[PDF] Chapitre 21 Deuxième principe bilan dentropie

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PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

Chapitre21

Deuxièmeprincipe,bilan d'entropie

-Imaginewhatwouldhappen ifyoujust threwthelaw sof physicsoutthewindow. -Entropy.Chaos...

StargateAtlantis(sai son3,épisode8,2 006)

Bibliographie

bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre17

Lepremierprincip etraduit laconservationdel'énergie lorsdel'év olutiond'un système.Cependantilnedit riensurla naturede

cetteévolution ,peut-onretournerdel'étatfinal àl'étatinitialenpass antparlemêmecheminoufaut-il appliq uerdescontraintes

drastiquementdi ff

érentes?Jusqu'icinousavo nsintuitivementdevinéle sensd'évolu tiond'unetransfo rmation,orlepremierprincipe

n'interditpasderevenirenarriè re.Celane faitpas dupremierprincipeuno utils faibleoubancale,commetoujo ursenphysiq ueil

nefautp asessaye rdefairedi reàunprincipeouunelo iquelq uechosequ'i lnedécritpas !La therm odynamiqueadmetundeuxiè me

principe,c'estcelui-ciquin ousdonneradesin formationssurlesensd'évo lutiond'u netransforma tion.

Historiquementcesecondprincipe àétéintr oduitpourtradu ireladissymétrieentrechaleuret tr avail,alo rsquelepremierprincipe

considèrecesdeuxquantitésc ommeparfai tementéquiv alentes.Derrièrel'approche quasi-phénoméno logiquequenousallonsvoirse

cachelestrav auxthéorique deBoltzmannsurla descriptionstatistiquedessys tèmesthermodynam iquesquidépasse largementl ecadre

dececours .

Soitdeuxcor psencontactp ouvantéchanger del'én ergiesousformedechale ur.Lorsdel'étudedece ttesituationnousavonsas sez

intuitivementavancéquelesdeux corpsévoluentpouréquilib rerleurtemp éra ture.Cependan tlesconsidérationénerg étiquesdupremier

principen'interdisent pasquelesystèmeévoluepouraboutiràdestem pératures di ff érentestantque l'énergietotale dusystèm eisoléest

conservée.Lepremierprincipee stunpr incipedeconservation del'énergieauseind'unsy stèmeisol émaisn edonneaucuneinformation

surle"sen s»d'év olu tiondusystè meé tudié.Pourtantunsystèmeisolénepe utsub irn'importequelletran sformation!Unsystème

évolueratoujoursd'unétat horséquilibreversuné tatd'équili breetpasl'in verse.

IDeuxièmeprincipedela thermodynamique

1.1Énoncédudeux ièmeprincipe

Àtoutsystèmethermodynamiqueestassociéunefonctiond'étatS(T,V)appeléeentropie,grandeurnonconserv ativeetexten-

sives'exprimantenJK 1 bDeuxièmeprincipede lathermodynamique

Lavariat iond'entropieS=S2S1aucour sd'unetransforma tiond'unsystèm eferméd'unétat(1)versunétat(2)estdonnée par

S=Sr+ScSr;

Pourunetran sformation irréversibleSc>0.

Danslecaslim ited'u netransfo rmationréversibleSc=0. bBiland'entrop ie

Remarque:L'entropieaétéintro duiteen 1864parClausius.Lemot entropievientdugrecentropêsignifiant"retourenarrière».

Remarque:L'entropiecrééedansunsystèmee stpardéfinition positiveounu lle.D oncsilorsd'unetransfor mationde l'entropi eest

crééedansunsys tèmeisolé,on nepeut revenirdansl'étatini tialcarilfaudrait" détrui re»del 'entropiece quiestimpossible.Ain si

cettequan titéthermodynamiquenouspermet d'étudierlesensd'évolutiondessystèmes.

N*RudolfClausius(182 2-1888):physicienallema nd.

