Cours de mathématiques - Exo7
de nouvelles fonctions : ch sh
Chapitre13 : Fonctions hyperboliques
I Les fonctions hyperboliques directes. A) Définition. Définition : B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ... Ainsi @x P R
Formulaire sur les fonctions hyperboliques et leurs réciproques. 1
y = Argsh(x) on a ey = sh(y) + ch(y) = x +. /. 1 + x2
Correction du Devoir Maison
argch(y) = ln(y +. ? y2 - 1). 5. On sait que la fonction sh est continue et strictement croissante sur R telle que lim x?±?.
Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles
argsh : R ? R est dérivable sur R. Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I. ... ax ln a loga x (a ? R?+ {1}).
Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques
On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ln. (1+0. 1 ? 0. ) = 0 = Argth(0) donc les fonctions f et Argth sont égales sur ] ? 11[.
2. Les fonctions usuelles
R est strictement croissante et continue. • Argsh est dérivable sur R et 8x 2 R
Chapitre 5 Fonctions usuelles
L'ensemble de définition de ln est Dln =]0+?[
Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES.pdf
Cette fonction est continue et définie sur et sa dérivée s'écrit : Ln a e. Ln a a. = = = Cas particulier : l'exponentielle de base e ... y Argch x. Ln ...
fonctions-réelles.pdf
ln x x . Montrer que f admet un point d'inflexion. 2[ ? R définie par G(t) = argsh(tan t). ... 4 ln x x3 . Figure 3 La fonction x ?? 2 ln x+3.
[PDF] Fonctions usuelles - Exo7 - Cours de mathématiques
de nouvelles fonctions : ch sh th arccos arcsin arctan Argch Argsh Argth 6 la fonction ln est concave et ln x ? x ? 1 (pour tout x > 0)
[PDF] Formulaire sur les fonctions hyperboliques et leurs réciproques 1
y = Argsh(x) on a ey = sh(y) + ch(y) = x + / 1 + x2 d'o`u Argsh(x) = y = ln(x + / 1 + x2) 2 2 Argch La fonction ch est strictement croissante donc
[PDF] Les fonctions de référence
2 2 Les fonctions du second degré x ?? ax2 + bx + c 7 2 2 Définition de la fonction ln š Pour tout réel x on a argsh(x) = ln(x + ?x2 + 1)
[PDF] 2 Les fonctions usuelles - LMPA
R est strictement croissante et continue • Argsh est dérivable sur R et 8x 2 R (Argsh)0(x) = 1 p1+x2 • on a l'expression logarithmique Argshx = ln(x+ px2
[PDF] Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUESpdf
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : Ln a e Ln a a = = = Cas particulier : l'exponentielle de base e y Argch x Ln
[PDF] Les Fonctions Hyperboliques - Page de Helkanen
On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : argch(x) = ln(x + ?x2 ? 1)
[PDF] Chapter 1 Premier contact avec lanalyse
La fonction sh est continue strictement croissante de R dans R C'est donc une bijection pour ces ensembles On appelle argsh la fonction réciproque de sh sur
[PDF] B1 VI FONCTIONS USUELLES R FERRÉOL 16/17
P6 la fonction ln est strictement croiante sur ]0+?[ DEF : la fonction argsh (ou argsinh) est la fonction réciproque de sh : x = argsh y ? y = shx
[PDF] Fonctions réelles - Xiffr
ln x x Montrer que f admet un point d'inflexion (c) sh(2 argsh x) La fonction f : x ?? argsh x + argch x est continue et strictement croissante
Comment calculer Argsh ?
En outre, on peut donner une expression exacte pour argsh , qui est argsh(x)=ln(x+?x2+1). ? La fonction ch est une bijection de R+ sur [1,+?[ . Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch .Comment trouver la tangente hyperbolique ?
La fonction tangente hyperbolique est la fonction tanh : R ? R définie par tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex ? e?x ex + e?x .Pourquoi cosinus hyperbolique ?
Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x2 + y2 = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2 – y2 = 1.Fonctions hyperboliques
1sinus hyperbolique : sh(x)=ex?e?x2. sh ( x ) = e x ? e ? x 2 . 2cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2. ch ( x ) = e x + e ? x 2 . 3tangente hyperbolique : th(x)=ex?e?xex+e?x. th ( x ) = e x ? e ? x e x + e ? x .
