[PDF] Les aspects spatiaux dans la modélisation en épidémiologie

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Université Joseph Fourier / Université Pierre Mendès France / Université Stendhal / Université de Savoie / Grenoble INP

THÈSE

Pour obtenir le grade de

Spécialité : Modèles, méthodes et algorithmes en biologie, santé et environnement (MBS)

Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par

Julie MINTSA MI ONDO

Thèse dirigée par Jacques DEMONGEOT et

codirigée par Mustapha Rachdi préparée au sein des Laboratoires AGIM dans l'École Doctorale Ingénierie pour la Santé, la Cognition et l'Environnement (EDISCE)

Les aspects spatiaux dans la

modélisation en épidémiologie

Thèse soutenue publiquement le

29 Novembre 2012,

devant le jury composé de :

Madame Sophie DABO-NIANG

Professeur à l'Université Charles De Gaulle, Lille 3, Rapporteur

Monsieur M.A AZIZ-ALAOUI,

Professeur à l'Université du Havre, Rapporteur

Monsieur Jean GAUDART

Maître de Conférence, Université de la Méditerranée, Examinateur

Monsieur Jacques DEMONGEOT

Professeur praticien hospitalier à l'Université Joseph Fourier - CHU de

Grenoble, Membre

Monsieur Mustapha RACHDI

Professeur à l'Université Pierre-Mendès France, Membre RemerciementsJe tiens `a remercier ici, tous ceux qui de pr`es ou de loin m"ont aid´e `a me construire, en me donnant des coups de main, ou des coups bas. Sans cela, je ne serai sans doute pas la personne que je suis aujourd"hui. Commentne pas dire merci `a mes parents? C"est grˆace `a vous que je suis l`a, vous qui m"avez toujours soutenu, vous qui avez toujours pris parti pour ou contre chacune de mes d´ecisions, pour finalement, me laisser le choix. Merci pour votre aide, tant financi`ere, que morale ou mat´erielle. A Papa, toi qui m"as appris qu"un papa n"est pas seulement celui l`a qui plante la graine, mais celui qui l"arrose et prend soin de la plante issue de cette derni`ere. A Maman, femme forte, et tellement battante, tu es la source de ma force et de mon inspiration. Pour ta patience et ta compr´ehension, c"est grˆace `a toi que j"ai pu finir ce travail. Encore merci. A Tantine Laurence et Tonton Jean-Clair, pour le mod`ele de stabilit´eque vous repr´esentez pour moi, pour vos bons conseils et votre pr´esence, merci. A Tonton Ghislain (mon r´eveil personnel pendant la r´edaction de ce travail) et `a Tonton Blaise Pascal, pour votre soutien, vos coups de fil r´eguliers, qui m"ont souvent remont´e le morale, merci. A toute ma famille, d"avoir toujours ´et´e l`a pour moi, je ne dirai jamais assez merci. A Claude, merci de m"avoir toujours laiss´e aller au bout de ce que je voulais, mˆeme si la s´eparation n"est pas chose facile `a vivre dans un couple.Merci de m"encourager comme tu le fais. Au Professeur Guy-Martial Nkiet, merci d"avoir ´et´e mon guide, mon men- tor. Pour nos nombreuses discussions, pour avoir bien voulu nous servir de conseiller d"orientation, d"avoir crˆu en nous (je dis nous, car il s"agit de toute une g´en´eration d"´etudiants, dont j"ai eu la chance de faire partie, qui a b´en´efici´e). La finalisation de ce travail n"aurait pas ´et´e possible sans le soutien sans faille, la pr´esence et les encouragements du Professeur Jacques Demongeot. On a dˆu vous le dire un nombre incalculable de fois -mais c"est parce que c"est vrai- vous ˆetes quelqu"un de bien. Ne changez pas! Vous avez cette facult´e `a mettre de l"espoir ou il y"a du d´ecouragement, faire avancer alors mˆeme qu"on se dit qu"on ne peut plus faire un pas de plus... A Caroline Messina-Dos-Santos, ma petite maman du labo, pour tes calins, le temps pris `a lire et relire mon manuscrit, `a juste ˆetre l`apour moi, un tr`es grand merci! A Hedi Ben Amor, pour ton d´epannage chaque fois que je me trouvais face 3 un probl`eme avec Latex, pour tes histoires drˆoles et ton soutien, merci. Merci sp´ecial `a Dominique Bicout et Nicolas Glade, nos conversations m"ont souvent permis d"avoir une vision autre que celle que j"avais sur mon travail, de d´ecouvrir d"autres aspects ... Comment oublier le fr`ere que je me suis fait au labo? Merci `a toi Iwan

Barth, simplement d"ˆetre toi.