Unsystè meisolénepeut rienéchan geravecl'ext érieur,ainsiso nentrop ienepeutquecroîtreS=Sc0.

bBiland'entro pieappliquéàunsystèmeisolé

Remarque:Leplus grandsystèmeisoléque l'onpeut imaginerestl'univers,ainsi" l'ent ropiedel'universaugment e».

Remarque:Lorsqu'unsystème isoléestàl'équilibreson entropie devientco nst ante,i.e .iln'y apluscréationd'entropieenson sein.

1.2Caractèreprédictifetcons équences

L'évolutionirréversibled'unsystè meferméd'unétat(1)àunétat(2)estcarac tériséparSc>0.Lesystèmenepeutsuivrelamême

transformationensensinverseenpassantpa rlesmê mesétatsinte rmédiairescarsinonde l'entr opiedevraitêtre"détr uite».

bTransformationirréversible Lesprinc ipalescausesd'irréversibilitéd'u netransformationso nt:

Lanonu niformitéd 'unegrandeurthermodynamiqu eauseindusystè meouentrelesystèmeetlem ilieuextérieur.

L'existencedephénomènesdissipati fs.

Exemples:Deuxblocsenc ontactinitiale mentàd estempératuresdifférentes,mouvementd'unob jetsurunetableavecfrottement s,

unegoutte d'encreplacéedans unliquidesedi ff usedefaçon irréve rsible.

Unetransfo rmationestditeréversiblesi

elleest quasi-statique,i.e. silesystèmeestenéquilibrein terneàtouslesinst ants ;

onpeut àtoutinstant inv erserl esensd'évolutiondusy stèmeparunemodificationinfinitésim aledesparamètresex térieurs.

Unetelle transformationes tassociéeàunecréationd'entropienulleSc=0. bTransformationréversible 189
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IIBiland'entro pie

2.1Expressiondestermesd'entropie

Lestra vauxhistoriquesdeClausiusontpermisd'ét ablirlesidentit éssuivan tesàproposde l'entropiereçueparun systèmeaucoursde

sonévolut ion.

L'entropiereçueparunsystèmelo rsd'unetransform ationdép enddut ransfertthermiquereçu parcesystème :

AdiabatitqueSr=0

MonothermeSr=

Q T0 Syst.reçoittran sfertthermiqued'un thermostatdetempérature T0

PolythermeSr=

X i Qi Ti Syst.reçoittra nsfertthermiquedep lusieursthermostatsi. bExpressiondel'entro pieé changéeavecunthermostat(admis)

Remarqueimportan te:Pourleprem ierpr incipetravailetchaleu rontunrôleéquivalent,cen 'estpaslecaspourlede uxième principe.

Onint roduitlatempératurethermodynamiqueetla pressionthermo dynamiquecomme T= U S V ;p= U V S bDéfinitiondesgrandeu rsthermo dynamiques

Remarque:Cesgrandeursdéfinies grâceàdes outilst hermodynamiquesson tident ifiésà cellesconstruitesàpart irdelathéoriecinétique.

Ilestp ossibled 'écrirelesfonctionsd'éta tsUetHenfonct iondeS,VetpplutôtqueT,Vetp.

Premièreid entitéthermodynamiquedU=

U S V dS+ U V S dV=TdSpdV. Secondeiden titéthermodynamiquedH=d(U+pV)=dU+Vdp+pdV=TdS+Vdp. bIdentitéthermodynamiques(ProgrammedeSp émaisutilesici)

Lavari ationd'entropieaucoursd'un etransformationélémentaires'éc rit(d' aprèslapremièr eidentitéthermo dynamique)

dS= dU T +p dV T Ainsilavariati onauco ursd'unetransformationd'uné tat(1 )versunétat(2)s 'écrit

S=S2S1=

Z 2 1 dU T +p dV T bExpressiondelavariat ion d'entropi e Soitdeuxsol idesencontac tl'unavecl'autre,dét ermine rlesensspontanédutra nsfertthermiq ue. dU1+dU2=0,dS1+dS20,id .thermo.dS1= dU1 T1 ainsidS=dU1 1 T1 1 T2 0. SiT1>T2alorsdU10transfertthermiquede(1)v ers(2). Transfertthermique"élémentai re»spontané

Demêm equepourlepremi erprincipe,un destermesdesbi lansentropiques nepossèdepasd'expr essionconnu(iciSc)cependant

laco nnaissancedelavariationd'entropieto taledusyst èmeet del'entropieéchangéepermetdedét erminercettedernièreinconnue.

