1 Résolution dans C de l'équation du second degré. 1.1 Avec des coefficients 



ÉTS

qu'il est très pratique de pouvoir résoudre des équations de ce type. page D.4. Annexe D : Les nombres complexes. FORME POLAIRE. Les nombres complexes ...



NOMBRES COMPLEXES

certain nombre d'équations du troisième degré dans le cadre d'un concours. Prenons par exemple les nombres complexes z1 = 3+ 5i et z2 = 4 ?2i .



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Corollaire : Un polynôme de degré admet au plus racines. Démonstration au programme : Supposons que les nombres complexes



Equations avec des nombres complexes Equations du premier

Equations du second degré. On utilise la même méthode que pour les réels avec deux nuances : Il n'y a pas d'étude de signe possible.



RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL

2 3 4 c'est-à-dire de résoudre l'équation 2 3 4 0. Vous formule. En insérant des valeurs dans la cellule B1



CHAPITRE 3 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 3-1 ÉQUATIONS ET

équation de degré un. L'égalité l'addition et la multiplication des nombres complexes est définie ... 4ac = 16 – 4·5 = –4 < 0 ? 2 racines complexes:.



Nombres complexes

Exercice 4. Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : eei? et ei? +e2i? . 2 Racines carrées équation du second degré. Exercice 5.



[PDF] Équations de degré deux trois et quatre - PAESTEL

Rubrique(s) : Algèbre (polynômes nombres complexes) Encore des équations de degré 3 ou 4 avec une méthode de résolution cette fois-ci dans



[PDF] Equations jusquau quatrième degré dans les nombres complexes

24 mai 2016 · racine([ABCDE]Zp) :- est(T div(Bfois([-40]A))) est(P div(add(fois([60]fois(Acarre(T)))add(fois([30]fois(BT))C))A)) est(Q 



[PDF] Chapitre 4 - Les nombres complexes II : Résolution déquation

Dans ce chapitre on montre comment les nombres complexes permettent de résoudre des équations polynomiales de degré 2 y compris à coefficients complexes



[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Cette équation du second degré d'inconnue t admet les solutions t = ?1 et t = 4 Nous trouvons ainsi • x2 = ?1 (à rejeter car x est un réel) ; • x2 = 4 et 



équations du quatrieme degré - Gilles Dubois

L'équation générale (complexe) du quatrième degré a la forme suivante: az4+bz3+cz2+dz+e=0 où abcde ? ? et a ? 0 Remarquons qu'on peut tout de suite 



[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques

Racines carrées équation du second degré 2 1 Racines carrées d'un nombre complexe Pour z ? une racine carrée est un nombre complexe ? tel que ?2 = z



[PDF] Chapitre 6 Deux méthodes de résolution dans C des équation du

Quitte à diviser par le coefficient du terme de degré 4 toute équation du 4ième degré s'écrit y4+ay3+by2+cy+d=0 ; il suffit alors de poser y=x-a/4 pour se 



[PDF] Nombres Complexes et Polynômes

Pour tout entier naturel n un polynôme de degré n admet au plus n racines Recherche Exercice 5 : pour tout nombre complexe z on note P(z) = z3 ? 3z2 + 9z 



[PDF] 1 Corps des nombres complexes

1) Savoir résoudre une équation du second degré dont les coefficients sont des nombres complexes Nous expliquerons notamment en travaux dirigés comment 



[PDF] Equations avec des nombres complexes

Equations avec des nombres complexes Equations du premier degré De même qu'une équation du premier degré avec des réels le principe consiste à isoler le 

  • Comment résoudre une équation complexe de degré 4 ?

    L'équation générale (complexe) du quatrième degré a la forme suivante: az4+bz3+cz2+dz+e=0 où a,b,c,d,e ? ? et a ? 0. Remarquons qu'on peut tout de suite supposer que a=1 (en divisant les deux membres par a ? 0). Remarquons aussi qu'en rempla?nt l'inconnue z par z-b/4 le terme de degré 3 disparaît.

  • Comment calculer z4 ?

    On remarque que z4 = z3 z2 . On a donc z3 = z3 z2 = 2 ? 2 = ? 2 . On a aussi arg z4 = arg z3 ? arg z2 = ? 3 + ? 4 = 7? 12 (modulo 2?) .

  • Comment trouver les racines d'un polynôme de degré 4 ?

    On regarde la puissance de x la plus grande. C'est x4, donc le degré de P est 4. Montrer que x = -1 est une racine de ce polynôme. Il suffit de remplacer x par -1 dans P et si on trouve 0 c'est que -1 est racine de ce polynôme.

  • Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours

    1az²+ bz + c = 0 avec a?0.2On calcule le DISCRIMINANT b²-4ac, noté souvent ?, puis il suffit de regarder le signe de ? et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure.3Note: ? est un réel car a, b et c sont réels.
1

ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Partie 1 : Équations du second degré dans ℂ

Définition : Soit , et c des réels avec ≠0 et un nombre complexe.

On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté Δ, égal à -4.

