Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES.pdf
FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4. A. Fonctions exponentielle puissance et logarithme Cette fonction est continue et définie sur et sa dérivée s'écrit :.
Petit formulaire bien utile Formules trigonométriques
Dérivées - Primitives. Les fonctions sinus hyperbolique cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont dérivables sur R. sh. ?. (x) = chx ch. ?. (
Théorie des fonctions hyperboliques
La variable u d'une fonction hyperbolique prend le fonctions hyperboliques inverses s'expriment au moyen ... Voici les dérivées de ces fonctions :.
Chapitre13 : Fonctions hyperboliques
I Les fonctions hyperboliques directes sh réalise une bijection de classe c8 strictement croissante de R dans R dont la dérivée ne s'annule.
2. Les fonctions hyperboliques
On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ainsi. De là on peut obtenir les dérivées des autres fonctions hyperboliques.
Chapitre III - Fonctions hyperboliques
On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R ? Rx ?? shx = ex ? e?x La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch.
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On appelle fonction sinus hyperbolique cosinus Dérivées. Les fonctions sh et ch. (sh x )'. (ch x )'. (th x )'. (cth x)'.
Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques
? Pour la fonction sh il suffit de l'étudier sur [0
FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES
Responsable : Alessandra Frabetti. Printemps 2010 http ://math.univ-lyon1.fr/?frabetti/TMB/. FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES. 1. Définitions :.
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
l'infiniment petit (le calcul de dérivée). L'outil central abordé dans ce Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses . ... Dérivée d'une fonction.
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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 A Fonctions exponentielle puissance et logarithme Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
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Chapitre13 : Fonctions hyperboliques Pour les graphiques le plan est rapporté à un repère orthonormé (O?i?j) I Les fonctions hyperboliques directes
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3) Etablir les formules de dérivation des fonctions hyperboliques 4) Calculer les dérivées des fonctions données par a) f(x)
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Dérivées - Primitives Les fonctions sinus hyperbolique cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont dérivables sur R sh ? (x) = chx ch ? (
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Qu'est-ce que les fonctions hyperboliques ? Définition On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ainsi Définition de cosh x et de
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Lorsqu'on procède ainsi les dérivées des fonctions hyperboliques s'obtiennent comme celles des fonctions circulaires 14 En ce qui concerne les fonctions
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Responsable : Alessandra Frabetti Printemps 2010 http ://math univ-lyon1 fr/?frabetti/TMB/ FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 1 Définitions :
Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques - Gecifnet
Cet article expose les fonctions trigonométriques circulaires hyperboliques directes et réciproques (24 fonctions au total) avec l'ensemble de définition
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10 1 2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique Le théorème de dérivation des fonctions composées permet d'affirmer que f
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Chapitre III - Fonctions hyperboliques A 1 3 Proposition La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch La fonction ch est dérivable sur R et sa
Quelle est la dérivée du sinus hyperbolique ?
Sinus hyperbolique
Sa dérivée est le cosinus hyperbolique.Quelle est la dérivée de la tangente hyperbolique ?
Sur son domaine de définition, tanh est holomorphe (donc continue et même infiniment dérivable), de dérivée égale à tanh est donc une solution de l'équation différentielle f '=1-f2 (qui est une équation de Riccati, dont la solution générale est x ? tanh(x+C)). Elle est périodique, de période i?.Quelle est la dérivée de cosinus hyperbolique ?
Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée sinh. cosh est paire. Les primitives de cosh sont sinh + C, où C est une constante d'intégration.- sh ( x ) = e x ? e ? x 2 . C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de R sur R et dont la courbe représentative est : cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2. ch ( x ) = e x + e ? x 2 .
Chapitre III
Fonctions hyperboliques et applications
r´eciproquesA Fonctions hyperboliques directes
A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperboliqueOn va d´efinir de nouvelles fonctions inspir´ees notamment par les formules d"Euler concernant les fonc-
tions sinus et cosinus.A.1.1 D´efinitionOn appelle fonctionsinus hyperboliquela fonction sh :R→R,x?→shx=ex-e-x2 .On appelle fonctioncosinus hyperboliquela fonction ch :R→R,x?→chx=ex+e-x2 .A.1.2 Remarques ?La fonction sh est impaire. En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a sh(- x) =e-x-e-(-x)2 =--e-x+ex2 =-sh x.Le graphe de la fonction sh admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a sh0 = 0.?La fonction ch est paire.
En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a ch(- x) =e-x+e-(-x)2 =e-x+ex2 = chx.38Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesLe graphe de la fonction ch admet donc l"axe des ordonn´ees pour axe de sym´etrie.
