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Corrigé du TD1 - EL201

Sujet J.L. Imbert, rédigé par F. Moutier

6 octobre 2005

1 Exercice 1 : Redressement Simple Alternance

Rappel sur le développement en série de Fourier :

S(t) =a02

+?a ncos(nwt) +bnsin(nwt)

1.1 Calcul dea0

On calcule tout d"abord le termea0:

a 0=2T T 0 s(t)dt=2T T/2 0 S

Msin(wt)dt

0=2SMwT

-cos(wt)? T/2 0 =2SMπ avecw= 2πF=2πT etT= 2π

1.2 Calcul de termesan

a n=2T T 0 s(t)cos(nwt)dt=2SMT T/2 0 sin(wt)cos(nwt)dt

Rappel de trigonométrie :sin(a)cos(b) =12

(sin(a-b) + sin(a+b)) a n=2SM2T? T/2 0 sin((1-n)wt) + sin((1 +n)wt)dt a n=SMT -cos((1-n)wt)(1-n)w? T/2 0 -cos((1 +n)wt)(1 +n)w? T/2 0

On obtient alors avecT= 2π:

a n=SM2π? -cos((1-n)π)(1-n)+1(1-n)-cos((1 +n)π)(1 +n)+1(1 +n)? Pour n=1, on aan= 0. Pour n impair, on a toujoursan= 0. Pour n pair, c"est à diren= 2p: a

2p=SM2π?

-cos((1-2p)π)(1-2p)????

11-2p+

1(1-2p)-cos((1 + 2p)π)(1 + 2p)????

11+2p+

1(1 + 2p)?1

2p=SM2π?

2(1-2p)+2(1 + 2p)?

SM2π?

4(1-4p2)?

2SMπ(1-4p2)

1.3 Calcul de termesbn

b n=2T T 0 s(t)sin(nwt)dt=2SMT T/2 0 sin(wt)sin(nwt)dt

Rappel de trigonométrie :sin(a)sin(b) =12

(cos(a-b)-cos(a+b)) b n=2SM2T? T/2 0 cos((1-n)wt)-cos((1 +n)wt)dt b n=SMT sin((1-n)wt)(1-n)w? T/2 0 sin((1 +n)wt)(1 +n)w? T/2 0

On obtient alors avecT= 2π:

b n=SM2π? sin((1-n)π)(1-n)+sin(0)(1-n)-sin((1 +n)π)(1 +n)+sin(0)(1 +n)?

La seule valeur non nulle est obtenue pour n=1.

En effet, on sait que

lim x→0sinxx = 1

En fait, on a

πsinxx

qui tend versπquandxtend vers 0. Pour n>1, les angles concernés sont des multiples deπpour lesquels les sinus sont nuls.

On a donc :

b n=1=SM2π? sin((1-n)π)(1-n)???? sin(0)(1-n)???? 0- sin((1 +n)π)(1 +n)???? 0+ sin(0)(1 +n)???? 0? avec : lim n→1πsin(1-n)π(1-n)π=π lim n→10sin(1-n)0(1-n)0= 0 On peut ainsi écrire le développement en série de Fourier du signals(t): s(t) =SMπ +SM2 sin(wt) +2SMπ p=1cos(2pwt)1-4p22

2 Exercice 2 : Redressement Double Alternance

L"astuce dans cet exercice est d"utiliser le résultat de l"exercice précédent. Le nouveau signal v(t), ici présenté,

est l"addition du signal s(t) précédent et de celui-ci décalé de T/2 : s(t-T/2). v(t) =s(t) +s? t-T2

