[PDF] Exercices Faire un test sur la

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PLPSTA03

Tests d"hypoth`eses statistiquesU.F.R. SPSE

2006-2007

Exercices

1 Rappels

Exercice 1.1 Loi normale. L"´echelle motrice de Bayley permet de mesurer le d´eveloppement psychomo-

teur des enfants. On sait que dans la population g´en´erale des enfants normaux ˆag´es de 6 mois, les scores

de d´eveloppement psychomoteur sont distribu´es selon une loi normale de moyenneμ= 100 et d"´ecart-type

σ= 15.

1. D´efinir la population et la variable ´etudi´ees. Quelle est la loi de la variable (forme, moyenne, ´ecart-

type)?

2. Un enfant a obtenu un score de 112. Calculer son score centr´e r´eduitz.

3. Un enfant a un score qui se situe `a 1,2 ´ecart-type au-dessus de la moyenne. Quel est son score?

4. Un enfant a un score qui se situe `a 2 ´ecart-types en-dessous de la moyenne. Quel est son score?

5. Quelle est la proportion d"enfants normaux ˆag´es de 6 mois ayant un score sup´erieur `a 130 sur l"´echelle

motrice de Bayley?

6. Quelle proportion de la population a un score inf´erieur `a 82?

7. Quelle est la probabilit´e qu"un enfant, tir´e au sort dans la population, obtienne un score compris entre

70 et 120?

8. Un enfant a obtenu un score ´egal `a 137,5. Calculer la proportion d"enfants ayant un score plus ´elev´e

que 137,5. Peut-on dire que son score est exceptionnellement ´elev´e?

9. Quel est le score en dessous duquel se situent 95 % des enfants de la population? Quel est le score

au-dessus duquel se situent 1% des enfants?

10. Calculer l"intervalle de variation au risqueα= 10% (resp. 5%) contenant 90% (resp. 95%) des scores

de la population. Exercice 1.2 Loi normale. Un certain test de reconnaissance d"objets donne, pour une population de

personnes pr´esentant une agnosie visuelle, une moyenne de 10 objets reconnus et une variance de 9. On

sait que la distribution des scores est normale dans cette population. Un nouveau patient d"un centre de

r´e´education vient de passer le test et a obtenu la note de 12.

Quelle est la probabilit´e d"obtenir un score de 12 ou plus dans la population d"agnosiques? Classeriez-vous

cet individu comme individu"sain»?

Exercice 1.3 Loi normale. Le score `a un test d"aptitude suit une distribution normale de moyenne 150 et

d"´ecart-type 30, dans une population d"enfants scolaris´es. On dirige un enfant vers un programme de soutien

scolaire si son score au test d"aptitude se situe sous le 1er d´ecile. En dessous de quel score un enfant sera-t-il

dirig´e vers le programme de soutien scolaire?

Exercice 1.4 loi normale. Un score obtenu au questionnaire d"auto-´evaluation des jeunes d"Achenbach

permet de mesurer le nombre total de probl`emes comportementaux signal´es par l"enfant, pond´er´es selon

la gravit´e du probl`eme. Un score ´elev´e correspond `a un grand nombre de probl`emes comportementaux.

Dans une population d"enfants donn´ee, la distribution de ce score est suppos´ee normale de moyenne 50 et

d"´ecart-type 10.

1. Quelle est la proportion d"enfants ayant un score inf´erieur `a 74?

2. Quelle est la proportion d"enfants ayant un score inf´erieur `a 34?

3. Quelle est la proportion d"enfants ayant un score compris entre 20 et 74?

1

4. Quel serait le score limite pour le diagnostic si l"on voulait identifier les enfants dont le score se situe

dans les 2% sup´erieurs de la population?

Exercice 1.5 Estimation ponctuelle.On s"int´eresse aux r´esultats du test B101 de la batterie Standard

Bonnardel chez les hommes de 20 `a 30 ans. Le test consiste en une s´erie de 16 mod`eles `a reproduire. On

mesure le temps de reproduction des mod`eles (en secondes).

1) Pr´eciser la population et la variable ´etudi´eeX. Quelle est la taillende la population? La loi deXest-elle

connue? Connaˆıt-on la moyenneμet l"´ecart-typeσde la population?