?Pour toutx?R, on a ch2x-sh2x= 1.En effet, pour toutx?R, on a
ch2x-sh2x=?ex+e-x2
2-?ex-e-x2
2=?ex?2+ 2exe-x+?e-x?24
-?ex?2-2exe-x+?e-x?24 d"o`u ch2x-sh2x=4exe-x4
= 1.?Pour toutx?R, on a chx?1. En effet, soitx?R, on aex>0 ete-x>0 donc chx >0. D"autre part, la relation ch2x= 1+sh2x donne ch2x?1 donc chx?1 ou chx?-1. Comme chx >0, c"est donc que chx?1.A.1.3 Proposition
La fonction sh est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est ch.La fonction ch est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est sh.D´emonstration
La fonction exponentielle est d´erivable surR, de mˆeme que la fonctionx?→e-x, donc les fonctionch et sh sont d´erivables surR(ce sont des sommes de fonctions d´erivables). Pour toutx?R, on a
sh ?x=?ex-e-x2 ?=ex-?-e-x?2 =ex+e-x2 = chxi.e.sh?= ch. De mˆeme, pour toutx?R, on a ch ?x=?ex+e-x2 ?=ex+?-e-x?2 =ex-e-x2 = shxi.e.ch?= sh.Passons `a l"´etude des variations de ces deux fonctions.?Pour la fonction sh, il suffit de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire. La d´eriv´ee
de sh est ch et on a vu que chx?1>0 pour toutx?Rdonc sh est strictement croissante surR.On a ch0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
f(x) = shx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eef?(x) = chx-1?0. La fonctionfest donc
croissante surRorf(0) = 0 doncf(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de sh est situ´e au-dessus de la droite Δ pourx?0 et en-dessous de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc shx----→x→+∞+∞. Cherchons
maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞; pour toutx >0, on a shxx x→+∞+∞.On dit que le graphe de sh admet en +∞unebranche paraboliquede direction l"axe des ordonn´ees.
A- Fonctions hyperboliques directes39
On peut pr´eciser ce r´esultat puisque
shx-ex2 =-e-x2 ----→x→+∞0- i.e.le graphe de sh et celui de la courbeCd"´equationy=ex2 sont asymptotes en +∞; de plus, la limite´etant 0
-, le graphe de sh est situ´e en-dessous deC.On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe.x-∞0 +∞
sh?x= chx+ + shx+∞ -∞0 0ΔC?Pour la fonction ch, il suffit l`a aussi de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction paire. La
d´eriv´ee de ch est sh et on a vu que shx >0 pourx >0 donc ch est strictement croissante sur ]0,+∞[.
On a sh0 = 0 donc le graphe de sh admet la droite Δ ?d"´equationy= 1 pour tangente en 0. Comme chx?1 pour toutx, le graphe de ch est situ´e au-desus de Δ?.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc chx----→x→+∞+∞. De mˆeme
que pour la fonction sh, le graphe de ch admet en +∞unebranche paraboliquede direction l"axe des
ordonn´ees; plus pr´ecis´ement, on a chx-ex2 =e-x2 ----→x→+∞0+40Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesi.e.le graphe de ch et celui de la courbeCd"´equationy=ex2
sont asymptotes en +∞; de plus, le graphe de ch est situ´e au-dessusC.On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe.x-∞0 +∞
ch?x= shx-+ chx+∞+∞10Δ
CA.2 Tangente hyperbolique
Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s"annule pas permet d"introduire la fonction suivante :
A.2.1 D´efinition
On appelle fonctiontangente hyperboliquela fonction th :R→R,x?→thx=shxchx=ex-e-xe x+e-x.A.2.2 Remarques ?La fonction th est impaire. En effet, elle est d´efinie surRet, pour toutx?R, on a th(-x) =sh(-x)ch(-x)=-shxchx=-thx.Le graphe de la fonction th admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a th0 = 0.?Pour toutx?R, on a 1-th2x=1ch
2x.En effet, pour toutx?R, on a
1-th2x= 1-sh2xch
2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.A- Fonctions hyperboliques directes41
?On rencontre parfois la fonctioncotangente hyperboliquequi est la fonctionx?→1thx(mais qui n"est
pas d´efinie en 0).A.2.3 Proposition La fonction th est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est donn´ee par : th?(x) = 1-th2x=1ch2x.D´emonstration
Les fonctions sh et ch sont d´erivables surRet la fonction ch est d´efinie sur toutRdonc le quotientth =
shch d´efinit bien une fonction d´erivable surR. Pour toutx?R, on a th ?x=?shxchx? ?=sh?xchx-shxch?xch2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.Passons `a l"´etude des variations. Il suffit d"´etudier th sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire.
La d´eriv´ee de th est?1ch
2donc th est strictement croissante surR.
