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Annee 2020-2021

Equations dierentielles stochastiques :

Resolution numerique et applications

Madalina Deaconu

Table des matieres

Avant propos 3

1 Mouvement brownien 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Generalites sur les processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2 Les processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3 Accroissements independants et stationnaires . . . . .

8

1.3 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2 Quelques proprietes du mouvement brownien . . . . . .

12

1.3.3 Mouvement browniend-dimensionnel standard . . . . .15

1.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1 Discretisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2 Methode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.3 Methode d'Euler aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.4 Methode du pont brownien ou du point median . . . .

20

1.4.5 Methode de Karhunen-Loeve . . . . . . . . . . . . . . .

22
2

Equations dierentielles stochastiques 23

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2 Quelques elements de calcul stochastique . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.2 Solution forte d'une EDS . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3 Schemas d'approximation des EDS dirigees par un mouvement

brownien unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Schema d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.2 Schema de Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4 EDS dirigees par un mouvement browniend-dimensionnel . . .34

1

3 Liens entre EDS et EDP 36

3.1 Quelques complements et rappels . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.1 EDS multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2 Probleme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3 Probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4 Applications au pricing d'options 49

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2.1 Les options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2.2 Option d'achat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.2.3 Option de vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2.4 Formule de parite call - put . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2.5 Formule de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.3 Options sur maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.3.1 Maximum d'un mouvement brownien . . . . . . . . . .

53

4.4 EDS et options sur maximum - options lookback . . . . . . . .

54

4.4.1 Approche nave du prix . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.4.2 Schema d'Euler continu et technique de ponts browniens

55

Bibliographie 58

2

Avant propos

Ce document est en cours d'ecriture et donc ameliorable. Vous trouverez d'autres informations (sujets de TD, version pdf du polycopie, etc.) sur la page Arche du cours. Ces notes de cours sont basees, en partie, sur un polycopie de Celine Lacaux. 3

Chapitre 1

Mouvement brownien

1.1 Introduction

Le mouvement brownien est un processus stochastique (fonction aleatoire du temps). Initialement introduit par le botaniste R. Brown au XIXeme siecle pour modeliser les mouvements de grains de pollen en suspension, il represente de nos jours un processus gaussien incontournable notamment en calcul stochastique.

1.1.1 Historique

L'histoire du mouvement brownien commence en 1828 avec les observations du naturaliste botanique Robert Brown. Brown decrit le mouvement tres desordonne, caracterise par d'incessants changements de directions, de nes particules de pollen en suspension dans l'eau. Pendant le XIXeme siecle les physiciens ont cherche a comprendre la nature de ce qu'on appelait deja le mouvement brownien. C'est en 1905 qu'Albert Einstein franchit uneetape importante. Einstein determine de maniere rigoureuse, sous des hypotheses mathematiques precises, la densite de la loi de la position a un instant donne d'une particule se deplacant selon un mouve- ment brownien. Sa methode repose sur des considerations de mecanique statistique qui le conduisent a l'equation de la chaleur puis a la densite gaussienne, solution de cette equation. Un peu avant Einstein, Louis Bachelier, dans sa these "La theorie de la speculation" soutenue en 1900, obtient deja la loi du mouvement brownien (en dimension un) a un instant donne. Bachelier met surtout en evidence le caractere markovien du mouvement brownien : pour predire le deplacement apres l'instanttd'une particule brownienne, la connaissance de la trajectoire avant l'instanttn'apporte aucune information de plus que celle que donne la position au tempst. Le mouvement brownien qui fera l'objet de ce cours, a ete introduit par Wiener en 1923. 4 Le mouvement brownien est tout d'abord un processus aleatoire continu, c'est- a-dire une famille (Bt;t0) de variables aleatoires sur un espace de probabilite ;F;P) telles que l'applicationt7!Bt(!) soit continue pour presque tout!2 Dans ce formalisme,Btrepresente la position (aleatoire) de la particule brownienne a l'instantt0. Les observations physiques et les travaux anterieurs imposaient un certains nombres de proprietes que devait satisfaire la famille (Bt;t0); et il n'etait pas

du tout evident qu'il existe un processus continu ayant ces proprietes.A l'aide de la theorie de la mesure moderne, Wiener est le premier a construire

un tel processus, pour cette raison on appelle parfois le mouvement brownien, processus de Wiener. Une idee importante, deja presente dans les travaux de Wiener, est que le mouvement brownien peut ^etre approche par des processus aleatoires discrets, dont les trajectoires sont par exemples anes par morceaux, avec un nombre ni (mais d'autant plus grand que l'approximation est precise) de changements de direction dans un intervalle bornee. En collaboration avec Paley et Zigmund, Wiener met aussi en evidence le caractere non-derivable de la courbe brownienne. Paul Levy, entre 1930 et 1960, consacre de nombreux travaux a l'etude du mouvement brownien. Levy decouvre un grand nombre de proprietes remarquables du mouvement brownien. Apres Wiener, Levy est l'un des premiers a etudier la courbe brownienne et a deduire des proprietes de cette courbe telle que le module de continuite, la structure de l'ensemble des temps ou le processus passe par un point donne, etc. Une autre etape importante pour l'etude du mouvement brownien a ete fran- chie par It^o qui, entre 1940 et 1950, met les bases du calcul stochastique. Ceci permet d'introduire la notion d'integrale stochastique par rapport aux trajectoires du mouvement brownien; bien que celles ci ne soient pas a variation bornee. La celebre formule d'It^o est la version stochastique de la formule des accroissements nis (d'integration par parties). Apres ce bref historique sur l'evolution du mouvement brownien nous allons d'abord introduire la notion de processus stochastique, ensuite rappeler les pro- cessus gaussiens et presenter le mouvement brownien. 5

Dans toute la suite nous noterons :

;F;P) est un espace de probabilite complet, i.e.Fcontient tous les en- sembles negligeables pourP, Edesigne un sous-ensemble deRd,CdouRque l'on munit de sa tribu borelienne,

Iest soitR+soit un intervalle deR+.

1.2 Generalites sur les processus

Un processus stochastique est un modele mathematique qui permet de decrire le comportement, a tout moment apres l'instant initial (par exemplet0= 0), d'un phenomene aleatoire. Nous precisons cette notion dans la denition suivante.

1.2.1 Denitions

Denition 1.Unprocessus stochastiqueX= (Xt)t2Iest une famille de va- riables aleatoires, indexee parIet denie sur l'espace de probabilite ( ;F;P) a valeurs dans un espace mesurable (S;S), qu'on appelle espace d'etats. Nous travaillerons dans la suite avec des variables aleatoires reelles et dans notre casS=E. Le parametretsera interprete comme etant le temps.

Notons que :

1. P ourc haquet2Ixe, l'application!7!Xt(!);pour tout!2 , est une variable aleatoire a valeurs dansE. 2.

P ourc haque!2

xe, l'applicationt7!Xt(!), pour toutt2Iest appeleetrajectoiredu processusX. C'est l'illustration d'une realisation d'un experiment aleatoire qu'on peut observer contin^ument en temps. 3. Un pro cessusX= (Xt)t2Iestcentresi pour toutt2Ila variable aleatoire X test integrable etE(Xt) = 0.

Remarque 1.Considerons un processusX= (Xt)t2I.

Par denition, ce processus s'identie a la fonction

X:I! L0(

;F;P) t7!Xt denie surIa valeurs dansL0( ;F;P), l'ensemble des variables aleatoires denies sur ( ;F;P). 6

Ce processus s'identie aussi a la fonction

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