[PDF] Chapitre 3 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLEMES

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Chapitre 3

FORMULATION

VARIATIONNELLE DES

PROBLEMES ELLIPTIQUES

Exercice 3.1.1Sifest une fonction continue sur[0;1], montrer que l'equation dif- ferentielled2udx

2=fpour0< x <1

u(0) =u(1) = 0:(3.1) admet une solution unique dansC2([0;1])donnee par la formule u(x) =xZ 1 0 f(s)(1s)dsZ x 0 f(s)(xs)dspourx2[0;1]:(3.2) Correction.Soitudeni par (3.2). La continuite de la fonctionfassure la derivabilite de la fonctionu. On a u

0(x) =Z

1 0 f(s)(1s)dsZ x 0 f(s)ds; d'ouu00(x) =f. De plus,uverie les conditions aux limitesu(0) =u(1) = 0. Ainsi, uest bien solution de l'equation dierentielle (3.1). Il reste a etablir l'unicite de la solution de l'equation (3.1). L'equation etant lineaire, il sut de montrer que toute solutionvde l'equation (3.1) avecf= 0 est nulle. La derivee seconde devetant nulle, on en deduit quevest une fonction ane. Enn, les conditions aux limites impliquent la nullite de la fonctionv. Exercice 3.2.1Deduire de la formule de Green (3.5) la formule de Stokes Z div(x)(x)dx=Z (x) r(x)dx+Z (x)n(x)(x)ds; ouest une fonction scalaire deC1( )etune fonction a valeurs vectorielles deC1( a supports bornes dans le ferme 43

44CHAPITRE 3. FORMULATION VARIATIONNELLE

Correction.

Z (r (x)(x) +(x) r(x))dx=nX i=1Z @i@x i(x)(x) +i(x)@@x i(x) dx nX i=1Z i@x i(x)dx=nX i=1Z i(x)(x)ni(x)ds Z (x)n(x)(x)ds: Exercice 3.2.2En dimensionN= 3on denit le rotationnel d'une fonction de dans R

3,= (1;2;3), comme la fonction de

dansR3denie par rot=@3@x 2@2@x

3;@1@x

3@3@x

1;@2@x

1@1@x 2

Pouret , fonctions a valeurs vectorielles deC1(

), a supports bornes dans le ferme , deduire de la formule de Green (3.5) Z rot dxZ rot dx=Z (n) ds:

Correction.

Z (rot rot )dx Z @3@x 2@2@x 3

1+@1@x

3@3@x 1

2+@2@x

1@1@x 2 3 @ 3@x

2@ 2@x

3

1@ 1@x

3@ 3@x

1

2@ 2@x

1@ 1@x

2 3 dx Z @@x

1(2 33 2) +@@x

2(3 11 3) +@@x

3(1 22 1)dx

Z 0

2 3 3 2

3 11 3

1 22 11

A n ds Z ( )n ds: Exercice 3.2.3On considere le Laplacien avec condition aux limites de Neumann. Soit un ouvert borne regulier deRNetuune fonction deC2( ). Montrer queuest une solution du probleme aux limites u=fdans @u@n = 0sur@ :(3.3) si et seulement siuappartient aC1( )et verie l'egalite Z ru(x) rv(x)dx=Z f(x)v(x)dxpour toute fonctionv2C1( ):(3.4) 45
En deduire qu'une condition necessaire d'existence d'une solution dansC2( )de (3.3) est queR f(x)dx= 0. Correction.Supposons queusoit solution du probleme aux limites de Neumann (3.3)u=fdans @u@n = 0 sur@

En multipliant l'equation veriee parupar dans

par une fonction testv2C1( on obtient, suite a une integration par partie que Z ru(x):rv(x)dxZ @u@n (x)v(x)ds=Z f(x)v(x)dx:

