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1. Mouvement dun projectile dans le champ de pesanteur uniforme
Dans ce système d'axes les coordonnées du vecteur vitesse initiale sont : L'accélération d'un système en chute libre est égale au vecteur champ de ...
Étude de mouvements : de Galilée à Newton
I. La masse joue-t-elle un rôle sur la durée de chute ? considérant le mouvement vertical de chute libre d'une bille lâchée sans vitesse initiale et en.
CHAPITRE I : FORCES ET MOUVEMENTS
I- Définition d'un mouvement de chute libre . 18) La distance parcourue durant la dernière seconde de chute libre (sans vitesse initiale) est égale.
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V = gt est l'équation utilisée pour calculer la vitesse durant la chute libre. Dans cette équation, « V » correspond à la vitesse de chute en mètres par seconde, « g » à l'accélération gravitationnelle en mètres par seconde au carré et « t » au temps de chute en seconde.Quel est le but de la chute libre ?
La chute libre est le mouvement vertical effectué par un objet lorsqu'il ne subit que l'effet de la force gravitationnelle. Si on néglige le frottement de l'air, un objet qui effectue un mouvement de chute libre subit toujours une accélération de 9,8m/s2 9 , 8 m/s 2 orientée vers le sol.Comment calculer l'impact d'une chute ?
Formule officielle. EC = ½ M X V².- Vitesse limite et chute libre sans frottement. La vitesse limite est atteinte lorsque la force de frottement d'un fluide équivaut à la force de gravité qui tire l'objet vers le bas. Lorsque ces deux forces se compensent, il n'y a plus d'accélération et la vitesse est constante, égale à la vitesse limite.
Physique numérique en Python
Journée de formation
Lycée Camille Jullian
Mars 2018
Table des matières
1 Loi horaire1
1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Méthodologie de tracé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Modules et packages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6 Compléments graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.7 À vous de jouer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 Frottements fluides5
2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.2 Étude de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.3 Schémas d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.4 Méthodologie de tracé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.5 Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.6 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.7 Solution Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.8 À vous de jouer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83 Trajectoire11
3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113.2 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113.3 Méthodologie de tracé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113.4 Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113.5 Système différentiel et Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 23.6 À vous de jouer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 34 Oscillateurs15
4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 54.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 54.3 À vous de jouer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 55 Canon de newton17
5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175.2 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175.3 À vous de jouer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175.4 Données numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 86 Petit vade-mecum19
6.1 Tracé d"une courbe à partir d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 96.2 Tracé d"une courbe à partir de données tabulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 96.3 Ajustements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 0IntroductionL"objet de ce document est d"illustrer l"utilisation de Python dans le cadre de problèmes de physique. Les thèmes
proposés s"appuient largement sur les contenus du programme de physique de TS. Partant de situations simples
rencontrées en TS, on présente quelques pistes d"utilisation de résolution numérique avec Python. Certains exemples
admettant une solution analytique, une confrontation avec les résultats numériques permet de mesurer la pertinence
d"une approche informatique. D"autres exemples plus complexes, sans solution analytique simple pour des élèves de
TS, voire sans solution analytique du tout, sont traités par approche numérique. Ces exemples peuvent être envisagés
comme des prolongements du programme.Une première série de trois activités propose de se familiariser avec le graphisme élémentaire de Python et avec
les méthodes numériques de résolution numérique d"équations différentielles. Le problème de la chute sert de fil
conducteur à ces quatre activités.Une quatrième activité vise à mettre en application les compétences acquises avec des activités précédentes. Le fil
conducteur est celui de l"oscillateur : oscillateur linéaire d"abord, oscillateur forcé ensuite, oscillateur non-linéaire
enfin.La cinquième activité illustre le problème du canon de Newton. À quelle condition une masse lancée depuis une
certaine altitude, dans une certaine direction, peut-elle se satelliser ou échapper à l"attraction terrestre? Cette activité
est l"occasion d"illustrer la mécanique gravitationnelle dans la situation simple à deux corps en interaction. Elle requiert
toute les compétences et la technicité des activités précédentes.Un très grand merci à mes collègues Christophe Casseau et Marc Eldin pour leur aide à la construction et à la relecture
de ce document.Un grand merci également à David Boyer, IA-IPR de sciences-physiques, à l"initiative de ces journées, pour nous avoir
réuni et donné l"occasion de monter cette première formation qui, nous l"espérons, sera suivie d"autres rencontres
autour de la physique et de l"informatique. À suivre...Laurent Sartre
laurent.sartre@ac-bordeaux.fr iii Physique numérique et PythonivJournée de formation - mars 2018Activité 1
Loi horaire
1.1 P ositiondu p roblèmeL"objectif de cette activité est de se familiariser avec quelques méthodes graphiques Python en vue de tracer une courbe représentative de la loi horaire d"un phéno- mène physique. Pour illustrer notre propos, on s"intéresse à la chute libre d"un corps lâché sans vitesse initiale et pour lequel l"in- fluence des frottements peut être négligée. Cette situation, à seul degré de liberté, peut être modélisée par une équa- tion différentielle. Sa solution analytique peut être aisé- ment trouvée en TS. Python est utilisé pour tracer la loi horaire de l"altitude du corps. 1.2Mise en équation
