[PDF] DM n 3 : Circuit RLC parall`ele

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DM no3 : Circuit RLC parall`ele

R´eponse `a un ´echelon de tension

Sur le sch´ema du montage ci-contre, le g´en´erateur de tension est id´eal, def.´e.m.Econstante. Les r´esistors sont lin´eaires, de r´esistancesRetrconstantes. Tant que l"interrupteur est ouvert, le condensateur, de ca- pacit´eC, est d´echarg´e et la bobine id´eale, d"inductanceL, n"est parcourue par un aucun courant.`At= 0, l"interrup- teur est ferm´e instantan´ement et on cherche `a d´eterminer l"´evolution ult´erieure du r´eseau ´electrique. CLi R R E ri iCiL u

1)D´eterminer, par un raisonnement physique simple (pratiquement sans calcul), la tensionu

et les intensit´esi,iL,iCetiRdans les quatre branches : a)juste apr`es la fermeture de l"interrupteur (instantt= 0+), b)au bout d"une dur´ee tr`es grande (t→ ∞). 2) ´Etablir l"´equation diff´erentielle liantiR`a ses d´eriv´ees par rapport au tempst.

Solution DM no3

Avant de se lancer dans la r´esolution, posons la la loi des noeuds et les relations qui existent out≥0) : i=iL+iC+iR 1? u=uR=RiR 2? u=uC=q

Cavec :iC=dqdt=Cdudt3?

u=uL=LdiL dt4? u=E-ri 5?

1.a)•Commel"intensit´e traversant une bobine est une fonction continue du tempset que

la bobine n"est parcourue par aucun courant pourt <0 :iL(0+) =iL(0-) = 0 •Commela charge aux bornes d"un condensateur est une fonction continue du tempset que le condensateur est d´echarg´e pourt <0 :u(0+) =q(0+)

C=q(0-)C= 0.

•Par ailleursiR(0+) =u(0+) R= 0. •Enfin1?5?----------→commeu(0+)=0iL(0+) =i(0+) =E r

1.b) Lorsque le r´egime permanent continu est ´etabli, le condensateur se comporte comme

un interrupteur ouvert et la bobine se comporte comme un simple fil.

D"o`uiC(∞) = 0

etu(∞) = 0.

Ce qui entraˆıneiR(∞) = 0

eti(∞) =Er. La loi des noeuds donne enfiniL(∞) =i(∞) = 0

2) M´ethodologie :On cherche l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee pariR.

Il faut donc exprimer tous les autres courants dans la loi desnoeuds en fonction deiRseulement.

DM no3(Ve26/11)2008-2009

Or, les relations3?,4?et5?montre qu"on peut facilement exprimer ces intensit´es en fonction de u, laquelle s"exprime `a son tour facilement en fonction deiR.

Puisque4?met en jeu la d´eriv´ee deiLpar rapport au temps, on d´erive1?par rapport au temps :

di dt=diLdt+diCdt+diRdt qui devient, grˆace `a3?,4?et5?: 1 rd(E-u)dt=uL+Cd2udt2+diRdt

Enfin, puisqueu=RiR, on obtient

d 2iR dt2+1C?

1R+1r?

diRdt+1LCiR= 0(?)

3)L"´equation diff´erentielle d"ordre 2 qui s"´ecritsous sa forme canonique:

d 2iR dt2+ω0QdiRdt+ω20iR= 0(?) avec, par identification : -ω0=1 ⎷LCla pulsation propredu circuit - etQ=R0Cω0 sonfacteur de qualit´e; en posantR0=r//R=rRr+R

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

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