Histoire des logarithmes : activités pour la classe Table des Matières PDF

I. Introduction de la fonction logarithme math-adore.fr ... la connaissance de la fonction ln elle peut être une suite de l'activité précédente.

TD en groupe -Spécialité Terminale - Découverte de la fonction ln

Communiquer un résultat par oral ou par écrit expliquer une démarche… ? Outils mathématiques réinvestis : Suites numériques

La fonction logarithme népérien Activité dapproche :

La fonction logarithme népérien. Terminale bac pro groupement A et B. Page 2. 3. A l'aide de la calculatrice graphique : a) Remplir les listes L1 (valeurs

Activité introduction au Logarithme népérien

Construction de la courbe représentative : a) A l'aide de votre calculatrice représenter graphiquement la fonction f définie sur R par f (x) = ex.

Introduction : 1. La fonction Logarithme Décimal log x

Introduction : Ce chapitre propose de découvrir puis de travailler sur les différentes fonctions logarithmes en l'occurrence les fonctions logarithme népérien

Programme denseignement optionnel de mathématiques

Approche historique de la fonction logarithme. Calculs d'aires La diversité des activités mathématiques proposées doit permettre aux élèves de prendre.

Etude des besoins mathématiques en physique et en chimie

https://pedagogie.ac-orleans-tours.fr/fileadmin/user_upload/maths/Dossiers_acad%C3%A9miques/Progressions/TermS/2-Lien_2_Logarithmes_pour_le_physicien.pdf

Fondamentaux des mathématiques 1

2.14 Représentation de la fonction logarithme népérien. Apprendre ses cours et s'entraîner : en mathématiques le talent a ses limites comme.

Brochure IREM n°99

Introduction de la fonction exponentielle en classe de terminale S …… H. (1994) De la reproduction exponentielle au logarithme népérien

Activités dapproche : Fonction logarithme népérien

La fonction ln ainsi définie est appelée fonction réciproque de la fonction exponentielle. Activités d'approche : Fonction logarithme népérien. Page 2

[bHistoire des logarithmes : activités pour la classec\Table des Matières

I. Introduction de la fonction logarithme1

I. A. Fonction réciproque de la fonction exponentielle 1

I. B. Napier, Logarithme discret

I. C. Napier : logarithme continu

I. D. Briggs

I. E. Quadrature de l"hyperbole

I. F. Intérêt composé

4 II. Propriétés des fonctions logarithmes : tables 5

II.A.Napier

5 II.B.Lecture de tables de logarithme et construction de base 5 Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd0/6

[bHistoire des logarithmes : activités pour la classec\Toutes les activités présentées peuvent être approfondies à l"aide du diaporama sur " une histoire des logarithmes ».

I. Introduction de la fonction logarithme

I. A. Fonction réciproque de la fonction exponentielle

Le programme de spécialité donne la définition de la fonction logarithme népérien, notée ln, construite comme réciproque

de la fonction exponentielle.

Soit la fonction exponentielle :

exp:R!]0 ;Å1[ x7!ex 1.

Do nnerla solu tion®(1) de l"équationexAE1.

J ustifierqu el "équationexAE2 admet une unique solution®(2), donner une valeur approchée à 10¡6de cette solu-

tion. 3. Q uepou vez-vousdi redes sol utionsde l "équationexAEksuivant les valeurs réelles dek? 4.

S url eg raphiquesuiv ant,cons truirel asol utiond el "équationexAEkpour chaque valeur dekrepérées.

1 2345
¡1

¡21 2 3 4 5¡1¡2f

ACDEFG

5. Y a-t-i lun axe de symét riequi p ermetc ettec onstruction,si ou i,le t racer.

et théologien. Il trouvera la fonction réciproque de la fonction logarithme sans savoir que c"était la fonction expo-

nentielle, Léonhard Euler (suisse 1707-1783) explicitera la fonction exponentielle et le nombree.