PCSI5Lycee Saint Louis
Correction du Devoir MaisonDM2
Exercice 1
1. Les v ariationsde la fonction c hon t ete etudieesen cours : on sait que c hest u nefon ction continue et strictement croissante sur [0;+1[, telle que ch(0) = 1 et limx!+1ch(x) = +1. Donc ch realise une bijection de [0;+1[ sur [1;+1[. On note dans la suite argch. 2. T outd'ab ord,on sait que la fonction c hest d erivablesur R, et donc en particulier sur [0;+1[. Pour determiner le domaine de derivabilite de la fonction argch, on resout l'equation ch0(x) = 0
pourx2[0;+1[ : ch0(x) = 0,sh(x) = 0,x= 0:
La fonction argch est donc derivable sur [1;+1[nfch(0)g=]1;+1[. De plus, pour touty2 ]1;+1[, on a : argch0(y) =1ch
0(argch(y))=1sh(argch(y)):
Or on sait que ch
2(x)sh2(x) = 1 pour toutx2R, donc sh2(x) = ch2(x)1. Ainsi :
jsh(x)j=qch 2(x)1Notez que ch
2(x)1 est bien positif puisque ch(x)1 pour toutx2R. Et poury2]1;+1[,
on a argch(y)2]0;+1[ et donc sh(argch(y))>0. D'ou sh(argch(y)) =qch2(argch(y))1 =py
21:On obtient nalement que pour touty2]1;+1[ :
argch0(y) =1py
21:3. On obtien tdonc le tableau de v ariationsuiv ant,et la courb erepr esentativede argc h ap artirde la courbe representative de ch [0;+1[ par symetrie par rapport a la droitey=x.x argch
0(x)argch(x)1+1+
00+1+1ch
argch O i~ ja 4. (a) On souhaite calculer argc h(2).P ourcela on r esoutl' equationc h(x) = 2. On sait que cette equation a deux solutions : 2 a deux antecedents par la fonction ch, l'un etant positif, l'autre negatif. Puisque argch(2)>0, on en deduite que argch(2) sera l'unique solution strictement positive de cette equation.Pourx2R, on resout donc :
ch(x) = 2,ex+ex= 4,e2x4ex+ 1 = 0 1PCSI5Lycee Saint Louis
On poseX=ex. On obtient donc :
X24X+ 1 = 0,X= 2p3:
D'ou nalementx= ln(2 +p3) oux= ln(2p3). Puisque ln(2p3), on en deduit nalement quex= ln(2 +p3), et donc : argch(2) = ln(2 + p3): (b) Soit y2[1;+1[, on resout l'equationy= ch(x) pourx2R. On a y= ch(x),2y=ex+ex,e2x2yex+ 1 = 0 X=ex X22yX+ 1 = 0
Ory1, et donc le discriminant = 4y24 de ce polyn^ome est positif. On a donc y= ch(x),( X=ex X=ypy 21,x= ln(y+py
21) oux= ln(ypy
21)En eet on notera quey+py
21ypy21> ypy
2= 0. On peut donc bien
prendre le logarithme (qui est bijectif surR+) dans la derniere equivalence.Enn puisque argch(y)0 et que ln(ypy
21)0 poury2[1;+1[ (je vous laisse
vous en convaincre), on obtient nalement que pour touty2[1;+1[ : argch(y) = ln(y+py 21):5. On sait que la fonction sh es tcon tinueet strictemen tcroissan tesur R, telle que limx!1sh(x) =
1. Donc sh realise une bijection deRdansR. On la note dans la suite argsh.
Montrons quearshest impaire : son domaine de denition est bien symetrique par rapport a 0. De plus pour touty2R, il existe un uniquex2R(x= argsh(y)) tel que sh(x) =y, et on a : argsh(y) = argsh(sh(x)) = argsh(sh(x)) =x=argsh(y):Donc argsh est impaire.