2) On pr´el`eve un ´echantillon de 18 hommes dans la population et leur fait passer le test. Les tempsxirelev´es

sont les suivants : Tempsxi: 489 561 383 336 437 555 339 444 383?xi= 7932

362 458 351 348 555 441 464 469 557?x2i= 3604292

a) Pr´eciser la taillende l"´echantillon.

b) Calculer la moyenne ¯xet l"´ecart-typesde l"´echantillon. Donner une estimation ponctuelle du temps

moyenμde la population. Donner une estimation ponctuelle sans biais de l"´ecart-type des tempsσdans la

population.

c) Calculer la fr´equencefd"individus de l"´echantillon pour lesquels le temps de reproduction des mod`eles

est sup´erieur `a 400 s. Quel param`etre de la population cette fr´equence permet-elle d"estimer?

3) Un second ´echantillon de taille 18 a ´et´e pr´elev´e dans la population par un autre exp´erimentateur. Les

temps sont r´esum´es ci-dessous :?xi= 8021?x2i= 3801292

Quelles sont les estimations ponctuelles deμ, σfournies par cet ´echantillon? Comparez ces estimations avec

celles obtenues `a partir du premier ´echantillon.

Exercice 1.6 Moyenne empirique.Un sp´ecialiste en psychologie industrielle utilise aupr`es de la main-

d"oeuvre de l"entreprise Electrotek une adaptation d"un test d"aptitude pour ex´ecuter une certaine tˆache.

D"apr`es les standards ´etablis, les r´esultats au test sont distribu´es suivant une loi normale de moyenne 150

et d"´ecart-type 10 et le test adapt´e suit les mˆemes normes.

1) D´efinir la population et la variable ´etudi´ees. Pr´eciser la loi de la variable, sa moyenne et son ´ecart-type.

2) On d´ecide de pr´elever un ´echantillon de taillen= 25 dans la population. Quelle est la loi de la moyenne

empirique¯Xn?

3) Calculer l"intervalle de variation contenant 95% des valeurs de¯Xnobserv´ees sur de tels ´echantillons.

Donner l"intervalle de variation au mˆeme risque pour la statistiqueZn.

4) On consid`ere qu"un ´echantillon est atypique de la population au seuilα= 5% si sa moyenne fait partie

des 5% de valeurs les plus extrˆemes de¯Xn.

Sur un ´echantillon de 25 individus de l"entreprise choisis au hasard on obtient un r´esultat moyen ¯x= 154,7.

Peut-on dire que cet ´echantillon est atypique de la population au seuilα= 5%? Mˆeme question au seuil

α= 1%.

Exercice 1.7 Moyenne empirique.Le questionnaire d"auto-´evaluation d"Achenbach permet de mesurer

les probl`emes comportementaux des jeunes (de 4 `a 16 ans). On sait que dans la population g´en´erale, les

scores sont distribu´es selon une loi normale de moyenne 50 et d"´ecart-type 10.

1) D´efinir la population et la variable ´etudi´ees. Pr´eciser la loi de la variable, sa moyenne et son ´ecart-type.

2) On d´ecide de pr´elever un ´echantillon de taillen= 24 dans la population. Quelle est la loi de la moyenne

empirique¯Xn?

3) On consid`ere que la moyenne d"un ´echantillon est, au seuilα= 5%,significativement plus grande que la

moyenne g´en´erale si elle fait partie des 5% de valeurs les plus grandes de¯Xn. 2

(a) Calculer la valeur limite au-dessus de laquelle la moyenne de l"´echantillon tir´e au sort sera, au seuil

α= 5%,jug´ee significativement plus grande que la moyenne g´en´erale.

(b) Sur un ´echantillon de 24 enfants, on a observ´e un score moyen de 54,5. Que peut-on dire de cet

´echantillon?

Exercice 1.8 Moyenne empirique.La variable"r´esultat `a un test portant sur la richesse et la pr´ecision

du vocabulaire chez les enfants de 12 ans»ob´eit `a une loi de moyenne 60 et d"´ecart-type 10.

1) D´efinir la population et la variable ´etudi´ee.

2) On s"int´eresse `a la moyenne empirique¯Xn. Indiquer l"effet de la taille de l"´echantillon sur les ca-

ract´eristiques de la distribution de¯Xn: taille demoyenne empirique

¯Xn

l"´echantillonforme de la loi moyenne ´ecart-type

n= 8n= 32n= 100Evaluer la probabilit´e en tirant au hasard un ´echantillon de taillen= 32 d"observer un r´esultat moyen

sup´erieur `a 64. Mˆeme question pourn= 100.Que peut-on dire pourn= 8?

Exercice 1.9 Moyenne empirique.Dans une population de r´ef´erence, les scores `a un test de m´emorisation

(nombre d"´el´ements retenus) se distribuent selon une loi de moyenne 7 et d"´ecart-type 1,9.

