[PDF] Solutions aux énigmes Solutions aux énigmes. Iggidr Amine.

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Solutions aux énigmes

Iggidr Amine

March 21, 2021

1 Solution énigme Lundi 1 :

La première affirmation nous indique que les numéros composant le digicode sont1;2;6et7. On a donc24codes possibles (4choix pour le chiffre des unités,

3pour celui des dizaines,2pour les centaines et1pour les milliers).

La deuxième nous dit que le chiffre des unités (le dernier) est2ou6, il reste donc

12codes possibles (2choix pour le chiffre des unités,3pour celui des dizaines,

2pour les centaines et1pour les milliers).

Chaque tentative prend15secondes, donc il faut1512secondes soit3minutes pour tenter les12codes possibles : (1276;1672;1726;1762;2176;2716;6172;6712;7126;7216;7162;7612) donc les en- fants sont certains d"entrer dans la salle au trésor. 1

2 Solution énigme Lundi 2 :

NotonsRle rayon de la sphère. La surface du liquide est à une distanceR2 du centre de la sphère lorsque le verre est horizontal. Si l"on penche le verre sans renverser de liquide, la surface est toujours à distance R2 du centre (car c"est une demi-sphère). Soitl"angle maximal d"inclinaison du verre sans en renverser le contenu. Le milieu de la surface est à distance R2 du centre du cercle, et le centre du cercle est à distance R du bord du verre, le sinus de l"angle vaut donc :R2 R =12

Donc= 30degrés.

2

3 Solution énigme Mardi 1 :

Supposons que le premier chapeau dit la vérité : les deux autres mentent donc. Comme le premier dit la vérité, le chaton est sous le premier chapeau, or comme le deuxième ment, le chaton est sous le premier chapeau. C"est impossible donc le premier chapeau ment. Si le premier et le troisième chapeau mentent, le chapeau ne se trouve pas sous le premier (selon le premier chapeau) et se cache sous le premier en même temps (selon le troisième chapeau). C"est impossible donc le deuxième chapeau ment. Si le troisième chapeau dit la vérité, cela signifie selon le premier et troisième chapeau que le chat n"est pas sous le premier chapeau, et selon le deuxième chapeau il n"est pas sous le deuxième chapeau. Donc le chaton se cache sous le troisième chapeau. 3

4 Solution énigme Mardi 2 :

Pour simplifier la solution, notons A l"orientation de

314212021

et B l"orientation contraire (si

314212021

est orienté nord, A=nord et B=sud, et inversement si314212021 est orienté sud). Remarquons que si la différence entre deux nombres est un entier, ils ont même orientation (en effet, siyxest un entier, par exempleyx= 5, alorsxet x+1ont même orientation, puisx+1etx+2ont même orientation doncxet x+ 2ont même orientation et ainsi de suite jusqu"à ce que l"on obtienne quex etx+ 5ont même orientation, orx+ 5 =ydoncxetyont même orientaiton. Grâce à cette explication préliminaire, voici un tableau expliquant comment trouver l"orientation de

314212021

(Inv signifie que l"on passe à l"inverse, ce qui change l"orientation du nombre) :Opération-15 Inv -1 Inv -1 Inv -4 Inv -1

Nombre31421

2021

11062021

20211106

9151106

1106915

191915

915191

151191

191151

40151

OrientationA A B B A A B B A A

Inv -3 Inv -1 Inv -3 Inv -2 Inv -3

151
40
3140
4031
931
319
49
94
14

4 1B B A A B B A A B B

Ainsi, 1 qui a pour orientation Nord a une orientation contraire à

314212021

, donc

314212021

a pour orientation Sud 4

5 Solution énigme Mercredi 1 :

Il suffit de rajouter à la fontaine carrée un triangle isocèle rectangle sur chaque côté de la fontaine 5

6 Solution énigme Mercredi 2 :

Soit un tel nombre, notons A le nombre des milliers, B celui des centaines, C celui des dizaines et D celui des unités. On a donc1000A+100B+10C+1D=

4000D+ 400C+ 40B+ 4A

Rappel : On aA;B;CetDentre 0 et 9 inclus.

Comme le nombre est inférieur à10000, il faut queD2(donc il peut valoir0;1ou2). De plus, comme le chiffre des unités est d"une partD, d"autre part le chiffre des unités de4A, il faut que4Asoit égal à0(doncA= 0ou5), ou à1(impossible), ou à2(doncA= 3ou8). DoncDpeut valoir0ou2

Traitons le premier cas (D= 0) :

Comme1000A1000A+100B+10C+D= 400C+40B+4A <4440

doncA <5doncA= 0 Alors100B+ 10C= 400C+ 40Bdonc60B= 390Cdonc2B= 13C. Si C6= 0,2Bdoit être un multiple de13pair, donc2B26: C"est impossible carB <10. DoncC= 0puisB= 0et on a bien0000 = 40000.

Second cas (D= 2) :

On a8000 = 4000D4000D+ 400C+ 40B+ 4A= 1000A+ 100B+

10C+ 1D1000A+ 1110doncA7, or il ne peut valoir que3ou8donc

A= 8. On a donc8000+100B+10C+2 = 8000+400C+40B+32d"où60B= 390C+30 (on divise par30) soit2B= 13C+ 1.

13C+ 1est donc pair, doncCest impair, siC2;2B132 + 1 = 27

impossible carB <10. On a doncC= 1, puisB= 7.