Leterme decréationd'ent ropien'apas d'expression,onletrouv eenutilisantlarelation suivan teSc=SSr.

bExpressiondelacréati ond' entropie

2.2Entropiedugazparfait

S= Z 2 1 CvdT T PdV T Z 2 1 Cv dT T Z 2 1 nR dV V =Cvln T2 T1 +nRln V2 V1

TD22-App1

L'entropiedenmolesdegazparfait àl'équ ili breestdonnéepa rS(T,V)=Cvln T T0 +nRln V V0 +S0 avecS0=S(T0,V0)l'entropiedugazparfaitdansl'ét at(T0,p0,V0)choisicommeorigine. bEntropied'ungazparfait

Remarque:Laconstan teS0peutêtrees timéeparl'in termédiairedu"troisi èmeprinci pedelathermodynamique»énoncéparNernst:

N*WaltherNernst(1864-1 941):chimisteal lemandetprixNobeldechimie1920. 190
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S(T,p)=Cpln

T T0 nRln p p0 +S0;S(p,V)=Cvln p p0 +Cpln V V0 +S0.

S(T,V)=Cvln

T T0 +nRln V V0 +S0= nR 1 ln T T0 +(1)ln V V0 +S0= nR 1 ln TV 1 T0V 1 0 +S0. S= nR 1 ln T p 1 T 0 p 1 0 nR 1 ln pV p0V 0 +S0.

TD22-App2

2.3Entropied'unephaseincomp ressibleetindila table

S= Z 2 1 CvdT T =Cvln T2 T1 =mcln T2 T1

TD22-App3

L'entropied'unemassemdephas eincompressible etindilatablenedépendquedesatempérature

S(T)=mcln

T T0 +S0;

avecS0=S(T0)l'entropiedelaphaseincompr essibleetindila ta bledansl'état(T0,p0,V0)choisicommeorigineetclaca pacité

thermiquemassiquesuppos éeindépendantedelatempérature. bEntropied'unephaseincompressi bleetindi latable

2.4Étuded'un sys tème

Nousvenonsde voirbeaucoupderés ultats liésàl'entr opie,ilestintéressantdel escom prendrepoursefaireuneidéeco hérentedecet te

notion.Toutefois,lesou tilsdontnousaurontbesoinda nsunprem iertempssontlimit és.

Faireunbiland 'entro piec'est

1.Modéliserlesystème,engénér alunga zparfaitouunephaseincomp ressib leetindilatable.

2.Calculerlavariationtotaled'en tropie.

Pourungazpa rfaitS=Cvln

T f Ti +nRln V f Vi

Pourunepha seincompr essibleetindil atableS=mcln

T f Ti

Remarque:ilestp arfoisutil ederéexprimerSenfonct iond'autresgrandeurs àl'aidedel'équationd'ét atdugazparfait.

3.Calculerl'entropiereçuep arlesystèmeSr=

Q T0 avecT0latemp ératureduthermostat(voirautr escas,pa rtie2.1).

4.Calculerl'entropiecréée auseindusystèmeSc=SSr.

5.Conclurequantàlanatureréversible(Sc=0)ouirréversible(Sc>0)de latra nsforma tion.

Ficheméthode:Bil and'entropie,cequ'il fau tsavoirutiliser

Méthodeexpert: Lavariat iontotaled'entropies'obtien tàpartirdela1èreident itéthermodynamiquedU=TdSpdVparune

intégrationdel'étatinitialàl'éta tfinal etdesconnaissances deschapitresprécéden ts. Jevousrecommandede progressive mentas similer

cettemétho dequiserautilepl ustard.