Un point matérielMde massemest soumis à la seule force de pesanteur. On notegla norme de l"accélération de la pesanteur. Le mouvement deMest étudié dans un référentiel local supposé galiléen. La verticale du lieu défi- nit l"axe(Oz), vertical ascendant. vitesse initiale. Le schéma ci-dessous illustre la situation. À un instantt⩾0, on notez(t)la cote du pointM. Le principe fondamental de la dynamique permet d"établir la loi d"évolution dezsous la forme d"une équation différen- tielle. ?t?R+¨z(t)=-g(1.1)La solution de (1.1) est :
?t?R+z(t)=h-12 gt2(1.2) 1.3Métho dologiede tracé
Pour tracer la courbe représentative de la loi horaire dez avec Python, on doit : définir les paramètres physiquesgethen précisant leurs valeurs numériques; ◾définir la fonctionz?t↦h-gt2?2; préciser l"intervalle de temps[tmin,tmax]sur lequel on désire tracer la courbe; ◾tracer la courbe et l"afficher.1.4Mo duleset pack ages Python est un langage de programmation dont les fonc- tionnalités peuvent facilement étendues à l"aide de nou- velles instructions. Par défaut, il met à la disposition de l"utilisateur un jeu significativement important d"instruc- tions mais pas toujours suffisant pour des besoins plus spécifiques. Tracer des courbes avec Python entre dans la catégorie des besoins particuliers. Pour étendre les fonctionnalités du langage, de nouvelles commandes peuvent être créées et conservées dans des fichiers particuliers appelésmodules. L"intérêt de ces mo- dules est de pouvoir être réutilisés en fonction des besoins. Parfois, des ensembles de modules sont regroupés pour former despackages. Il s"agit simplement d"une hiérarchi- sation des modules. En pratique, dès qu"un module connu est nécessaire, il doit êtreimportéau début du script grâce à l"instruction import. Dans ce qui suit, lemodulenumpy, dédié au calcul numé- rique, est importé. Il permet en particulier la manipulation Ce module fournit également un grand nombre de fonc- tions dédiées aux calculs mathématiques1et numériques.# importation de numpy # alias np import numpy as np Ainsi, dans le script suivant, le modulepyplotdu package matplotlibest importé. Ce module enrichit Python d"un certain nombre de fonctionnalités graphiques dont cer- taines d"entre elles sont présentées dans la suite de l"acti- vité.# importation de matplotlib.pyplot # alias plt import matplotl ib.pyplot as plt rise la création d"unaliasqui remplace avantageusement le nom du module. Son intérêt réside dans le fait que les instructions des modules sont accessibles par unenota- tion pointée: chaque instruction d"un module donné ne peut être appelée qu"en tapant son nom précédé du nom du module suivi d"un point. Par exemple, pour tracer la courbe d"un tableau de valeursyen fonction d"un tableau de valeursx, on code comme suit.plt.plot(x,y) L"affichage de la courbe se fait en codant comme suit. plt show() Il convient de savoir qu"il est possible d"éviter la définition et l"utilisation d"alias en important globalement toutes les instructions d"un module. Il suffit de réaliser l"import de la manière suivante.frommatplotlib .pyplotimport * from numpy i mport * 1. comme les fonctions trigonométriques, la racine carrée, etc. 1 Physique numérique et Python2Cette importation est à utiliser avec prudence. Certains modules définissent de nouvelles commandes qui portent le même nom que d"autres commandes qui préexistent dans Python. Dès lors, la dernière définition écrase toute vénients. Dans la suite, nous utilisons systématiquement la notation pointée associée à la définition d"alias. 1.5Co dage
Pour tracer la courbe représentative de la loi horaire de z, les modules nécessaires sont d"abord chargés. Le script suivant permet le tracé de la loi horaire avech=5msur un intervalle de temps[0,1s]2. La courbe obtenue est celle de la figure 1.1.# importation de numpy # alias np import numpy as np # importation de matplotlib.pyplot # alias plt import matplotl ib.pyplot as plt On définit ensuite unefonctionqui rend compte de la loi horaire. Dans le script suivant, cette fonction est notéez et troisargumentsdoivent lui être transmis pour qu"elle renvoie un résultat. Cela permettra de faire tracer des tra- jectoires en faisant varier les paramètres physiqueshet g3.# fonction associée à la loi horaire def z (t,g,h): return h g t 2 2 Vient à présent la définition des paramètres physiques, dont les valeurs sontaffectéesà desvariablesinforma- tiques. Le nom de ces variables est arbitraire mais il ne peut pas débuter par un chiffre. En pratique, on attribue des noms pertinents au regard du rôle que les variables son censées jouer.# paramètres physiques g9.81 # accélération de la pesanteur
h1.0 # hauteur initiale en m
Afin de tracer la loi horaire, on doit se fixer un intervalle de temps. C"est généralement le sens physique qui prévaut pour déterminer cet intervalle. Dans le script qui suit, on choisit des instants compris entre 0s et 5s.# tracé des trajectoires t_min0.0 # instant initial en s
t_max1.0 # instant final en s
n_t100 # nombre de points de calculs
Pour tracer la loi horaire, on choisit un nombre de points n_tde calculs dans l"intervalle de temps précédent. Il ne reste plus qu"à faire calculer par Python les différents ins- tants équirépartis dans cet intervalle et les valeurs dez associées. L"instructionlinspaceconstruit untableaude n_tinstants allant det_minàt_max. Ce tableau est af- fecté à la variabletab_t.# tableau des instants tab_t np linspace(t_min,t_max,n_t) L"une des forces du modulenumpyest de permettre la construction d"un tableau en appliquant une fonction sur un autre tableau. Le script suivant affecte à la variable tab_zle tableau obtenu en appliquant la fonctionzau tableautab_tet aux variablesgeth. Cette facilité est l"un des points forts de Python pour le calcul scientifique.# tableau des z tab_z z(ta b_t,g,h) Il reste à tracer la courbe en portant, dans un système d"axes orthogonaux, les valeurs présentes dans la tableau tab_zen fonction des valeurs présentes dans le tableau tab_t. Noter que le nombre de valeurs dans chaque ta-quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] mur de berlin résumé court
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