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Calcul vectoriel-Torseurs. Cinématique du solide
LES TORSEURS - Mécanique du solide
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MECANIQUE DU SOLIDE NIVEAU 1 LA STATIQUE CORRIGE
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Mécanique du solide rigide
Comportement statique des systèmes mécaniquesCours de CP1 - Me 1001
Mécanique du solide rigide ± Comportement statique des systèmes mécaniquesPage 2 sur 82
Sommaire
Mécanique du solide rigide ± Comportement statique des systèmes mécaniquesPage 3 sur 82
Notions de calcul vectoriel
1 - Bipoint
1 - 1 Définition
Soit ( E ) l'espace affine ( ensemble dont les éléments sont des points ) . On appelle bipoint tout couple de
points ( A,B ) de ( E ). Le point A est appelé origine et le point B extrémité du bipoint.1 - 2 Représentation géométrique
1 - 3 Caractéristiques
1 - 4 Bipoints équipollents
1 - 5 Bipoints opposés
1 - 6 Bipoints directement opposés
1 - 7 Bipoint nul
Un bipoint est nul si son origine et son extrémité sont confonduesUn bipoint ( A, B ) est représenté par un
segment de droite orienté, de l'origineA vers l'extrémité B du bipoint
Un bipoint ( A, B ) est défini par :
- son origine : A - son support : la droite ( D ) - son sens : de A vers B - sa norme : la distance entre les points A et B2 bipoints ( A, B ) et ( C, D ) sont équipollents s'ils ont :
- des supports parallèles - même sens - même norme Géométriquement les segments [ A D ] et [ B C ] ont le même milieu2 bipoints ( A, B ) et ( C, D ) sont opposés s'ils ont :
- des supports parallèles - des sens contraires - même norme2 bipoints opposés, ayant le même support,
sont dits directement opposés. Mécanique du solide rigide ± Comportement statique des systèmes mécaniquesPage 4 sur 82
2 - Vecteur
2 - 1 Définition
L'ensemble des bipoints équipollents au bipoint ( A, B ) constitue une classe d'équivalence appelée vecteur
et notée VLe bipoint ( A, B ) est un représentant de la classe d'équivalence V et on l'écrit : V = AB
2 - 2 Vecteur nul
C'est un vecteur ayant pour représentant le bipoint nul, c'est à dire 2 points confondus.On le note 0
2 - 3 Vecteurs égaux
Deux vecteurs U et V sont dits égaux si les bipoints qui les représentent sont équipollents.
On note U = V
2 - 4 Vecteurs colinéaires
2 - 5 Opérations sur les vecteurs
Dans l'ensemble ( E )des vecteurs deux lois de composition ont été introduites :- une loi interne : l'addition vectorielle qui à tout couple de vecteurs ( U, V ) associe le vecteur somme S
= U + V- une loi externe : la multiplication par un réel, qui à tout vecteur V et un rĠel ʄ associe un ǀecteur
colinéaire ʄ V Ces deux lois possèdent les propriétés indiquées ci-après.Propriétés de l'addition vectorielle :
U + ( V + W ) = ( U + V) + W = U + V + WU + V = V + U
V + ( - V ) = 0 et V + 0 = V
L'ensemble ( E ) muni de ces 8 propriétés possède une structure d'espace vectoriel sur R Deux vecteurs U et V sont dits colinéaires si leurs représentants de même origine, AB et AC par exemple ont même support Propriétés de la multiplication par un réel :ʄ (ʅ V) = ( ʄ ʅ) V
ʄ ( U + V) = ʄ U + ʄ V
( ʄ н ʅ ) V Ȝ V ȝ V Mécanique du solide rigide ± Comportement statique des systèmes mécaniquesPage 5 sur 82
2 - 6 Base de l'espace vectoriel
On appelle base de l'espace vectoriel ( E ), de dimensions 3, tout triplet de vecteurs x, y, z tel que
tout vecteur V de ( E ) puisse s'écrire de façon unique : V = X x+ Y y+ Z z Les réels X, Y, Z sont les composantes de Vdans la base B ( x, y, z )On note V( X, Y, Z ) ou V ]
2 - 7 Repère d'espace
Un repère R de l'espace affine (E ), associé à l'espace vectoriel ( E ) est constitué par :
- un point origine du repère noté O - une base B ( x, y, z ) de l'espace vectoriel ( E )Ce repère est noté : R ( O, x, y, z ).
2 - 8 Conséquences
ͻ Expression analytique de la somme de deux vecteurs V1 ( X1, Y1, Z1 ) et V2 ( X2, Y2, Z2 ) exprimés dans la
base B ( x, y, z ) : V1 + V2 = ( X1 + X2 ) x+ ( Y1 + Y2 ) y + ( Z1 + Z2 ) z ͻ LΖaddition ǀectorielle conduit ă la relation de Chasles ͗ MN = MP + PN3 - Produit scalaire de 2 vecteurs
3 - 1 Définition
Le produit scalaire du vecteur U par le vecteur V, que l'on note U. V est le nombre réel tel que :
U. V = II U II. II V II cos( U, V ) on note ( U, V ) = ɲ Cas de nullité : U. V = 0 si U = 0 ou si V= 0 ou si ɲ с ࣊A tout point M de ( E ) on peut associer le
vecteur V de ( E ) tel que : V = OMCette application de (E) dans (E) est une
bijection.Si le vecteur V a pour composantes X, Y, Z
dans la base B ( x, y, z ) on a donc :OM = X x+ Y y+ Z z
X, Y, Z sont les coordonnées du point M dans
le repère R ( O, x, y, z ).On note : M ( X, Y, Z )
Mécanique du solide rigide ± Comportement statique des systèmes mécaniquesPage 6 sur 82
3 - 2 Propriétés
ͻ CommutatiǀitĠ ͗ U. V = V. U
ͻ DistributiǀitĠ par rapport ă lΖaddition ǀectorielle ͗ U. ( V + W ) = U. V + U. W
ͻ Multiplication par un scalaire ͗ ʄ U.ʅ VȜȝ U. V)Applications :
Si ( x, y, z ) sont les vecteurs unitaires d'une base orthonormée directe : x. x= y. y= z . z = 1 et x. y= y. z = z . x= 0 Dans une base orthonormée ( x, y, z ) la norme du vecteur V( X, Y, Z ) a pour expression :3 - 3 Expression analytique
Dans un repère R ( O, x, y, z ) on donne V1 ( X1, Y1, Z1 ) et V2 ( X2, Y2, Z2 ) Le produit scalaire V1 . V2 s'exprime par : V1 . V2 = X1 . X2 + Y1 .Y2 + Z1 . Z24 - Produit vectoriel de 2 vecteurs
4 - 1 Définition
4 - 2 Propriétés
ͻ Non commutatiǀitĠ ͗ U^ V = - ( V^ U)ͻ DistributiǀitĠ par rapport ă lΖaddition ǀectorielle ͗ U^ ( V + W ) = U^ V + U^ W
ͻ Multiplication par un scalaire ͗ ʄ U^ʅ VȜȝ U^ V)ͻ Application ͗ si ( x, y, z ) sont les vecteurs unitaires d'une base orthonormée directe :
x x y = x ^ y = z et y x x = y ^ x = - z puis x x x = 0 y x z = y ^ z = x et z x y = z ^ y = - x puis y x y = 0 z x x = z ^ x = y et x x z = x ^ z = - y puis z x z = 0 Le produit vectoriel du vecteur U par le vecteur V , noté U ^ V ouquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6[PDF] mécanique du solide cours exercices et problèmes corrigés
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