Puisque la fonction sh est derivable surR, et que pour toutx2R, sh0(x) =ch(x)6= 0, on en deduit que argsh est derivable surRet pour touty2R: argsh0(y) =1ch(argsh(y)):
Puisque ch
2(x) = 1+sh2(x) et que la fonction ch est toujours positive, on a ch(x) =q1 + sh
2(x). En remplacant dans la formule de derivation, on obtient : argsh0(y) =1q
1 + sh
2(argsh(y))=1p1 +y2:
On en deduit le tableau de variation de la fonction argsh et sa representation graphique. 2PCSI5Lycee Saint Louisx
argsh0(x)argsh(x)0+1+
00+1+1shO~
j~ iargsh On cherche une ecriture explicite de la fonction argsh. Pour cela, on resout pour touty2R l'equationy= sh(x) pourx2R. On a y= sh(x),2y=exex,e2x2yex1 = 0 X=ex X22yX1 = 0
Le discriminant = 4y2+ 4 de ce polyn^ome est strictement positif. On a donc y= sh(x),( X=ex X=ypy 2+ 1 ,x= ln(y+py2+ 1):
En eet on notera que la solutionypy
2+ 1<0 est impossible puisqueex>0. Puisque de
plusy+py2+ 1>0 pour touty2R, on peut donc bien prendre le logarithme (qui est bijectif
surR+) dans la derniere equivalence.On obtient nalement que pour touty2R:
argsh(y) = ln(y+py2+ 1):Exercice 2
On denit la fonction tangente hyperbolique, notee th, par :8x2R;th(x) =sh(x)ch(x):
1. La fonction th est d enieet con tinuesur Rcomme quotient de fonctions denies et continues surRdont le denominateur ne s'annule pas (rappelons que ch(x)1 pour toutx2R). Elle est de plus derivable sur cet intervalle, et on a pour toutx2R: th0(x) =ch2(x)sh2(x)ch
2(x)=1ch
2(x)= 1th2(x):
Puisque
1ch2(x)>0 pour toutx2R, la fonction th est donc strictement croissante surR
Notons que th est une fonction impaire puisque ch est paire et sh est impaire. On a donc th(0) = 0. On calcule la limite en +1: th(x) =sh(x)ch(x)=exexe x+ex=1e2x1 +e2xD'ou lim
x!+1th(x) = 1. 3PCSI5Lycee Saint Louis
On obtient le tableau de variation suivant pour la fonction th, ainsi que sa courbe representative.x th0(x)th(x)0+1+
0011O i~ jth argth 2. (a) La fonction th est strictemen tcroissan tesur Ret continue sur cet intervalle. Elle realise donc une bijection deRsur ] limx!1tah(x);limx!+1tah(x)[=]1;1[. On note argth :]1;1[!R sa reciproque. On montre que argth est impaire de la m^eme maniere que pour argsh. (b) On a vu que th es td erivablesur Ret que pour toutx2R, th0(x) = 1th2(x). On a de plus th0(x)>0. En particulier sa derivee ne s'annule pas. Donc argth est derivable sur
]1;1[ et on a pour touty2]1;1[ : argth0(y) =1th
0(argth(y))=11th2(argth(y))=11y2:
On retrouve en particulier que argth est
strictement croissante sur ]1;1[. On a donc le tableau de variation ci-contre, et sa courbe representative est donnee ci- dessus.x argth0(x)argth(x)01
00+1+1(c)On p eutpro cedede deux fa condi erentes.
?Methode 1 : On resout l'equationy= th(x) poury2]1;1[ etx2R: y= th(x),y=exexe x+ex,y(e2x+ 1) = (e2x1) ,e2x(y1) =1y ,e2x=1yy1cary6= 1 ,2x= ln1 +y1y car ln est bijectif et1 +y1y>0 poury2]1;1[ ,x=12 ln1 +y1y ?Methode 2 : On integre entre 0 ety2]1;1[ la fonction argth0: Z y 0 argth0(t)dt =Z y01(1t)(1 +t)dt =Z
y 012 (1t) + (1 +t)(1t)(1 +t)dt 12 Z y01(1 +t)+1(1t)(1 +t)dt =12
[ln(j1 +tj)ln(j1tj)]y 0D'ou argth(y)argth(0) =12
ln(j1+yj)ln(j1yj), et donc argth(y) =12 ln1 +y1y pour touty2]1;1[.4quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] fonctions hyperboliques réciproques
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