I. B. Napier, Logarithme discret

John Napier ou Neper (Écossais 1550-1617) mathématicien, théologien, physicien, astronome, a défini le logarithme (en

grec nombre de raison) : Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti aequales servant diferentias

Les logarithmes sont les nombres qui a des nombres proportionnels et ont des différences égales :

lo gos: r aison,sou s-entendur aisonde p rogressionar ithmétique ar ithmos: nombr e,qu antité. Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd1/6 •Demi-droiteDx: progression arithmétique telle queLAEA0A1AEA1A2AE...AEAkAkÅ1 •Demi-droiteDy: progression géométrique telle queG0BAE107, et pourq2]0;107[,qAEG1BG

0BAEG2BG

1BAE...AEGkÅ1BG

kB.

1.Dé montrerq uepou rt oute ntierna turelk, on aA

0AkAEkA0A1AEkLetGkBAE107qk2.O ndéfin itla fon ctionLOGparLOG(GkB)AEA0Ak.

(a)

M ontrerq ueLOG(107)AE0

(b)

M ontrerq ueLOG(G1B)AEL

(c)

M ontrerqu eLOG(qk)AEkLOG(q)

I. C. Napier : logarithme continu

Cette activité nécessite la connaissance de la fonction ln, elle peut être une suite de l"activité précédente.

Napier utilise lacinématiquepour expliquerlephénomènecontinuedulogarithme, unmobile se déplace sur chacune

des demi-droitesDxetDyde la manière suivante :

P ourla p rogressionar ithmétique: le m ouvementest unif orme,de A0versA1, la vitessevest constante.

P ourla p rogressiongéomét rique:

-G0BAE107 -À l"instant 0, enG0la vitesse estv.

-À chaque instant, la vitesse du mobile est proportionnelle à la distance qui le sépare deB.

On notex(t) la distanceA0A.

On notey(t) la distanceG0G. On admet que la fonctionyvérifie l"équation différentielle (E)y0(t)ÅCy(t)AEC£107(C

est une constante réelle). 1. M ontrerqu ela fon ctionq uia tassocie 107est solution particulière de (E) 2. Résoudr el "équationdiff érentielle( E0)y0ÅCyAE0. 3.

E ndéduir ey(t)AE107¡107e¡Ct

4. S achantqu ex0(0)AEy0(0), montrer quex(t)AEC£107t. 5.

E ndéduir ey(x)AE107¡107e¡x10

7. 6.

N eperdéfin itsa f onctionlo garithmepa rLOG(GB)AEA0A. En posantzAEGB, justifierLOG(z)AE107lnµ107z

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd2/6

I. D. Briggs

Henry Briggs (anglais 1556-1630), mathématicien, remarque que lorsqu"à une progression géométrique (gn),gnAEg0qn

on associe une progression arithmétique (an)anAEa0Ånr(g0È0,qÈ0,a0È0 etnentier naturel) alors à la moyenne

géométrique on associe la moyenne arithmétique.

Il définit la fonction log

10telle que :

log

10(1)AE0 et log10(10)AE1

et pour tout réel strictement positifgetg0tels que log10(g)AEaet log10(g0)AEa0on aP1: log

10(qgg

0)AEaÅa02

J ustifierq uel og

10(p10)AE0,5.

C ompléterle ta bleausui vant: Nombre log

101 0

10 1p10pp10qpp10rqpp10srqpp10

3. Vér ifierqu ela fon ctionl nv érifiela p ropriétéP1. Déterminer ln0 @srqppe 1 A

Remarque : si la fonctionlnn"est pas connue, on peut la faire découvrir en définissant la fonction telle queln(1)AE0

etln(e)AE1avec la propriétéP1et en complétant le tableau associé. 4. P rolongementd el "activitéav ecl esalg orithmesde B riggs(v oird ocumentalg orithmes)

I. E. Quadrature de l"hyperbole

Ainsi on définit l"aire sous l"hyperbole sur l"intervalle [1 ;x] pourxpositif commeZ x 11t dtet l"aire sous l"hyperbole sur l"intervalle [x; 1] pourx2]0 ; 1] comme¡Z x 11t dt. La fonction ln est celle qui àxréel strictement positif associe ln(x)AEZ x 11t dt.