On a ch0 = 1 donc le graphe de th admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
g(x) = thx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eeg?(x) =?1-th2x)-1?0. La fonctiongest donc
d´ecroissante surRorg(0) = 0 doncg(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de th est situ´e en-dessous de la droite Δ pourx?0 et au-dessus de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on a :
thx=ex-e-xe x+e-x=exe x1-e-2x1 +e-2x=1-e-2x1 +e-2xmaise-2x----→x→+∞0 donc le num´erateur et le d´enominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux
vers 1. Donc lim x→+∞thx= 1. Il s"ensuit que le graphe de th admet la droite d"´equationy= 1 pourasymptote en +∞(donc, par imparit´e, il admet la droite d"´equationy=-1 pour asymptote en-∞).
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe.x-∞0 +∞
th?x=1ch2x+ + thx1 -10 0 -1142Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesB Fonctions hyperboliques r
´eciproquesB.1 R
´eciproque de la fonction sinus hyperbolique?La fonction sh est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition On appellefonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh :R→R,x?→Argshx ,l"application r´eciproque de la fonction sinus hyperbolique.B.1.2 Remarque
Pour toutx?R, on a sh?Argshx?=xet Argsh?shx?=x.
Les variations de la fonction Argsh surRsont les
mˆemes que celles de la fonction sh surR.x-∞0 +∞Argshx+∞
-∞0 0ΔB.1.3 Proposition
La fonction Argsh est d´erivable surRet
pour toutx?R,Argsh?(x) =1⎷1 +x2.D´emonstrationEn effet, pour toutx?R, on a
Argsh ?(x) =1sh ?(Argshx)=1ch(Argshx).Mais la fonction ch est positive donc on peut ´ecrire Argsh ?(x) =1? ch2(Argshx)=1?
1 + sh
2(Argshx)et la conclusion vient du fait que sh(Argshx) =x.
B- Fonctions hyperboliques r´eciproques43
B.2 R´eciproque de la fonction cosinus hyperbolique?La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, elle r´ealise donc une bijection de
cet intervalle sur son image [1,+∞[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition
On appellefonction argument cosinus hyperbolique, et on noteArgch : [1,+∞[→[0,+∞[,x?→Argchx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique `a l"intervalle [0,+∞[.B.2.2 Remarques
?Pour toutx?1, on a ch?Argchx?=x.?Pour toutx?0, on a Argch?chx?=x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l"expression Argch?chx?est d´efinie pour toutx?R mais ne vaut exactementxque lorsquex?0. Les variations de la fonction Argch sur [1,+∞[ sont les mˆemes que celles de la fonction ch sur [0,+∞[.x1 +∞Argchx+∞
00 1B.2.3 Proposition
La fonction Argch est d´erivable sur ]1,+∞[ et pour toutx?R,Argch?(x) =1⎷x2-1.D´emonstration
En effet, pour toutx?R, on a
Argch ?(x) =1ch?(Argchx)=1sh(Argchx).Mais Argchx?0 et la fonction sh est positive sur [0,+∞[ donc sh(Argchx)?0 et on peut ´ecrire
Argch ?(x) =1? sh2(Argchx)=1?
ch2(Argchx)-1et la conclusion vient du fait que ch(Argchx) =x.
44Chapitre III- Fonctions hyperboliques et applications r´eciproquesB.3 R
´eciproque de la fonction tangente hyperbolique?La fonction th est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son image ]-1,1[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition
On appellefonction argument tangente hyperbolique, et on noteArgth :]-1,1[→R,x?→Argthx ,l"application r´eciproque de la fonction tangente hyperbolique.
B.3.2 Remarques
?Pour toutx?]-1,1[, on a th?Argthx?=x.?Pour toutx?R, on a Argth?thx?=x. Les variations de la fonction Argth sur ]-1,1[ sont les mˆemes que celles de la fonction th surR.x-1 0 1Argthx+∞
-∞0 0-11ΔB.3.3 Proposition
La fonction Argth est d´erivable sur ]-1,1[ et
pour toutx?]-1,1[,Argth?(x) =11-x2.D´emonstrationEn effet, pour toutx?]-1,1[, on a
Argth ?(x) =1th ?(Argthx)=11-th2(Argthx).et la conclusion vient du fait que th(Argthx) =x.C- Identit´es et relations45
C Identit
´es et relationsC.1 Quelques formules de trigonom´etrie hyperboliqueLes formules de trigonom´etrie classiques ont des analogues en"trigonom´etrie hyperbolique». Outre la
formulech2a-sh2a= 1, on a par exemplech(a+b) = chachb+ shashb ch(a-b) = chachb-shashb sh(a+b) = shachb+ chashbquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] fonction hyperbolique cours
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