On consid`ere ici que la moyenne d"un ´echantillon de taillen= 32 est significativement plus petite que la

moyenne de r´ef´erence si elle fait partie des 1% de valeurs les plus petites de¯Xn.

Sur un ´echantillon de 32 personnes, on a observ´e un r´esultat moyen de 6,1. Calculer la probabilit´e d"observer

sur un ´echantillon de taille 32 un score moyen inf´erieur `a celui observ´e. Que peut-on penser de l"´echantillon?

2 Tests sur la moyenne

Exercice 2.1Formuler les hypoth`esesH0etH1pour chacune des situations suivantes :

1) On se demande si le QI moyen des enfants de 6 `a 13 ans est diff´erent de 100.

2) Le score moyen d"aptitude `a l"organisation perceptive pour les enfants"normaux»de 6 `a 12 ans est ´egal

`a 10. On veut tester l"hypoth`ese selon laquelle le score moyen des enfants hyperactifs est diff´erent de celui

des enfants normaux.

3) Des ´etudes ont montr´e que le niveau moyen d"anxi´et´e pour les sujets qui ne sont pas priv´es de rˆeves est

de 26,5.On veut tester l"hypoth`ese selon laquelle la privation de rˆeves augmente le niveau d"anxi´et´e.

4) On veut tester l"hypoth`ese selon laquelle le score moyen `a un test de m´emorisation pour les personnes

tr`es ˆag´ees est inf´erieur `a 7 (score moyen de r´ef´erence).

5) On veut tester l"efficacit´e d"une th´erapie dans le traitement de l"anorexie chez les adolescentes. On mesure

le poids des sujets au d´ebut (P1) et `a la fin (P2) de la th´erapie. On mesure l"efficacit´e de la th´erapie par la

diff´erence de poidsP1-P2. Dans chaque cas, on pr´ecisera la population et la variable ´etudi´ees.

Exercice 2.2Le test du compteur de tours informe sur l"interf´erence d"une tˆache visuelle avec une activit´e

motrice. On admet que la variable"rendement pour la main droite»chez les enfants de 9 ans est r´egie par

une loi normale d"´ecart-typeσ= 10.

On applique ce test `a 15 enfants de 9 ans et on obtient un rendement moyen pour la main droite de 91,3.

Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que le rendement moyenμ, chez les enfants de 9 ans, est

diff´erent de 95? 3

Exercice 2.3On applique le test d"´ecriture en miroir `a 15 sujets pr´esentant certaines anomalies. Pour

chaque sujet, on mesure le temps (en secondes) utilis´e pour reproduire trois s´eries de chiffres et de lettres.

On obtient un temps moyen ¯x= 200,8 pour un ´ecart-types= 19.On admet que la variable"temps»suit

une loi normale dans la population consid´er´ee. Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que le temps moyenμest diff´erent de 200?

Exercice 2.4On soumet 15 enfants de 9 ans `a un test permettant de mesurer la motricit´e manuelle. Les

r´esultats (temps en minute pour enfiler 10 perles) sont r´esum´es ci-dessous :?xi= 47,13?x2i= 181,95

Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que le temps moyen chez les enfants de 9 ans est inf´erieur

`a 3,5 mn? On admettra que la variable temps est r´egie par une loi normale.

Exercice 2.5Des insomniaques avaient une dur´ee de sommeil moyenne de 2 heures par nuit avant d"ˆetre

trait´es avec un nouveau m´edicament. S"il agit, ce m´edicament doit augmenter la dur´ee de sommeil. Pour

tester ce nouveau m´edicament, 11 sujets choisis au hasard ont re¸cu le m´edicament. Leurs dur´ees de sommeil

apr`es traitement sont r´esum´ees ci-dessous :?xi= 31,7?(xi)2= 112,31

On suppose que la variable"dur´ee de sommeil»suit une loi normale. Au risqueα= 5%, peut-on accepter

l"hypoth`ese que le nouveau m´edicament est efficace?

Exercice 2.6Une ´etude porte sur le temps de latence des asthmatiques au test de Rorschach. On applique

le test `a 65 sujets asthmatiques (choisis au hasard) et on obtient un temps de latence moyen de 15,8 s avec

un ´ecart-typesde 8,51 s. Le temps moyen de latence des asthmatiques est-il sup´erieur `a 13 s, au risque

α= 1%?