Il construitntrapèzes sur les intervalles [qi;qiÅ1] pourientier naturel variant de 0 àn¡1 dont 2 sommets sont des

points de l"hyperbole (on choisitqÈ1) : 1

¡11 2 3 4 5 6 7¡1f

1. C alculerl "airede l as ommeai resdes t rapèzespour qAE2 etnAE3.

À partir de la calculatrice calculerZ

8 11t dt Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd3/6

2.M ontrerqu el "aired "untr apèzecons tante,égale à

q2¡q2q. En déduire que la somme des aires des trapèzes est une

suite arithmétique, dont vous préciserez le premier terme et la raison. Exprimer cette somme en fonction den.

On admet que cette somme converge vers l"aire de l"hyperbole sur l"intervalle [1 ;qn] pournfixé. 3. O ndéfin itl afon ctionln pou rt outréel xpar ln(x)AEZ x 11t dtet d"après ce qui précède on admet queZ qiÅ1 q i1t dtest constante pour tout entier natureli. (a)

C alculerln(1).

(b)

M ontrerq uel n(qiÅ1)¡ln(qi)AEln(q).

(c)

E ndéduir eln( qn)AEnln(q).

I. F. Intérêt composé

À l"époquedes babyloniens(IIemillénaire av.JC au VIesiècle av. J.-C.), on trouve des traces d"un commerce riche et

abondant, ici un schéma pris sur Wikipédia donnant les circuits du commerce entre Assur et Kanesh :

Dès cette époque on souhaite répondre à la question : Combien de temps faut-il pour doubler un capitalC0rémunéré au tauxtAE20%AE0,2 ? 1. Vér ifierqu ele pr oblèmer evientà ré soudrel "équation1, 2 nAE2. 2.

P ournentier naturel quel est le sens de variation de la suite qui ànassocie 1,2n. Donner deux entiers consécutifs

qui encadre la solution réelle de l"équation 1,2 xAE2. 3.

A un ombre1, 2

3on associe le nombre 3 ; au nombre 1,24on associe 4. Le mathématicien Briggs remarque qu"au

nombrep1,2

3£1,24on associe le nombre 3,5. Calculer le nombre 1,23,5et comparer-le à 2. Poursuivez jusqu"à

obtenir une valeur approchée de la solution 1,2 xAE2 à 10¡4. 4. C omparerav ecla v aleurd onnéep arl est ablesde calculs des bab yloniens: x'3Å4760

Å1360

2Å2060

3. Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd4/6 II. Propriétés des fonctions logarithmes : tables

II. A. Napier

On admet que le logarithme de Neper est la fonctionLOGdéfinie pour tout réelxstrictement positif parLOG(x)AE

7lnµ107x

On poseAAE9995000 etBAE9900000

1. C alculerLOG(9995000), donner la valeur affichée par la calculatrice. 2. C alculerLOG(9900000), donner la valeur affichée par la calculatrice. 3. À l "aidedu ta bleur,con struirela t ables uivante: N LOG N LOG N LOG N LOG 10

70Bb B 22b...B6868bAa A Ba Åb AB2a2Åb...AB68aÅ68bA

22aA 2B2aÅb A2B22aÅ2b...A2B682aÅ68b...... ... . .... ... ... ... ....

2020aA 20B20aÅb A20B220aÅ2b...A20B6820aÅ68bRemarque :le logarithme de Neper n"est pas tout à fait le même que celui utilisé précédemment, pour calculer les loga-

rithmes deAetBil procède suivant les étapes suivantes :LOG(999999)AELOG(107¡10)'1,00000005Ensuite :

nombre logarithme (999999)

100È9999900 100£1,00000005(1¡10¡7)101Ç9999900 101£1,00000005£10¡7Par interpolation il déduitLOG(9999900)'100,0005nombre logarithme

(9999900)

50È9999500 50£1,0005(09999900)

51Ç9999500 51£1,0005Par interpolation il déduitLOG(A)AELOG(9995000)'5001,25nombre logarithme

(9995000)

20È9900000 20£5001,25(9995000)

21Ç9900000 21£5001,25Par interpolation il déduitLOG(B)AELOG(9900000)'100503,4

II. B. Lecture de tables de logarithme et construction de base

On donne le tableau suivant qui est incomplet. Il reprend un procédé de construction mis en évidence par Neper et

Briggs :

La multiplication de deux nombres de la colonne de gauche correspond à l"addition de deux nombres de la colonne de

droite.xln(x)0,1 0,5 1

2 0,6931

3 1,0986

4 6 5 10

25 3,2189

64
100
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd5/6

1.C ompléterles v aleursma nquantesdu t ableau.