Propriété :

- Si Δ > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions réelles distinctes : et - Si Δ = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution réelle : - Si Δ < 0 : L'équation ++=0 a deux solutions complexes conjuguées : et

Démonstration :

On met le trinôme sous sa forme canonique (Voir cours de la classe de 1

ère

2

-4

4

En posant Δ=

-4 : ++=0

2

4

≠0

2

4

- Si Δ > 0 :

2

3

4

2

3

4

2

2

2

2

L'équation a deux solutions réelles : et - Si Δ = 0 : L'équation peut s'écrire :

2

=0 L'équation n'a qu'une seule solution réelle : 2 - Si Δ < 0 : L'équation peut s'écrire :

2

4

=-1)

Donc :

2

3

4

2

3

4

4

>0)

2

2

2

2

L'équation a deux solutions complexes :

et Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Vidéo https://youtu.be/KCnorHy5FE4

Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) +5=0 b) +3+4=0

Correction

a) +5=0 =-5 =5

Donc : =

5 ou =-

5

Les solutions sont donc

5 et -

5. b) On calcule de discriminant Δ du trinôme : Δ=3 -4×1×4=-7 Δ<0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : et 3 2 7 2 3 2 7 2 Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++ sont donnés par : =- et =

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que l'équation +5=0 possède deux racines : 5 et - 5.

Ainsi : =

5 -

5=0 et =

5×-

5D=5 En appliquant, les formules de la propriété, on retrouve ces résultats : 0 1 =0= 5 1 =5. z 2 +3z+4=0 3

Partie 2 : Équations de degré n dans ℂ

1) Définition

Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de ℂ dans ℂ de la

forme , où ≠0) sont les coefficients réels de . L'entier est appelé le degré du polynôme . Propriété : Si une fonction polynôme est nulle, alors tous ses coefficients sont nuls.

2) Racine d'un polynôme

Définition : Soit un polynôme . Un nombre complexe s'appelle racine de si

=0.

Exemple :

Les nombres complexes et - sont les racines du polynôme +1. Théorème : Soit un polynôme définie par où est un entier supérieur ou

égal à 2.

Alors il existe un polynôme de degré -1, tel que

Démonstration au programme :

- Si =0 : C'est évident. - Si =1 :

On a :

+⋯++1 1 +⋯++1 +⋯++1

En soustrayant membre à membre, on a :

-1 +⋯++1 -1 - Si ≠0 quelconque : On remplace par / dans l'égalité ci-dessus : L -1MN +1O= -1

Soit en multipliant chaque membre par

Il existe donc un polynôme

de degré -1, tel que

Corollaire : Soit un polynôme de degré . Si est une racine complexe de , alors il existe

un polynôme de degré -1, tel que ()=

Démonstration au programme :

Comme est une racine complexe de , on a : =0.

Donc :

4 Or, pour tout compris entre 1 et , il existe un polynôme de degré -1, tel que :

Donc :

Il existe donc un polynôme de degré -1, tel que : Corollaire : Un polynôme de degré admet au plus racines.

Démonstration au programme :

Supposons que les nombres complexes

sont des racines deux à deux distincts du polynôme .

Alors il existe un polynôme

tel que : ()=

Or, 0=(

) et ≠0.

Donc

=0.

Ainsi, il existe un polynôme

tel que :

Et donc :

En continuant ainsi avec des polynômes

, on obtient :

D

On en déduit que le polynôme est de degré +é( Méthode : Factoriser un polynôme dont une racine est connue

Vidéo https://youtu.be/1Y-JtI6nNXU

Factoriser dans ℂle polynôme :

+4+4.

Correction

est un polynôme de degré 3, il admet au plus 3 racines.

On cherche une racine évidente de en testant des valeurs entières " autour de 0 ». On

peut tester également ou -. Il sera ensuite aisé de déterminer la ou les autres racines qui sont au plus au nombre de 2. On constate que =-1 est une racine évidente de : -1 -1 -1 +4 -1 +4=0 Donc, il existe un polynôme de degré 2, tel que : ()= +1

On a donc :

+4+4= +1 +4+4= +1 +4+4= +4+4=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 +=1 +=4 =4 soit Z =1 =0 =4 5

On en déduit que :

+4.

Or, il est possible de factoriser :

+4= -2 +2

En effet :

On a ainsi : ()=

+1 -2 +2

Méthode : Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est

connue.

Vidéo https://youtu.be/KqghKmQ9gOk

Résoudre dans ℝ l'équation

-3+1=0.

Correction

On pose

-3+1.

On voit que =1 est une racine évidente de . Donc il existe un polynôme , de degré 2,

tel que : ()=(-1)().

On a donc :

-3+1=(-1)() -3+1=(-1)( -3+1= -3+1=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 -=1 -=-3 -=1 soit Z =1 =2 =-1

Donc :

-1 +2-1

L'équation

-3+1=0 peut s'écrire -1 +2-1 =0.

Soit : -1=0 ou

+2-1=0 =1 Δ=8 -2- 8 2 =-1- 2 ou =-1+ 2 =^-1- 2;-1+ 2;1`quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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