Exercice 2.7Dans une ´etude sur le d´eveloppement psychomoteur les enfants PRN (pr´esentant un poids

r´eduit `a la naissance), les auteurs ont constitu´e un ´echantillon de 31 enfants PRN. Pour chaque enfant, ils

ont relev´e le score (IDM) de Bayley `a 6 mois puis `a 24 mois. Le tableau ci-dessous donne les diff´erencesdi

des scores (IDM-6 - IDM-24) : d i: 10 6 13 -17 12 35 25 14 25 14 14 -14 16 20 2 -4 -9 -28 38 3 -23 -3 -2 2 9 -17 -9 -7 5 12 -9

Des travaux ant´erieurs sur de tels enfants laissent penser que les scores des enfants PRN peuvent diminuer

de fa¸con sensible entre 6 et 24 mois. R´ealiser un test afin de d´eterminer si les donn´ees observ´ees confirment

cette hypoth`ese (choisir un seuil de 5%).

Exercice 2.8Le test de Janis et Field permet de mesurer le niveau d"estime de soi (un score ´elev´e indiquant

un niveau ´elev´e). Des ´etudes ont montr´e que le niveau moyen des jeunes actifs est de 51,83. Dans le cadre

d"une ´etude sur le chˆomage, on ´emet l"hypoth`ese que le niveau moyen des jeunes inactifs est inf´erieur `a celui

des jeunes actifs. On applique le test de Janis et Field `a 37 jeunes inactifs choisis au hasard. Leurs scores

(X) sont r´esum´es ci-dessous :

¯x= 49,38s= 7,5

1) Peut-on, au risqueα= 1%, accepter l"hypoth`ese ´emise?

2) Calculer le niveau de significationαobs(p-valeur) du test. Quel risqueαminimum faut-il prendre pour

accepter l"hypoth`ese ´emise?

Exercice 2.9On s"int´eresse `a l"effet d"un neuroleptique sur des psychotiques. Pour cela, on consid`ere le

temps n´ecessaire (en heures) pour calmer une crise. On choisit au hasard 40 psychotiques en ´etat de crise et

4

on leur administre le neuroleptique. On observe sur ce groupe un temps moyen ¯x= 4,35 et un ´ecart-type

s= 1,12.

Peut-on, au risqueα= 1%, accepter l"hypoth`ese que le temps moyen pour calmer une crise est sup´erieur

`a 4 heures? Pour quel risque minimum accepterait-on cette hypoth`ese? Quel serait le risque minimum `a

prendre dans le cas d"une hypoth`ese alternative bilat´erale?

Exercice 2.10Compas et al. ont remarqu´e que les scores obtenus par des jeunes enfants soumis au stress `a

une ´echelle de d´esirabilit´e sociale sont ´etonnamment ´elev´es. On sait que le score moyen standard de l"´echelle

de d´esirabilit´e sociale est ´egal `a 3,87.

Pour un ´echantillon de 36 enfants soumis au stress, Compas et ses collaborateurs ont relev´e une moyenne

d"´echantillon de 4,39 et un ´ecart-typesde 2,61.

On veut tester l"hypoth`ese selon laquelle les enfants soumis au stress ont un score moyen sup´erieur `a la norme.

Calculer le niveau de significationαobs(p-valeur) du test. Que peut-on conclure `a partir des donn´ees?

Exercice 2.11Un chercheur pense qu"il ne peut y avoir apprentissage sans renforcement (r´ecompense).

Pour prouver qu"il a raison, il r´ealise une exp´erience sur 39 rats. Il place des rats dans un labyrinthe et

mesure le temps mis pour atteindre une case d"arriv´ee `a partir d"une case de d´epart, ces cases ´etant toujours

les mˆemes. Une boulette de viande est plac´ee dans la case d"arriv´ee. Les temps relev´es sont r´esum´es ci-dessous :

¯x= 23 ets= 4,2.

Des ´etudes ant´erieures ont montr´e que, sans renforcement, le temps moyen mis par des rats pour parcourir

le labyrinthe est de 25 s. Peut-on, au risqueα= 1%,accepter l"hypoth`ese que le renforcement favorise l"apprentissage? Calculer le niveau de significationαobsdu test.

3 Test de comparaison de 2 moyennes `a partir de 2 ´echantillons ind´epen-

dants

Exercice 3.1Le poids moyen de 50 ´etudiants faisant du sport est de 68,2 g pour un ´ecart-type de 2,5. Le

poids moyen de 50 ´etudiants ne faisant pas de sport est de 67,5 kg pour un ´ecart-type de 2,8. Peut-on, au

risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que les ´etudiants faisant du sport ont un poids moyen sup´erieur `a celui

des ´etudiants ne faisant pas de sport? Calculer le niveau de signification du test.

