[PDF] Théorie de la Modélisation et de la Simulation - Fondements

X ensemble des valeurs d"entrée;

Y ensemble des valeurs de sortie.

Description

système influe sur son environnement;X et Y sont des sous-ensembles quelconques d"entiers, de réels ou

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 1

IOR= ;Y;R> où est l"ensemble des segments d"entrée;R= (!i;i)Description iest une trajectoire d"entrée : variation d"une entrée entretiettj!

ietisont observés sur le même intervalle;spécification ambiguë car pour le même!i, on peut observer deux

trajectoires de sortie différentes. E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation25/112

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation26/112

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 2

Une fonction d"entrée-sortie IOF est une structure :

IOR= ;Y;F> oùFest un ensemble de fonctions d"entrée-sortie.Description chaquefidéfinit un segment de sortie unique pour un segment d"entrée;un état initial est définit. E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation27/112

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation28/112

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 3

Un système dynamique est une structureS=oùQest l"ensemble des états du système;:Q !Qest la fonction de transition globale;:Q!Yest la fonction de sortie.Description la fonction de transition globale du système définit l"état final obtenu après l"application d"un segment d"entrée;pas de définition des états intermédiaires; spécification du comportement à reproduire et non comment le reproduire. E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation29/112

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation30/112

Théorie M&S

DéfinitionsNiveau 4

Un système dynamique est une structure :

CS=

oùCest l"ensemble des modèles composants le modèle global;EICest l"ensemble des couplages entre les entrées du modèle et

entrées des sous-modèles;EOCest l"ensemble des couplages entre les sorties du modèle et

sorties des sous-modèles;ICest l"ensemble des couplages entre les sous-modèles.E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation31/112

Théorie M&S

DéfinitionsHiérarchie de spécification

E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation32/112 Plan

1Modélisation et Simulation

Définitions

Paradigme et simulateur

Classes de modèles

2Formalismes de modélisation

3P-DEVS

4Multi-formalisme et problématique du couplage

Modélisation multiple

Intégration opérationelle

Intégration formelle

E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation33/112

Formalismes de modélisation

IntroductionAvertissement

Le choix d"un formalisme reste un hypothèse forte dans le processus de modélisation. Il est important de tenir compte des propriétés du système dans ce choix!

Déterministe ou stochastique

L"aspect déterministe ou stochastique est aussi à intégrer. E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation34/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinairesClasse

Etat continu, temps continu et pas d"espace

E.D.O d"ordren:F(x;x0;:::;x(n);t) = 0 oùFest une fonction continue.Le pendule simple 1 2 ml2¨mglcos=mglcos0 oùm : la masse g : l"accéleration (9:81ms2)l : longueur (t) : angle du pendule ent

0: angle max ou angle àt= 0

E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation35/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinairesRésolution

Résoudre une E.D.O :

Trouver une fonctionx(t) vérifiantF(x(t);x0(t);:::;x(n)(t);t) = 0 sur le domaine det.E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation36/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinaires d"ordre 1

E.D.O du 1er ordre :F(x;x0;t) = 0Fpeut être vectoriel : systèmes d"équations différentielles couplées

x (n)=f(x;x0;:::;x(n1);t) (1)

équivalent ày0=g(y;t);avecy=2

66666666666664x

x 0 x (n1)3

77777777777775Exemple : le pendule simple

0=! 0=2gl (coscos0)E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation37/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinaires d"ordre 1

Pour une E.D.O du 1er ordre avec conditions initiales x

0=f(x(t);t);x(0) =x0Simulation - Euler

Dév. de Taylor :x(t+h) =x(t) +hx0(t) +h22

x00(t) +h33! x(3)(t) +au premier ordre : méthode d"Euler avec pas fixeh=(tft0)N .Simulation - Runge-kutta Evaluation itérative def() en plusieurs points sur l"intervalle [tn;tn+1]

Exemple : Runge-Kutta ordre 2

x n+1=xn+hn4" f(xn;tn) + 3f x n+23 hnf(xn;tn);tn+23 hn!# E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation38/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles ordinairesAutres méthodes Pas adaptatifs : contrôler la précision dedtpour assurer que l"erreur ne soit pas trop grandeRK4/RK5 adaptatif; méthode de Gear;

Adams-Bashfort-Moulton;

Equations différentielles stochastiques

Mouvement brownien - Équation de Langevin :md~v(t)dt =k~v(t) +~(t) où ~(t) est un terme stochastiqueajout de délais stochastiques : dN(t)dt =rN(t)(11K N(t(t)))E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation39/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles partiellesClasse

Etat continu, temps continu et espace continu

On parle d"EDP dans le cas de fonctions qui dépendent de plusieurs variables, une EDP exprimant un lien entre les dérivées partielles d"une fonction.

F(:::;@i+ju(x;t)@xi@tj;:::) = 0

avec conditions initiales fonctionnellesExemple : l"équation de la chaleur @u(x;t)@t=@2u(x;t)@x2 avec par exempleu(0;t) =u(L;t) = 0E. Ramat (LISIC / ULCO)Modélisation et simulation40/112

Formalismes de modélisation

Equations différentielles partiellesSimulation

on parle plutôt de résolution; différentes méthodes qui passent par la discrétisation enxet entdequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28