C et ravailpeut ê trecomplété av ecl "algorithmede C ORDICav ecu nel ectured "unet ablede l ogarithmedéc imale

(logarithme de Briggs) : Déterminer les logarithmes décimaux des nombres 2,1, 13 ,p245. 3. K eplerr emarquaqu edeux lo agrithmesson tdist inctsà un coeffi cientprès ,en p articulierlog

10(x)AEln(x)ln(10)

Déterminer le logarithme népérien du nombre 1,44. 4. C et ravailpeut êt recomp létéav ecl "algorithmed eC ORDIC. Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd6/6quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

[PDF] Histoire des logarithmes : activités pour la classe Table des Matières

I. Introduction de la fonction logarithme1

I. B. Napier, Logarithme discret

I. C. Napier : logarithme continu

I. D. Briggs

I. E. Quadrature de l"hyperbole

I. F. Intérêt composé

II.A.Napier

I. Introduction de la fonction logarithme

Soit la fonction exponentielle :

Do nnerla solu tion®(1) de l"équationexAE1.

¡21 2 3 4 5¡1¡2f

ACDEFG

I. B. Napier, Logarithme discret

0BAEG2BG

1BAE...AEGkÅ1BG

1.Dé montrerq uepou rt oute ntierna turelk, on aA

0AkAEkA0A1AEkLetGkBAE107qk2.O ndéfin itla fon ctionLOGparLOG(GkB)AEA0Ak.

M ontrerq ueLOG(107)AE0

M ontrerq ueLOG(G1B)AEL

M ontrerqu eLOG(qk)AEkLOG(q)

I. C. Napier : logarithme continu

P ourla p rogressiongéomét rique:

On notex(t) la distanceA0A.

E ndéduir ey(t)AE107¡107e¡Ct

E ndéduir ey(x)AE107¡107e¡x10

I. D. Briggs

Il définit la fonction log

10telle que :

10(1)AE0 et log10(10)AE1

10(qgg

0)AEaÅa02

J ustifierq uel og

10(p10)AE0,5.

C ompléterle ta bleausui vant: Nombre log

10 1p10pp10qpp10rqpp10srqpp10

I. E. Quadrature de l"hyperbole

¡11 2 3 4 5 6 7¡1f

À partir de la calculatrice calculerZ

2.M ontrerqu el "aired "untr apèzecons tante,égale à

C alculerln(1).

M ontrerq uel n(qiÅ1)¡ln(qi)AEln(q).

E ndéduir eln( qn)AEnln(q).

I. F. Intérêt composé

A un ombre1, 2

3on associe le nombre 3 ; au nombre 1,24on associe 4. Le mathématicien Briggs remarque qu"au

3£1,24on associe le nombre 3,5. Calculer le nombre 1,23,5et comparer-le à 2. Poursuivez jusqu"à

Å1360

2Å2060

II. A. Napier

7lnµ107x

On poseAAE9995000 etBAE9900000

70Bb B 22b...B6868bAa A Ba Åb AB2a2Åb...AB68aÅ68bA

22aA 2B2aÅb A2B22aÅ2b...A2B682aÅ68b...... ... . .... ... ... ... ....

2020aA 20B20aÅb A20B220aÅ2b...A20B6820aÅ68bRemarque :le logarithme de Neper n"est pas tout à fait le même que celui utilisé précédemment, pour calculer les loga-

100È9999900 100£1,00000005(1¡10¡7)101Ç9999900 101£1,00000005£10¡7Par interpolation il déduitLOG(9999900)'100,0005nombre logarithme

50È9999500 50£1,0005(09999900)

51Ç9999500 51£1,0005Par interpolation il déduitLOG(A)AELOG(9995000)'5001,25nombre logarithme

20È9900000 20£5001,25(9995000)

21Ç9900000 21£5001,25Par interpolation il déduitLOG(B)AELOG(9900000)'100503,4

Briggs :

2 0,6931

3 1,0986

25 3,2189

1.C ompléterles v aleursma nquantesdu t ableau.

10(x)AEln(x)ln(10)