Exercice 3.2Afin de comparer la th´erapie familiale et la th´erapie cognitivo-comportementale dans le trai-

tement de l"anorexie, on a constitu´e deux ´echantillons ind´ependants de patientes atteintes d"anorexie. Le

premier groupe a suivi une th´erapie cognitivo-comportementale, le second groupe a suivi une th´erapie fami-

liale. Pour chaque sujet, on a relev´e le poids au d´ebut (P1) puis `a la fin d"une p´eriode de traitement (P2) et

mesur´e la diff´erence de poids (variableX=P2-P1). Les donn´ees sont r´esum´es ci-dessous :

groupe"th´erapie cognitivo-comportementale»:n1= 13 ¯x1= 3,58s1= 6,86 groupe"th´erapie familiale»:n2= 12 ¯x2= 7,25s2= 7,79

On admet que les variables diff´erences de poids suivent des lois normales de mˆeme variance dans les deux

populations de patientes.

Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que les diff´erences de poids moyennes diff`erent selon les

traitements? 5

Exercice 3.3Le mod`ele de la m´emorisation propos´e par Craik et Lockhart (1972) stipule que la m´emorisation

d"un mat´eriel verbal est fonction du traitement de ce mat´eriel lors de sa pr´esentation initiale. Un chercheur

veut tester ce mod`ele et examiner s"il peut contribuer `a expliquer certaines diff´erences relev´ees entre des

sujets jeunes et ˆag´es concernant leur aptitude `a se rappeler du mat´eriel verbal.

L" ´etude men´ee par le chercheur inclut 60 sujets dont l"ˆage se situe entre 18 et 30 ans et 60 sujets compris

dans la tranche d"ˆage 55-65 ans. Dans chacune des tranches d"ˆage, les 60 sujets sont r´epartis au hasard en

deux groupes de mˆeme taille :

- le premier groupe a pour consigne de trouver une rime pour chaque mot d"une liste de mots ("traitement

syntaxique»);

- le deuxi`eme groupe doit donner un adjectif pouvant ˆetre utilis´e pour modifier chaque mot de cette liste

("traitement s´emantique»).

Aucun sujet ne sait qu"il lui faudra se rappeler les mots ult´erieurement. A la fin de l"exp´erience, on rel`eve le

nombre de mots m´emoris´es.

1. On veut ´etudier chez les sujets ˆag´es s"il existe une diff´erence de performance entre le traitement

syntaxique et le traitement s´emantique, en faveur de ce dernier. Les r´esultats sont les suivants :

Groupe 1 ¯x1= 6,9s?1= 2,13

Groupe 2 ¯x2= 11,0s?2= 2,49

Faire le test pour un risqueα= 5%.

2. On veut savoir si pour le traitement syntaxique, il existe une diff´erence de performance due `a l"ˆage.

Pour les deux ´echantillons correspondants les r´esultats sont les suivants :

Sujets ˆag´es ¯x1= 6,9s?1= 2,13

Sujets jeunes ¯x2= 7,6s?2= 1,95

Les r´esultats sont-ils significativement diff´erents au niveauα= 1%? Pour quel risque minimum

concluerait-on `a une diff´erence de performance?

Exercice 3.4Lors d"une exp´erience p´edagogique, on a cherch´e `a comparer deux p´edagogies des math´emati-

ques chez deux groupes de sujets :

Le premier groupe a suivi un enseignement selon une m´ethode traditionnelle (p1), le second selon une

m´ethode nouvelle (p2). Tous les sujets ont ensuite pass´e une mˆeme ´epreuve. Les notes obtenues sont r´esum´ees

ci-dessous : p1 :n1= 12x

1= 3,25s1= 1,365

p2 :n2= 10x

2= 4,25s2= 1,553

Ces donn´ees exp´erimentales permettent-elles d"affirmer au risqueα= 1%, que la m´ethode nouvelle donne

de meilleurs r´esultats? On admet que les variables notes suivent des lois normales de mˆeme variance.

Exercice 3.5Dans une ´etude sur le d´eveloppement de l"enfant, on a ´emis l"hypoth`ese que la d´epression

post-natale de la m`ere contrarie le d´eveloppement cognitif de l"enfant. Pour tester cette hypoth`ese, on a

pr´elev´e deux ´echantillons ind´ependants d"enfants : un ´echantillon de 7 enfants dont les m`eres ont subi une

d´epression post-natale et un ´echantillon de 7 enfants dont les m`eres n"ont pas souffert de cette d´epression.

