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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Séries entières

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Parmi les séries de fonctions, les séries entières sont celles que vous rencontrerez le

plus souvent. Ce serait une bonne idée de réviser les théorèmes généraux sur les suites de

fonctions, mais vous aurez surtout besoin des techniques d"étude des séries numériques. Vous pouvez considérer ce chapitre comme la suite du chapitre sur les développements limités, auquel il ressemble beaucoup. Vous pouvez aussi le voir comme un premier pas vers les fonctions holomorphes et analytiques, que vous apprendrez plus tard.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Développements usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Résolution d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Entraînement 19

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Compléments 40

3.1 Le binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 La méthode des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Libre comme Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Produits infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Les geôles de l"Inquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Une mise en garde de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

29 avril 2014

Maths en LigneSéries entièresUJF Grenoble1 Cours

1.1 Rayon de convergence

Définition 1.On appellesérie entièreune série du type ?a nzn, où(an)n?Nest une suite de réels ou de complexes, etzdésigne une variable complexe. Lasommeest la fonction qui à tout complexeztel que?anznconverge, associe f(z) =+∞? n=0a nzn. Les deux exemples de base de séries entières sont la série géométrique et la série exponentielle. Nous verrons par la suite que beaucoup de séries usuelles se ramènent à l"une ou à l"autre.

Série géométrique :

?z ,|z|<1,11-z=+∞? n=0zn= 1 +z+···+zn+···

Série exponentielle :

?z?C,exp(z) =+∞? n=0z nn!= 1 +z+z22 +···+znn!+···

Le calcul de la somme de la série géométrique est facile, grâce à l"expression explicite

des sommes partielles. Le fait que la somme de la série exponentielle soitexp(z)n"est pas évident. Deux points de vue sont possibles.

1. Après avoir démontré que la série converge pour toutz, on peutdéfinirl"ex-

ponentielle complexe comme la somme de cette série. À partir des résultats sur les séries entières que nous allons établir, on peut alorsdémontrertoutes les propriétés classiques de l"exponentielle.

2. Il existe d"autres définitions de l"exponentielle. On peut par exemple ladéfinir

surRcomme la fonction inverse du logarithme népérien, qui lui-même est défini comme la primitive de 1x qui s"annule en1; on étend ensuite la définition àCtout entier. On peut alorsdémontrerqueexp(z)est la somme de la série exponentielle.

Étant donnée une série entière

?anzn, la première question est celle de sondomaine de convergence, à savoir l"ensemble des complexesztels que la série converge. On utilise

pour cela le théorème suivant qui exprime une propriété très particulière d"une série

entière, liée auxdisquesdu plan complexe centrés en0. Sirest un réel positif, on note D rle disque ouvert de centre0et de rayonr. D r={z?C,|z|< r}. 1

Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleThéorème 1.Soitrun réel strictement positif. S"il existeMtel que pour toutn

|an|rn< M, alors pour toutz?Dr, la série entière?anznest absolument conver- gente. Deux possibilités existent donc : soit|an|rnest borné, et la série converge surDr, soit|an|rnn"est pas borné. Rappelons que le terme général d"une série convergente tend vers0. Donc si|an|rnest borné, alors|an|r?ntend vers0pour toutr?< r, et en particulier|an|r?nest aussi borné.

Démonstration: Écrivons :

|anzn|=|an|rn????znr n? ???6M????znr n?

Si|z|< r,???zr

??<1et la série?M???znr n???converge. D"où le résultat par le théorème de comparaison des séries. Définition 2.On appellerayon de convergencede la série entière?anznle réelR défini par :

R= sup{r>0,(|an|rn)est bornée}.

Le disqueDRest appelédisque de convergencede la série entière?anrn. Rappelons que toute partie majorée deRadmet une borne supérieure finie, et que par convention, la borne supérieure d"une partie non majorée est+∞. Le disque de convergenceDRest le plus grand disque (ouvert) tel que?anznconverge à l"intérieur de ce disque. Par définition de la borne supérieure, sir > R, la suite(|an|rn)n"est pas bornée, elle ne peut donc pas tendre vers0: si|z|> R, la série?anzndiverge (voir figure 1). Nous n"étudierons pas en détail ce qui se passe pour|z|=R, car la situation est compliquée : tous les cas sont possibles. En voici un exemple. Pour tout réelα, la série?nαzn a pour rayon de convergenceR= 1. En effetnαrntend vers0pourr <1, vers+∞ pourr >1. La série entière?nαznconverge pour|z|<1, diverge pour|z|>1. Considérons maintenant un nombre complexezde module1:z= eiθ. •Siα>0, la série?nαeinθdiverge. •Siα <-1, la série?nαeinθest absolument convergente. •Si-16α <0, la série?nαeinθest convergente pourθ?= 2kπ, mais pas absolument convergente. Pourz= 1, la série?nαdiverge. Le rayon de convergence de la série exponentielle est infini, puisque pour toutr>0, r nn!tend vers0. Par contre, le rayon de convergence de la série?n!znest nul, puisque pour toutr >0,n!rntend vers l"infini. Comme autre cas particulier, si la suiteanest nulle au-delà du rangd, alors?dn=0anznest un polynôme de degréd, qui est défini pour toutz. C"est une série de rayon de convergence infini. 2 Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleACVDV DVDV DV 0 . ?Figure1 - Disque de convergence d"une série entière.