On sait qu"une translation dans le temps (ici de T/2) ne change pas le spectre en fréquence (mêmea0,an,bn), mais

change le spectre de phase. Calculonss1(t) =s? t-T2 s

1(t) =SMπ

+SM2 sin? w? t-T2 +2SMπ p=1cos 2pw? t-T2 ??1-4p2 s

1(t) =SMπ

+SM2 sin(wt-π) +2SMπ p=1cos(2pwt-2pπ)1-4p2 s

1(t) =SMπ

-SM2 sin(wt) +2SMπ p=1cos(2pwt)1-4p2

On obtient donc :

v(t) =s(t) +s1(t) =2SMπ +4SMπ p=1cos(2pwt)1-4p2

3 Exercice 3 : Signal Carré

On peut extraire la valeur moyenne du signals(t):a02 = 0.5 On peut donc écrires(t) = 0.5 +y1(t)oùy1(t). Propriétés dey1(t):-fonction impaire : donc développement en sinus uniquement (bn)-y 1? t+T2 =-y1(t): soit uniquement des termes de rangs impairs.

Donc on a :

v(t) = 0.5 +∞? n=0b

2n+1sin((2n+ 1)wt)avecw=2πT

D"où,

2n+1=2T

T 0 y

1(t)sin((2n+ 1)wt)dt

2n+1=2T

T/2 0 sin((2n+ 1)wt)dt b

2n+1=2T

-cos((2n+ 1)wt)(2n+ 1)w? T/2 0 dt b

2n+1=1π

-cos((2n+ 1)π)(2n+ 1)+1(2n+ 1)? b

2n+1=2π(2n+ 1)3

On obtient donc :

v(t) = 0.5 +∞? n=02(2n+ 1)πsin((2n+ 1)wt)

4 Exercice 4 : Développement en série de sinus

Le signal f(x) est définit sur[0;π]et on veut le développer en série de sinus. Il nous faut donc rendre la fonction

impaire et la périodiser. La fonction g(x) obtenue par la symétrie centrale de f(x) par rapport au point(0;0)est

définit sur]-π;π[. On obtientg(x) =axavecx?]-π;π[.

L"harmonique de rang n a pour expression :

b n=1π -πg(x) sin(nx)dx=1π -πaxsin(nx)dx En intégrant par partie :u=ax,du=a dxetdv= sin(nx)dx,v=-cos(nx)n . On obtient ainsi : b n=1π -axcos(nx)n -π+anπ -πcos(nx)dx =0 b n=-1π aπcos(-nπ))n +aπcos(nπ))n -2an (-1)nquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Quels sont les redresseurs à double alternance ?

Comment calculer le redressement simple alternance résistance ?

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Sujet J.L. Imbert, rédigé par F. Moutier

6 octobre 2005

1 Exercice 1 : Redressement Simple Alternance

S(t) =a02

1.1 Calcul dea0

On calcule tout d"abord le termea0:

Msin(wt)dt

0=2SMwT

1.2 Calcul de termesan

Rappel de trigonométrie :sin(a)cos(b) =12

On obtient alors avecT= 2π:

2p=SM2π?

11-2p+

1(1-2p)-cos((1 + 2p)π)(1 + 2p)????

11+2p+

1(1 + 2p)?1

2p=SM2π?

2(1-2p)+2(1 + 2p)?

SM2π?

4(1-4p2)?

2SMπ(1-4p2)

1.3 Calcul de termesbn

Rappel de trigonométrie :sin(a)sin(b) =12

On obtient alors avecT= 2π:

La seule valeur non nulle est obtenue pour n=1.

En effet, on sait que

En fait, on a

πsinxx

On a donc :

2 Exercice 2 : Redressement Double Alternance

1(t) =SMπ

1(t) =SMπ

1(t) =SMπ

On obtient donc :

3 Exercice 3 : Signal Carré

Donc on a :

2n+1sin((2n+ 1)wt)avecw=2πT

D"où,

2n+1=2T

1(t)sin((2n+ 1)wt)dt

2n+1=2T

2n+1=2T

2n+1=1π

2n+1=2π(2n+ 1)3

On obtient donc :

4 Exercice 4 : Développement en série de sinus

L"harmonique de rang n a pour expression :