On a mesur´e le Q.I. de chaque enfant `a l"ˆage de quatre ans :

Q.I. (m`ere non d´epressive) :

?xi= 763?(xi)2= 84147 Q.I. (m`ere d´epressive) :?yi= 699?(yi)2= 71327

On admet que les variables Q.I. suivent des lois normales de mˆeme variance dans les deux populations

d"enfants. Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese ´emise? 6

Exercice 3.6On a appliqu´e `a 37 travailleurs et 39 chˆomeurs choisis au hasard et ind´ependamment le uns

des autres, un mˆeme test mesurant le niveau d"estime de soi. Sur l"´echantillon de travailleurs, on a obtenu

un niveau d"estime moyen ´egal `a 53,83 avec un ´ecart-type corrig´e de 9,57. Sur l"´echantillon de chˆomeurs, on

a obtenu un niveau d"estime moyen ´egal `a 43,13 avec un ´ecart-type corrig´e de 7,51.

Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que le niveau d"estime moyen des travailleurs est sup´erieur

au niveau d"estime moyen des chˆomeurs?

4 Tests sur une proportion

Exercice 4.1Sur un ´echantillon de 300 patients trait´es par un certain m´edicament, 243 ont ´et´e gu´eris.

Tester au risqueα= 5%, l"hypoth`ese que la proportion de gu´erisons est sup´erieure `a 75%.

Exercice 4.2Dans un sondage d"opinion, 225 ´electeurs d"une circonscription ont ´et´e choisis au hasard et

on leur a demand´e s"ils pensaient que le premier ministre britannique faisait du bon travail. 75 ont r´epondu

oui. Est-ce une pr´esomption suffisante pour accepter l"hypoth`ese que moins de 50% de l"´electorat pense que

le premier ministre fait du bon travail? (α= 5%.)

Exercice 4.375% des sujets normaux qui subissent le test des boulons de la Batterie Standard Bonnardel

vissent au moins 36 boulons. On applique ce test `a 80 ouvriers de l"automobile et parmi eux, 69 vissent

au moins 36 boulons. Pour quel risque minimum, accepterait-on l"hypoth`ese que l"habilet´e manuelle des

ouvriers est sup´erieure `a la norme?

Exercice 4.4Lors d"une ´etude destin´ee `a ´evaluer un programme de r´einsertion professionnelle, on s"est

int´eress´e aux chˆomeurs issus d"un mˆeme secteur d"activit´e, ayant subi un licenciement ´economique et ayant

suivi le programme d`es leur licenciement. On a pr´elev´e un ´echantillon de 42 chˆomeurs dans la population

concern´ee et pour chacun d"entre eux, on a relev´e le nombre de mois chˆom´es `a partir de la date du licenciement

(variableX). Les donn´eesxisont les suivantes :

1 8 3 7 5 5 4 6 2 9 6 7 7 2 8 7 4 9 5 8 4

4 7 1 2 3 7 5 9 6 5 6 7 7 8 9 9 7 7 9 2 7

Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que dans la population ´etudi´ee, la proportion de ceux qui

sont rest´es au chˆomage moins de 6 mois est inf´erieure `a 50%? Pour quel risque minimum, accepterait-on

cette hypoth`ese?

Exercice 4.5Pour lutter contre la timidit´e, la plupart des th´erapies sont inefficaces. On se demande ce-

pendant si la th´erapie cognitive apporte des r´esultats int´eressants. On teste pour cela des patients de la

mani`ere suivante.

Une premi`ere mesure des effets de la timidit´e (scoreX) est effectu´ee au d´ebut de la th´erapie, et une seconde

(scoreY) est effectu´ee par le mˆeme questionnaire apr`es 6 mois de th´erapie. Un score est d"autant plus grand

que le patient souffre de la timidit´e. On notepla proportion d"am´eliorations que fournit la th´erapie.

Sur un ´echantillon de 30 patients ayant suivi la th´erapie, on observe 21 scores en baisse et 9 en hausse.

Faire un test sur la proportionppour tester l"efficacit´e de la th´erapie.

5 Test du Khi-deux d"ad´equation (ajustement)

Exercice 5.1On cherche `a savoir si l"exposition r´ep´et´ee `a un stimulus modifie l"´evaluation de ce stimulus.

7

Pour cela, on s´electionne trois couleurs not´ees A, B, C. On sait que dans la population g´en´erale, si l"on

demande `a des sujets de choisir leur"couleur pr´ef´er´ee»parmi les trois, la distribution des r´eponses est

uniforme, c"est-`a-dire que 1/3 des personnes choisiront chacune des couleurs.