On a bien8712 = 42174.

Les solutions sont donc8712et0000.

6

7 Solution énigme Jeudi 1 :

On nommera dans la suite le tonneau de 7L le gros tonneau, et celui de 4L le petit.

Étape 1 :

Remplir le tonneau de 7L puis le vider dans celui de 4L jusqu"à ce qu"il soit rempli. On a donc 3L dans le gros et 4L dans le petit tonneau.

Étape 2 :

On vide le petit tonneau, et on y verse les 3L du gros puis on remet 7L dans le gros tonneau. On a à la fin de cette étape 7L dans le gros, et 3L dans le petit.

Étape 3 :

On verse 1L du gros tonneau dans le petit, et on vide le petit. On a maintenant

6L dans le gros et 0 dans le petit

Étape 4 :

On verse 4L du gros tonneau dans le petit, on a finalement 2L dans le gros tonneau ce qui était voulu. Panoramix est soulagé, il pourra distribuer sa potion magique avant l"arrivée des Romains ! 7

8 Solution énigme Jeudi 2 :

Les nombres sont enroulés autour de l"origine, on va tout d"abord de 1 vers la droite, puis 1 vers le haut, puis 2 vers le gauche, puis 2 vers le bas et ainsi de suite. Au 1 er tour on se décale de1 = 211vers la droite puis d"autant vers le haut, puis on se décale de2 = 21vers la gauche puis d"autant vers le bas. On se retrouve après ces mouvements sur la case (-1,-1) et cela correspond aux coordonnées du nombre 6. Au deuxième tour, on se décale de3 = 221vers la droite puis d"autant vers le haut, puis on se décale de4 = 22vers la gauche puis d"autant vers le bas. On se retrouve après ces mouvements sur la case (-2,-2) et cela correspond aux coordonnées du nombre 20. On en déduit qu"au n-ième tour (Avecn1), on se décale de2n1vers la droite puis vers le haut, puis de2nvers la gauche puis vers le bas. Ainsi, au n-ième tour, on a attribué des coordonnées à2n1 + 2n1 +

2n+ 2n= 8n2numéros, donc au bout de n tours, on a numéroté au total

812 + 822 ++ 8n2 = 8(1 + 2 ++n)2nnombres, et le

dernier nombre a pour coordonnées (-n,-n). Or, si on noteS= 1 + 2 ++n, on voit que2S=S+S= (1 + 2 + +n)+(n+n1++1) = (n+1)+(n+1)++(n+1)en regroupant les termes deux par deux (le 1 avec le n, 2 avec n-1 etc). On a donc2S= (n+ 1) ++ (n+ 1)avec n termes dans la somme, donc

2S=n(n+ 1)doncS=n(n+1)2

Au n-ième tour on a donc numéroté les nombres jusqu"au nombreun= 8 n(n+1)2

2n= 4n2+ 4n2n= 4n2+ 2n= (2n)(2n+ 1).

Essayons de trouver au bout de combien de tours nous allons numéroter 3"092"021. On cherche donc l"entier n vérifiantun300920021< un+1. Or(2n)2unetun+1<(2n+4)2donc on veut :(2n)2300920021<(2n+4)2. En prenant la racine carrée on a donc2n1758:4<2n+ 4donc on a n879< n+ 2doncn= 878oun= 879.

On au878= 300850292<300920021<300920322 =u879

On sait donc que le nombre300920322 =u879a pour coordonnées (-879,-879), donc300920021 = 300920322301a pour coordonnées (-879, -578) (car le nombre 3

00920322est à la fin d"un tour, donc avant d"atteindre ce point on a dû aller

vers le bas2879fois qui est plus grand que301. Le nombre 3 092 021 a donc pour coordonnées (-879, -578). 8

9 Solution énigme Vendredi 1 :

On a2021 = 4347 = (85 + 3)(1631)

9

10 Solution énigme Vendredi 2 :

Notons n le nombre de chats qu"a la mère Michelle, et b le nombre de ses chats qui ont la queue blanche. Selon l"énoncé, si on prend deux chats au hasard, la probabilité que les deux aient une queue blanche vaut 12 . Or, pour avoir une telle probabilité il faut d"une part, que2b, et d"autre part que le nombre de moyens de choisir deux chats blancs parmi ses chats soit égal à la moitié du nombre de moyens de choisir deux chats parmi ses chats.

Traduisons cela en termes d"équation : on a

b(b1)2 moyens de choisir deux chats blancs parmi ses chats, en effet, on a b choix pour le premier chat blanc, puis b-1 pour le second, mais l"ordre dans lequel on choisit les chats ne compte pas donc chaque paire de chat blanc (chat 1,chat 2) est comptée deux fois (une fois en choisissant le chat 1 en premier, une autre fois en choisissant le chat 2 en premier). De manière analogue, on obtient que le nombre de moyens de choisir deux chats parmi ses chats vaut n(n1)2

Il faut donc que

b(b1)2 =12 n(n1)2 donc2b22b=n2n. En mettant tous les termes d"un même côté, on obtient2b22bn2+n= 0. best donc racine du polynôme du second degré2x22xn+n2, or on sait que les racines de ce polynôme sont : x =2p4 + 42(n2n)4 =1p1 + 2n22n2 Commebest entier, il faut que1 + 2n22nsoit le carré d"un nombre entier, et comme on sait que2n20, on vérifie que la seule valeur possible pourn estn= 4, donc b = 3. 10quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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