Aux autres membres d"AGIM (Abdessalem, Christophe, Danielle, Flavien, Gilles, Hessam, Juliette, Nicolas, Olivier, Pascale, Virginie, Yannick ...) et de TIMC (Delphine, Julie, Silvette, Aurore, Franck, Sylvie) merci pour les pauses caf´e, les repas `a midi, toujours tr`es anim´es, les concoursde mots fl´ech´es, etc. A mes nombreux amis, et "enfants" (Alo¨ısia, Armel-Petit, Carinne, Dolly, Dima, Herman, Hermine, Juliette, Karine, Lens, Leslie, Lisianne, Loane, Ruddy, Stephane B., Stephane M., Stephane Z., Vilianne...), merci pour votre soutien, ou juste d"ˆetre l`a pour moi. Savoir recevoir, c"est savoir donner! Pour les quelques vocations que j"ai pu susciter avec ma petite exp´erience d"enseignant (Lilan C´edric, Eric, Aman- dyne). Vous me poussez `a toujours donner le meilleur de moi-mˆeme,merci pour la confiance que vous avez plac´ee en moi. Et j"esp`ere que ce n"est qu"n d´ebut et que plusieurs autres personnes viendront compl´eter cette liste et seront meilleurs que moi (pour ¸ca, il n"y a pas tellement de choses `a faire pour!). A toute les personnes de l"Ecole Doctorale EDISCE, ainsi que ceux du Coll`ege des Eccoles Doctorales, un grand merci pour votre patience, etde nous accompagner aussi bien que vous le faites. J"ai essay´e de citer tout le monde, mais avec mes nombreux contacts,ce n"est pas chose facile. Alors je demande pardon `a toute personne ne figurant pas sur cette page, ce n"est pas parce que je ne pense pas `a vous, ou parce que ce que vous avez fait n"a pas compt´e pour moi! 4 A mon fils, pour toutes ses ann´ees de s´eparation ... Maman 5 Table des mati`eres1 Introduction g´en´erale16

2 Etat de l"art22

2.1 Les premiers mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Mod`eles de Bernoulli et Hamer . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2 Mod`ele de Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3 Mod`ele de Kermack-McKendrick . . . . . . . . . . . . 26

2.1.4 Mod`ele de Mcdonald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.5 Mod`eles classiques de Ross et McKendrick . . . . . . . 27

2.2 Mod`eles compartimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Quelques compartiments usuels . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 Quelques mod`eles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.3 Les mod`eles compartimentaux multigroupes . . . . . . 34

2.2.4 Homog´en´eit´e et H´et´erog´en´eit´e . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Les mod`eles de r´eaction-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Mod`eles al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 Marche al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.2 Les mod`eles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Les M´ethodes de r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.1 M´ethode de r´esolution de Lyapunov . . . . . . . . . . 41

2.5.2 Le crit`ere de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6 La notion de retard dans la mod´elisation . . . . . . . . . . . . 51

3 Demography and Diffusion in Epidemics : Malaria and Black

Death Spread54

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Classical epidemiology : the Ross-McKendrick model . . . . . 55

3.3 Introduction of demographic dynamics . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Introduction of age classes . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.2 Leslie model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3 Usher model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.4 Mathematical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Introduction of spatial dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7

3.5 Biological age definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6 Introduction of saturation kinetics and genetic drifts . . . . . 633.7 Black Death . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.2 The raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.3 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.8 The Malaria in Mali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8.2 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.9 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Demography in epidemics modelling 85

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Classical epidemiology : the Ross-McKendrick model . . . . . 86

4.3 Introduction of demographic dynamics . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1 Introduction of age classes . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.2 Leslie model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.3 Usher model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.4 Mathematical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Biological age definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5 Introduction of a spatial dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6 An example of application : the malaria in Mali . . . . . . . . 93

4.6.1 Description of the disease . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.9 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Random modelling of contagious diseases 112

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2 Mathematical Framework of random epidemic modelling . . . 114

5.2.1 The example of the stochastic chemistry : microscopic

contact mechanism to macroscopic equation in SI case 114

5.2.2 Microscopic mechanism to macroscopic equations in

S CSFICIFcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 Random multi-group SIGR model . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.1 Deterministic version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.2 Stochastic model derivation . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.3 A simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4 Example of HIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4.1 The constraints of sexual interactions . . . . . . . . . 126

5.4.2 The stochastic IBM model . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4.3 Predictive power of the model . . . . . . . . . . . . . . 130

8

5.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5.1 Influence of the contact duration . . . . . . . . . . . . 131

5.5.2 Confinement and Saturation . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.3 Non-linear interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.5.4 Social networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6 Spatialisation d"un mod`ele multigroupes SEIRS 148

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.2 Pr´esentation du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3 Recherche des points d"´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.3.2 Points d"´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.3.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3.4 Etude des cas end´emique et ´epid´emique . . . . . . . . 156

6.3.5 Crit`ere de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3.6 R´esolution du syst`eme dans le cadre g´en´eral . . . . . . 159

6.3.7 Calcul de la d´eriv´ee totale deC2,C3etC4. . . . . . 161

6.3.8 Calcul de la d´eriv´ee totale de la fonction de Lyapunov 162

6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7 Conclusions et Perspectives 167

7.1 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9

Table des figures

1.1 Sch´ema d´ecrivant le processus de mod´elisation, d"apr`es Ste-

wart (2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Sch´ema du mod`ele de Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Sch´ema des diff´erents mod`eles pr´esent´es . . . . . . . . . .. . 30

2.3 Sch´ema du mod`ele de McKendrick . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Sch´ema des diff´erents compartiments qu"on peut avoir dans

une mod´elisation ´epid´emiologique. . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Sch´ema des diff´erentes ´etapes de transmission du paludisme

chez le vecteur et chez l"hˆote . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1 Picture of D. Bernoulli (top left); interaction digraphs of

the Ross-McKendrick model having one (top right) and three (bottom) age classes, with identicalβi"s andγi"s and no fe- cundity in elderly classesS3andI3. . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Graphs of the functionsP(λ),P?(λ) andP??(λ) . . . . . . . . 60

3.3 Representation of the co-evolution of the 0-diffusion domains

for interacting speciesS(blue) andAi(red) in case of isotro- pic diffusion (left). Asymptotic co-existence ofSandAion their common 0-diffusion domain (right) . . . . . . . . . . . 62

3.4 The triple wins game in which hosts and vectors use the viral

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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