Le rayon de convergence de la série

?anznest lié aux coefficientsande la façon suivante. Théorème 2.Le rayon de convergenceRde la série entière?anrnest tel que : 1R = limsup n→∞n?|an|= infn

0?Nsup

n>n0n?|an|. Démonstration: Pour éviter les cas particuliers nous supposons queRest strictement positif et fini. Les casR= 0etR= +∞se traitent de la même manière, avec la convention 10 = +∞. Examinons la suite(|an|rn)dans les deux cas0< r < Ret r > R.

1.0< r < R:

Dans ce cas la suite(|an|rn)tend vers0, puisque la série?anrnest absolument convergente. Donc il existen0tel que pour toutn > n0,|an|rn61. Or : |an|rn61 =?n?|an|r61 =?n?|an|61r

Mais si tous les

n?|an|au-delà den0sont inférieurs à1r , alorslimsupn?|an|61r Comme ceci est vrai pour toutr < R, on en déduit : limsup n→∞n?|an|61R

2.r > R:

Dans ce cas la suite(|an|rn)n"est pas bornée, par définition deR. Donc pour toutN, il existen > Ntel que|an|rn>1. Or : |an|rn>1 =?n?|an|r>1 =?n?|an|>1r 3 Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleMais si une infinité parmi les n?|an|sont supérieurs à1r , alorslimsupn?|an|>1r Comme ceci est vrai pour toutr > R, on en déduit : limsup n→∞n?|an|>1R Le théorème 2 rappelle évidemment le critère de Cauchy. Or le critère de d"Alembert est plus facile à appliquer en général. Pour toutes les séries que l"on rencontrera en pratique, le corollaire suivant suffit à déterminer le rayon de convergence.

Corollaire 1.Soit(an)une suite telle que???an+1a

n? ??converge. Le rayon de convergence de la série entière?anznest tel que : 1R = limn→∞? ???a n+1a n? Ce résultat vaut aussi pourR= 0etR= +∞, toujours avec la convention10 Il s"applique aux exemples que nous avons traités jusqu"ici :?nαrn,?znn!et?n!zn. Démonstration: Il existe une relation entre les critères de Cauchy et d"Alembert : si???an+1a n? ??converge, alorsn?|an|converge également, et la limite supérieure den?|an|est sa limite. Retenez donc qu"une série entière converge absolument sur son disque de conver- gence. De plus la convergence est uniforme, sur tout disque fermé inclus dans le disque de convergence. Proposition 1.Soit?anznune série entière, de rayon de convergenceR. Soitrun réel tel que0< r < R. ?ε >0,?n0?N,?n > n0,?zt.q.|z|6r ,? ????n k=0a nzn-+∞? k=0a nzn?????< ε . Démonstration: Elle utilise une majoration que nous avons déjà rencontrée. Fixonsr? tel quer < r?< R. Pour toutn?N: |anzn|6|an|r?nrnr ?n6Mrnr ?n, oùMest un majorant de|an|r?n(qui existe par définition du rayon de convergence). Alors, pour tout complexezde module inférieur ou égal àr: ?????n k=0a nzn-+∞? k=0a nzn?????6+∞? k=n+1Mrkr ?k=?Mrr ?-r? ? rr n+1 Cette majoration étant indépendante dez, la convergence est bien uniforme. 4 Maths en LigneSéries entièresUJF Grenoble1.2 Propriétés de la somme Les résultats de cette section ont de nombreuses conséquences pratiques sur les calculs de sommes de séries entières. Nous examinons le comportement des séries par rapport aux opérations habituelles (combinaisons linéaires et produit). Théorème 3.Soient?anznet?bnzndeux séries entières, de rayons de convergence respectifsRaetRb. Pour tout complexeztel que|z|0, c n=? h+k=na Démonstration: La linéarité découle immédiatement des résultats analogues sur les suites et séries numériques. Concernant le produit, nous commençons par la conver- gence. Soitztel que|z|De plus : ?????n i=0c izi-? n? h=0a hzh?? n? k=0b kzk? ?????6? h+k>n|ah||bk||z|h+k 6 i>n|ci||z|i. 5

Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleComme la série de terme général|cn||z|nest absolument convergente, son reste à l"ordre

ntend vers0, d"où le résultat. Le théorème 3 affirme que les combinaisons linéaires et le produit de deux séries entières convergentau moinssi ces deux séries convergent. Mais il peut se faire que le rayon de convergence de la série somme ou de la série produit soient strictement supérieurs àmin{Ra,Rb}. Par exemple, les deux séries?(1 + 2n)znet?(1-2n)zn ont pour rayon de convergence 12 . Leur somme?2zna pour rayon de convergence1. La série?zna pour rayon de convergence1, le polynôme1-zest une série entière particulière, de rayon de convergence infini. Leur produit est la constante1, de rayon de convergence infini.

Considérons maintenant les deux séries

?zn, de rayon de convergence1et de somme

11-z, et?2nzn, de rayon de convergence12

, et de somme11-2z. Comme conséquence du théorème 3, pour toutz,|z|<1, on a :

21-2z-11-z= (2-1) + (2.2-1)z+···+ (2.2n-1)zn+···

n=0(2n+1-1)zn.

Aussi :

1(1-z)(1-2z)= (1 +z+···+zn+···)(1 + 2z+···+ 2nzn+···)

= 1 + (2 + 1)z+···+ (2n+ 2n-1+···+ 2 + 1)zn+··· n=0(2n+1-1)zn. Les deux séries sont égales, comme on pouvait s"y attendre. Voici une autre application de la linéarité. Considérons la série ?n2n!zn, de rayon de convergence infini. On peut écrire : n=0n

2n!zn=+∞?

n=0n(n-1) +nn!zn=+∞? n=0n(n-1)n!zn++∞? n=0nn!zn n=21(n-2)!zn++∞? n=11(n-1)!zn m=01m!zm+2++∞? m=01m!zm+1 =z2+∞? m=01m!zm+z+∞? m=01m!zm= (z2+z)ez. La même technique s"applique pour sommer toutes les séries entières du type ?P(n)n!zn, siP(n)est un polynôme enn. On commence par exprimerP(n)comme combinaison 6

Maths en LigneSéries entièresUJF Grenoblelinéaire de1,n,n(n-1), ... et on se ramène ensuite à la série exponentielle par des

changements d"indice. Comme nouvelle application du théorème 3, nous allons vérifier la propriété fonda- mentale de l"exponentielle. Proposition 2.Si pour toutz?C, on définitexp(z)comme la somme de la série?znn!, alors : ?a,b?C,exp(a+b) = exp(a)exp(b). Démonstration: On peut voirexp(a)comme la valeur enz= 1de la série?ann!zn, et exp(b)comme la valeur enz= 1de la série?bnn!zn. D"après le théorème 3, le produit de ces deux séries est la série?cnzn, avec : c n=ann!+an-1(n-1)!b1 +···+a1 b n-1(n-1)!+bnn! n k=0a kbn-kk!(n-k)! 1n!n k=0n!k!(n-k)!akbn-k 1n!n k=0? n k? a kbn-k (a+b)nn!, d"après la formule du binôme de Newton. La série?cnzna donc pour sommeexp((a+b)z), et sa valeur en1estexp(a+b). Dans la proposition précédente, nous avons remplacézparazetbzdans la série exponentielle. Remplacer la variablezpar une fonction de celle-ci est une opération que l"on utilise fréquemment. En voici deux exemples. Pour toutztel que|z|<1, on a :

1 +z+z2+···+zn+···=11-z.

Remplaçonszpar-z:

1-z+z2+···+ (-1)nzn+···=11 +z.

Remplaçonszparz2:

1 +z2+z4+···+z2+···=11-z2.

7

Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleOn aurait pu obtenir ce résultat de deux autres façons en utilisant le théorème 3,

puisque :

11-z2=12

1-z+12

1 +z=11-z11 +z.

Le lecteur vérifiera que les trois méthodes conduisent au même résultat.