On expose un ´echantillon de personnes `a la couleur A sans aucune consigne pendant 10 minutes. Cela est

r´ep´et´e 5 fois. On demande ensuite aux sujets de donner la couleur qu"ils pr´ef`erent. On trouve :

couleurA B C effectif46 31 37 Peut-on, au risqueα= 5%, conclure `a un effet de l"exposition r´ep´et´ee?

Exercice 5.2Dans une exp´erience c´el`ebre, G. Mendel a trouv´e qu"un ´echantillon de 556 pois r´esultant du

croisement de pois jaunes et lisses et de pois verts et rid´es pouvait ˆetre class´e de la fa¸con suivante :

poisjaunes et lisses jaunes et rid´es verts et lisses verts et rid´es effectifni315 101 108 32

Selon la th´eorie propos´ee par Mendel, les probabilit´es de ces classes sont respectivement :

916
316
316
116
Est-ce que cette exp´erience confirme cette th´eorie, pour un risqueα= 1%?

Exercice 5.3Donn´ees provenant de l"Inserm (2004). On souhaite ´evaluer l"effet ´eventuel de diff´erentes

psychoth´erapies sur la phobie sociale. On sait que dans une population particuli`ere de patients atteints de

phobie sociale, on a la distribution suivante (les patients sont class´es en trois niveaux de phobie sociale, le

niveau 1 ´etant le plus faible, le niveau 3 le plus marqu´e) : niveau de phobieniveau 1 niveau 2 niveau 3 proportion30% 40% 30%

200 patients tir´es au sort dans cette population ont suivi une th´erapie cognitive-comportementale.

Les r´esultats post-traitement sont les suivants : niveau de phobieniveau 1 niveau 2 niveau 3 effectif120 50 30 Peut on dire que la th´erapie a un effet? On prendra un risqueα= 5%.

Exercice 5.4En 1982, on avait appliqu´e un test de raisonnement aux ´el`eves de 5`eme et on avait obtenu la

r´epartition des notes suivante (en pourcentages) :

En 1987, on applique le test `a 50 ´el`eves de mˆeme niveau et on observe les effectifs suivants :

Peut-on affirmer que la r´epartition des ´el`eves en 1987 est conforme `a la premi`ere? On prendra un risque

α= 5%.

Exercice 5.5Lors d"une ´election municipale o`u quatre candidats s"affrontent, on r´ealise un sondage d"opi-

nion aupr`es de 200 habitants de la ville. Ce sondage fait apparaˆıtre la r´epartition suivante :

8 candidat1 2 3 4 effectif50 75 30 45

1) Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que les quatre candidats n"ont pas la mˆeme cote de

popularit´e dans la ville?

2) Peut-on, au risqueα= 2%, accepter l"hypoth`ese que la proportion d"habitants favorables au candidat n◦

2 est inf´erieure `a 50%?

6 Tests du Khi-deux d"ind´ependance et d"homog´en´eit´e

Exercice 6.1Lors de l"embauche de pilotes, chaque candidat est soumis `a un test psychologique qui le

classe comme introverti ou extraverti, et `a un test d"aptitude au pilotage o`u il peut ˆetre d´eclar´e apte ou

inapte. Sur un ´echantillon de 120 candidats, on a obtenu les r´esultats suivants :introverti extraverti

apte14 34 inapte31 41

Au risqueα= 1%, les r´esultats sugg`erent-ils une association entre aptitude au pilotage et type de person-

nalit´e?

Exercice 6.2Le tableau suivant indique le r´esultat de l"examen de 528 sujets class´es d"apr`es la couleur de

leurs yeux et celle de leurs cheveux :

Cheveux\Yeuxbleus noirs clairs

chatains ou noirs61 127 97 blonds163 42 38 Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese d"une liaison entre les deux variables? Exercice 6.3Dans un ´echantillon de 400 femmes et de 300 hommes, on observe que 25 femmes et 25 hommes d´eveloppent une certaine forme de maladie mentale.

Au risqueα= 1%, ces r´esultats sugg`erent-ils un lien entre le sexe et le fait de d´evelopper la maladie?

Exercice 6.4Dans une ´etude sur la qualit´e de vie et la sant´e alimentaire, on a recens´e les comportements

alimentaires de 500 personnes ainsi que si un cancer leur ´etait survenu ou pas. :Cancer Pas de Cancer

Restauration rapide55 70

V´eg´etarienne5 45

Cuisine traditionnelle65 260

Tester l"hypoth`ese nulle selon laquelle le cancer est une maladie ind´ependante des comportements alimen-

taires. On prendra un risque deα= 1%.