IIIApplicationsetconséquences

3.1Conséquence:LoideLaplace

N*Pierre-SimondeLaplace(1749-1827) :mathém aticien,astronomeetphysi cienfrançais.

Considéronsungazparfai tsubissantuneévolution adiabatiqueetréversibledecoefficientadiabatiqueconstantaucoursde

latran sformation.Lavariationd'entropied'ungazpar faits' écritsousformecompacte S= nR 1 ln T2V 1 2 T1V 1 1 nR 1 ln T 2 p 1 2 T 1 p 1 1 nR 1 ln p2V 2 p1V 1 Latra nsformationétantadiabatique,l'entropieéchangéeestnulle Sr= Q T0 =0. Latra nsformationétantréversible,l'entropiecréeestnulleSc=0. Ainsilavar iatio nd'entropieestnulle,cequic onduitàTV 1 =cste;T p 1 =cste;pV =cste.

Soitunsystèm eferméc onstituéd'ungazparfait ,decoefficientadiabatiqueconstantsubissantunetra nsformationadiabatique

etréversible;al orscettetransfor mationestcarac tériséeparlaloideLaplace pV =cste. bLoide Laplace 191
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TD22-App5

Onpeut égalementmon trerlaloideLaplacepourdesh ypothèsesplusfaibles( gazpa rfaitentra nsforma tionadiabatiquequasi -statique)

enfaisa ntunpeudecalculin finités imal.Pour unetr ansformationinfinitésimaleadiabatique(Q=0)quasi-statique(pext=p)

d'ungazparfai tona dU=Q+W=pdV=CvdT; dH=dU+Vdp+pdV=Vdp=CpdT.

Ona doncl'égalit é

dT= pdV Cv Vdp Cp dp p Cp Cv dV V dV V )ln p p0 =ln V V0 )ln pV p0V 0 =0)pV =p0V 0

Remarque:Ilests impleder eprésenterunetrans format ionadiabatiqueréversibled'ungazp arfaitdans lesdiagrammesthermodyna-

miquesqueno usconn aissonsparexemple pourledia gramme deClapeyronp/1/v pourlediag ramme dephasep/1/T 1 pourledia gramme d'AmagatpV/p 1

Représenter(enlesjustifiant )lestra nsfor mationsisotherme,isobare,isocho reetadi abatiqueréversible

pourungazpar faitmo noatomiq uedanslestroisdiagramm esnommésci-dessus.

3.2DétentedeJouleetGay-Lu ssac( Complément)

Pourplusdedé tailssurcedi spositi fvoirlechapitrepré cédent.

Lorsdecette expéri enceungazparfai tsubitunedétented'unétat(1)ve rsunét at(2)tel queT1=T2et2V1=V2.Ainsilavariation

d'entropies'écrit

S=nRln2.

L'enceinteétantcalorifugéeiln' yaaucuntransfer tthermiqueetdoncSr=0.Ainsil'entropiecréeestnonnulleSc=S=nRln2>0.

Cettetransformat ionestdoncirréversible.Plusgénéraleme ntonpeutc onclurequel 'entropied'unsystèmeisolénepeutquecroî tre

etquel'év olutiond'un systèmeisolés'arrêtelorsquel'e ntropie atteintun maximum. bÉvolutiond'entropied'unsystèmeiso lé

3.3Thermostat

Onconsidère unsystèmeSsubissantuneévolutionmonot herme.Le seuléchangeestuntransfertth ermiqueaveclethermostatTàla

températureT0.Le therm ostatreçoitdoncuntransfertther miqueQdel apartdusys tème. Onpeut montrerquelav ariationd'entropied'unthermostat s'écrit ST= Q T0 avecQlach aleurreçuparlesystèmeen contactaveclet hermostatTdetempérature T0. bVariationd'entropied'unt hermostat

Justificationrésultatci-dessus.

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