1.3 Fonctions développables en série entière

Nous allons maintenant étudier les propriétés de la somme d"une série entière, vue comme une fonction de la variablez. Afin de ne pas compliquer les définitions, nous supposons dans toute cette section quezestréel. Les identités obtenues restent vraies pourzcomplexe, mais ce serait anticiper inutilement sur des chapitres ultérieurs que de sortir du domaine réel. Définition 3.Soitz0?Run réel etR?R? {+∞}. On dit quegestdéveloppable en série entière enz0sur]z0-R,z0+R[, si pour toutz?]z0-R,z0+R[, g(z) =+∞? n=0a n(z-z0)n. Cette identité est ledéveloppement en série entièredeg. Un simple changement de variable permet de se ramener à des développements en série entièreen0. Proposition 3.La fonctiongest développable en série entière enz0sur]z0-R,z0+R[, si et seulement si la fonctionf:z?-→g(z0+z)est développable en série entière en

0sur]-R,R[.

La vérification est immédiate, et ce résultat nous autorise à ne plus considérer désormais que des développements en série entière en0. Soit?anznune série entière, etRson rayon de convergence. D"après le théorème 2, la série converge pour tout réel zde valeur absolue strictement inférieure àR, soit sur l"intervalle]-R,R[. Sa somme est donc développable en série entière sur]-R,R[, par définition. Le théorème suivant montre qu"une fonction développable en série entière, est in-

définiment dérivable. Ses dérivées successives ainsi que ses primitives sont également

développables en série entière. Théorème 4.Soitfune fonction développable en série entière, telle que pour tout z?]-R,R[, f(z) =+∞? n=0a 8

Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleLa fonctionfest indéfiniment dérivable sur]-R,R[. Sa dérivée est la somme de la

série dérivée terme à terme, qui converge sur]-R,R[. f ?(z) =∞ n=1na nzn-1=a1+ 2a2z+···+nanzn-1+··· La primitive defqui s"annule en0est la somme de la série intégrée terme à terme, qui converge sur]-R,R[. z

0f(x)dx=∞

n=0a nn+ 1zn+1=a0z+a12 z2+···+ann+ 1zn+1+···

Démonstration: Nous commençons par démontrer que la série?anznet la série dérivée?nanzn-1ont même rayon de convergence. En effet :

lim n→∞n⎷n= limn→∞exp(ln(n)/n) = 1.

Donc :

limsup n→∞n?|nan|= limsup n→∞n?|an|, d"où le résultat par le théorème 2. La proposition 1 entraîne que la convergence est uniforme sur tout intervalle[-r,r] inclus dans]-R,R[. Si une suite de fonctions dérivables converge uniformément sur un intervalle, ainsi que la suite des dérivées, alors la limite de la suite est dérivable

à l"intérieur de l"intervalle, et sa dérivée est la limite des dérivées. Ceci entraîne que

la fonctionfest dérivable sur tout intervalle]-r,r[inclus dans]-R,R[, donc sur ]-R,R[. Par récurrence,fest donc indéfiniment dérivable sur]-R,R[. En appliquant le résultat de dérivabilité à la série primitive, on obtient la seconde partie du théorème. Par exemple la fonctionz?→exp(az), est développable en série entière surR. exp(az) =+∞? n=0a nn!zn. 9 Maths en LigneSéries entièresUJF GrenobleSa dérivée est : ddzexp(az) =+∞? n=1na nn!zn-1 n=1a n(n-1)!zn-1 m=0a m+1m!zm =a+∞? m=0a mm!zm=aexp(az). Le développement en série entière sur]-1,1[de la fonctionz?→11-zest?zn. Sa dérivée est :

1(1-z)2=+∞?

n=1nzn-1=+∞? m=0(m+ 1)zm= 1 + 2z+···+nzn-1+··· On pourrait aussi obtenir ce résultat en effectuant le produit de la série ?znpar elle-même. On peut aussi calculer la primitive : -ln(1-z) =+∞? n=01n+ 1zn+1=z+z22 +···+zn+1n+ 1+··· En remplaçantzpar-z2dans la série géométrique, puis en prenant la primitive, on obtient les développements en série entière de

11+z2etarctan(z).

11 +z2=+∞?

n=0(-1)nz2n= 1-z2+···+ (-1)nz2n+··· arctan(z) =+∞? n=0(-1)n2n+ 1z2n+1=z-z33 +···+(-1)nz2n2n+ 1+···

En appliquant de manière itérée le théorème 4 aux dérivées successives def, on peut

donc calculer leurs développements en série entière. On en déduit en particulier l"ex- pression du développement defen fonction des dérivées successives, évaluées enz= 0: vous connaissez déjà le polynôme de Taylor. Corollaire 2.Sifest développable en série entière sur]-R,R[, alors son développe-quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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