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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeMathématiques Financières

Chapitre 4 : Les Annuités

Pr. Fatima-Zahra AAZI

FSJES - Ain Chock

Sciences Économiques et Gestion (S2)

Ensembles {9, 10}

2019 - 2020

Pr. F-Z AaziLes Annuités1 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeIntroduction Comme nous l"avons mentionné dans le chapitre précédent, la consti- tution d"un capital (placement; épargne) ou le paiement d"un crédit ne se font généralement pas en une seule fois mais en plusieurs ver- sements étalés sur des périodes. Ces versements périodiques (géné- ralement de valeur constante ) sont appelés des annuités .Définition Les annuités : des sommes versées à intervalle régulier.

L"appellation annuités indique que

la p ériodedes versements 1est annuelle mais elle peut aussi être semestrielle, trimestrielle ou men- suelle : on parle, dans ce cas, de semestrialités, trimestrialités ou mensualités.1. intervalle de temps séparant deux versements successifs

Pr. F-Z AaziLes Annuités2 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeIntroduction Selon la nature de l"opération, les annuités peuvent être payables en début ou en fin de période.Objectif L"objectif de ce cours est de trouver les formules de calcul de la valeur acquise (future) et de la valeur actuell e d"un ensemble d"annuités.

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleAnnuités constantes de fin de période

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur acquise à la date du dernier versement

A la date du dernier versement

, la valeur acquise denannuités constantes est : A n=a(1+i)n1i

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur acquise à la date du dernier versement

Démonstration :

A nest la somme des valeurs acquises desnannuités : a(1+i)n1la première annuité produit des intérêts n1fois a(1+i)n2la deuxième annuité n2fois a(1+i)n3 a(1+i)l"annuité de la date n1produit des intérêts1seule fois a la dernière annuité ne p roduitpa sd"intérêts A n=a+a(1+i) +::::+a(1+i)n3+a(1+i)n2+a(1+i)n1Pr. F-Z AaziLes Annuités6 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur acquise à la date du dernier versement On remarque que pour passer d"un terme à un autre, on multiplie par (1+i), il s"agit donc desntermes d"une suite géométrique de premier termeaet de raison(1+i)

La somme de ces termesAnest :

A n=a(1+i)n1(1+i)1 A n=a(1+i)n1i

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple

Calculer, au taux annuel de 4%, la valeur acquise de 6 annuités de

5000 Dh chacune à la date du dernier versement.

Solution :

A n=a(1+i)n1i A

6=5000(1+0;04)610;04

A

6=:::Pr. F-Z AaziLes Annuités8 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur acquise à une date postérieure au dernier versement Le calcul de la valeur acquise à une date postérieure au dernier ver- sement implique que les annuités, y comp risla dernière , continuent

à produire des intérêts

(à être capitalisées) ap rèsla date n.Connaissant la valeur des annuités à cette date (An), il suffit de calculer les intérêts qu"elle produit pendant la durée restante

Ainsi, on peut écrire :

A n+x=An(1+i)xAvec : x: le nombre de périodes après la daten A n+x: la valeur acquise aprèsn+xpériodesPr. F-Z AaziLes Annuités9 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple

Calculer la valeur acquise d"une suite d"annuités de 5000 Dh payables du 31=12=2000 au 31=12=2018 : - au moment du dernier versement - 6 mois après le dernier versement - deux années après le dernier versement (taux de 6%)

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple - Solution

Au moment du dernier versement, on applique la formule : A n=a(1+i)n1i A

19=5000(1;06)1910;06Pr. F-Z AaziLes Annuités11 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple - Solution

6 mois suivant le dernier versement :

La période des versements est annuelle : 6 mois!x = 6/12 = 1/2 A n+x=An(1+i)x A

19+1=2=A19(1;06)1=2

2 années suivant le dernier versement (x=2)

A n+x=An(1+i)x A

21=A19(1;06)2Pr. F-Z AaziLes Annuités12 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur actuelle à la date d"origine En plus du calcul de la valeur acquise, il est utile de pouvoir calculer la valeur actuelle d"un ense mbled"annuités. C"est le cas par exemple d"un individu qui va percevoir une certaine somme pendantnannées et qui cherche à calculer l"équivalent, de ces sommes futures, aujourd"hui.Connaissant la valeur des annuités à la daten, la valeur à l"origine2

correspond tout simplement à la valeur actuelle deAnà cette date.2. Une période avant le premier versement

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur actuelle à la date d"origine A

0=An(1+i)n

A

0=a(1+i)n1i

(1+i)n A

0=a1(1+i)ni

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple

Calculer, au taux annuel de 4%, la valeur à l"origine d"une suite de

6 annuités de 5000 Dh chacune.

Solution :

A

0=A6(1+0;04)6

A

0=50001(1+0;04)60;04Pr. F-Z AaziLes Annuités15 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur actuelle à une date donnée De la même manière, on peut calculer la valeur actuelle d"une suite d"an- nuité à n"importe quelle date (avant ou après la date d"origine). L"idée est de capi taliser ou actualis erA0:A

0x=A0(1+i)xUn an avant la date d"origineA1=A0(1+i)1

6 mois avant la date d"origineA1=2=A0(1+i)1=2

Un an après la date d"origineA1=A0(1+i)1Pr. F-Z AaziLes Annuités16 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple

Calculer, au taux annuel de 4%, la valeur d"une suite de 6 annuités de 5000 Dh chacune un an avant la date d"origine .

Solution :

A

1=A0(1+0;04)1Pr. F-Z AaziLes Annuités17 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleAnnuités constantes de début de période

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Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleValeur acquise à la datenOn s"intéresse au calcul de la valeur acquise d"une suite d"annuités de début

de période, à la daten(une période après le dernier versement).ConnaissantAn: la valeur acquise à la date du dernier versement, on peut

écrire :

A dn=An(1+i) A dn=a(1+i)n1i(1+i)Pr. F-Z AaziLes Annuités19 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple

Calculer, au taux annuel de 6%, la valeur acquise de 12 annuités de

5000 Dh chacune, un an après le dernier versement.

Solution :

A dn=An(1+i) A d12=A12(1+i) A d12=a(1+i)n1i (1+i) A d12=5000(1+0;06)1210;06(1+0;06) A d12=:::Pr. F-Z AaziLes Annuités20 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise Valeur ActuelleValeur actuelle à la date d"origine On cherche la valeur actuelle au moment du premier versementAd0.A d0peut être calculée à partir deA0(valeur actuelle une période avant le premier versement) :A d0=A0(1+i) A d0=a1(1+i)ni (1+i)Pr. F-Z AaziLes Annuités21 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleExemple

Calculer, au taux annuel de 6%, la valeur actuelle de 11 annuités de

12000 Dh chacune, à la date du premier versement.

Solution :

A d0=A0(1+i) A d0=120001(1+0;06)110;06(1+0;06)Pr. F-Z AaziLes Annuités22 / 23

Annuités constantes de fin de période

Annuités constantes de début de périodeValeur Acquise

Valeur ActuelleSynthèse

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