Exercice 6.5Howell et Huessy (1981) ont utilis´e une ´echelle d"´evaluation pour classer un ´echantillon d"en-

fants de deuxi`eme ann´ee en deux cat´egories selon qu"ils manifestent ou non le comportement commun´ement

associ´e au trouble de d´eficit de l"attention. Lorsque les enfants ont atteint la fin de la derni`ere ann´ee, les

chercheurs ont examin´e les bulletins scolaires et ont relev´e quels enfants suivaient des cours de rattrapage

en anglais.

Les donn´ees suivantes rassemblent en un groupe (appel´e D´eficit de l"attention) tous les enfants qui ont ´et´e

class´es, `a un moment ou `a un autre, dans la cat´egorie des sujets manifestant un comportement associ´e au

trouble de d´eficit de l"attention : 9 Cours de rattrapage en Anglais Pas de cours de rattrapage

Normaux22 187

D´eficit de l"attention19 74

Le comportement manifest´e `a l"´ecole primaire influence-t-il la r´epartition en classe `a l"´ecole secondaire? On

prendraα= 5%.

Exercice 6.6Le tableau qui suit (Rosenthal 1990) donne le nombre de crises cardiaques observ´ees chez des

personnes qui ont consomm´e pendant longtemps et quotidiennement soit de l"aspirine, soit un placebo :crise cardiaque pas de crise cardiaque

aspirine104 10933 placebo189 10845 Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese d"une liaison entre les deux variables?

Exercice 6.7On s"int´eresse `a la participation `a un club sportif dans deux coll`eges A et B. On a pr´elev´e

au hasard 50 ´el`eves dans le coll`ege A et 60 dans le coll`ege B. On observe que 12 des 50 ´el`eves du coll`ege A

et 26 des 60 ´el`eves du coll`ege B sont membres d"un club sportif.

Au risqueα= 1%, peut-on dire que les r´esultats sont significativement diff´erents dans les deux coll`eges?

Exercice 6.8Une enquˆete sur les joueurs adeptes du jeu de rˆole en ligne Everquest a ´et´e r´ealis´ee aupr`es

de joueurs de diff´erents pays ayant r´epondu `a un questionnaire. Un ´echantillon de 82 adolescents et un

´echantillon de 436 adultes ont ´et´e constitu´es pour cette ´etude.

Pour chaque joueur on a relev´e la"dur´ee hebdomadaire de jeu», c"est-`a-dire le nombre moyen d"heures

de jeu par semaine, regroup´ee en trois classes :"moins de 15 heures»,"entre 15 et 30 heures»et plus de

"30 heures». Les effectifs observ´es sont donn´es dans le tableau suivant :

Dur´ee\Ageadolescent adulte

"moins de 15 heures»23 119 "entre 15 et 30 heures»38 216 "plus de 30 heures»21 101

Peut-on, au risqueα= 1%, accepter l"hypoth`ese que la dur´ee hebdomadaire de jeu diff`ere selon l"ˆage des

joueurs?

Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que plus de 25 % des adolescents jouent (en moyenne) plus

de 30 heures par semaine? Pour quel risque minimum peut-on accepter cette hypoth`ese?

Exercice 6.9La deuxi`eme ´epreuve du test Droite-Gauche de Piaget a pour but de reconnaˆıtre sur autrui,

plac´e face `a face, la main gauche de la main droite. On veut tester l"hypoth`ese que le taux de r´eussite `a

l"´epreuve n"est pas le mˆeme chez les droitiers et chez les gauchers. Pour cela, on fait passer l"´epreuve `a 50

gauchers et 50 droitiers de 8 ans choisis au hasard.

Parmi les gauchers, 45 enfants ont r´eussi et chez les droitiers, 33 enfants ont r´eussi. Au risqueα= 1%,

peut-on accepter l"hypoth`ese ´emise? 10

7 Exercices de r´evision

Exercice 7.1L"´epreuve des signes arithm´etiques comporte 26 ´egalit´es dans lesquelles manquent les signes

arithm´etiques comme par exemple"6...2 = 8». On applique ce test `a 24 filles de 10 ans. Chacune doit

compl´eter les ´egalit´es et on compte le nombre de bonnes r´eponses. On observe sur cet ´echantillon, un nombre

moyen de bonnes r´eponses ¯x= 10 avec un ´ecart-types?= 2,1.

On suppose que la variable"nombre de bonnes r´eponses»suit une loi normale dans la population des filles

de 10 ans. Peut-on, au risqueα= 5%, accepter l"hypoth`ese que le nombre moyen de bonnes r´eponses est

diff´erent de 11?

Exercice 7.2Une ´epreuve de dext´erit´e manuelle vise `a d´eterminer le degr´e de facilit´e `a manipuler des

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