Comme@u=@n= 0 sur@

, on en deduit que Z ru(x):rv(x)dx=Z f(x)v(x)dxpour toutv2C1( ):(3.5) Reciproquement, supposons queusoit une fonction reguliere veriant (3.5). Par integration par partie on a Z (u(x)f(x))v(x)dx+Z @u@n (x)v(x)ds= 0 (3.6) pour toutv2C1( ). On procede en deux etapes : Dans un premier temps, on applique la relation (3.6) a des fonctions tests a support compact dans . Cela nous permet de \tester" l'equation veriee parudans et d'etablir l'equation u=fdans . Dans un deuxieme temps, on applique (3.6) a des fonctions tests non nulles sur@ , ce qui nous permet de \tester" l'equation veriee parusur le bord du domaine et d'en deduire que@u=@n= 0 sur@ . Plus precisement, pour toute fonction testva support compact dans Z (u(x)f(x))v(x)dx= 0: On peut conclure a la nullite de ufde deux maniere dierentes. La premiere consiste a appliquer le Lemme3.2.9du cours. Plus simplement, ufest nulle car orthogonale a un sous espace dense deL2( ). L'egalite (3.6) implique alors que @u=@nest elle nulle car orthogonale (pour le produit scalaireL2(@ )) a un sous espace dense deL2(@ ), trace des fonctionsC1( ) sur le bord@ du domaine En choisissant la fonctionv= 1 comme fonction test dans la formulation va- riationnelle, on en deduit que s'il existe une solutionureguliere au probleme aux limites (3.3),Z f(x)dx= 0:

46CHAPITRE 3. FORMULATION VARIATIONNELLE

Exercice 3.2.4Soit

un ouvert borne regulier deRN. On considere l'equation des plaques8< :(u) =fdans u= 0sur@ @u@n = 0sur@ (3.7)

On noteXl'espace des fonctionsvdeC2(

)telles quevet@v@n s'annulent sur@ . Soit uune fonction deC4( ). Montrer queuest une solution du probleme aux limites (3.7) si et seulement siuappartient aXet verie l'egalite Z u(x)v(x)dx=Z f(x)v(x)dxpour toute fonctionv2X:(3.8) Correction.On procede comme pour l'exercice precedent. Soituune solution reguliere de l'equation des plaques (3.7), pour toutv2X, Z (u)(x)v(x)dx=Z f(x)v(x)dx:(3.9)

Par integration par partie,

Z (u)(x)v(x)dx=Z r(u) rv(x)dx+Z @(u)@n (x)v(x)ds:

Commev= 0 sur@

, on en deduit que Z (u)(x)v(x)dx=Z r(u) rv(x)dx puis par une nouvelle integration par partie que Z (u)(x)v(x)dx=Z u(x)v(x)dxZ u(x)@v@n (x)ds: Comme @v@n (x) = 0 sur@ , le dernier terme de cette equation est nulle. Ainsi, on deduit de (3.9) que Z u(x)v(x)dx=Z f(x)v(x)dx: La reciproque s'etablit comme lors de l'exercice precedent. Supposons queusoit une solution du probleme variationnel (3.8), en eectuant deux integrations par partie successives, on obtientZ ((u)f)vdx= 0; pour toutv2X. OrXest un sous espace dense deL2( ), ainsi (u)f= 0. Exercice 3.3.1Le but de cet exercice est de montrer que l'espaceV, deni par

V=v2C1(

); v= 0sur@ ;(3.10) 47
muni du produit scalaire hw;vi=Z rw(x) rv(x)dx;(3.11) n'est pas complet. Soit la boule unite ouverte deRN. SiN= 1, on denit la suite u n(x) =8 :x1si1< x SiN= 2, pour0< <1=2, on denit la suite u n(x) =log jx2 j2+n1 jlog(41+n1)j:

SiN3, pour0< <(N2)=2, on denit la suite

u n(x) =1(jxj2+n1)=21(1 +n1)=2: Montrer que la suiteunest de Cauchy dansVmais qu'elle ne converge pas dansV lorsquentend vers l'inni.

Correction.

D'apres l'inegalite de Poincare, une suiteunde l'espaceVest de Cauchy, si et seulement sirunest une suite de Cauchy dansL2(quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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