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La Méthode des Éléments Finis

Vulgarisation des aspects mathématiques

Illustration des capacités de la méthodeVincentManet manet.vim2@laposte.net version du 11 décembre 2012

PLN éd. 2

piM 2 piM 2

Introduction

version du 11 décembre 2012Dans ce (de moins en moins court) document, plutôt à destination d"ingénieurs mécaniciens connais-

sant déjà la méthode des éléments finis, nous allons essayer de faire une présentation un peu plus théo-

rique que ce qui leur est généralement proposé (et qui est quand même souvent de type "preuve par les

mains», ce qui est insupportable et occulte trop de points).

Nous ne ferons appel qu"à des notions mathématiques de bases généralement déjà vues pour la

plupart en taupe (ou en tout début de cycle d"ingé)... bien que des compléments que l"on peut qualifier

d"élémentaires nous aient été demandés et aient été inclus.

Nous espérons, grâce à cette présentation théorique montrer toute la souplesse et la puissance de la

méthode, afin de permettre au lecteur d"envisager d"autres simulations que celles qu"il a pu déjà réaliser

par le passé.

1 But du document

Le but initial était deprésenter brièvement la théorie mathématiquederrière les éléments finis afin

que les ingénieurs utilisant cette méthode puisse en envisager toutes les applications, ainsi que decouvrir

les aspects qui, selon nous,devraient être connus de tout ingénieur mécanicien impliqué ou intéressé par

le calcul numérique.

Toutefois, il s"envisage comme

supp ortd eré férenceà plusieurs cours , cours qui ne portent pas sur

tous les aspects traités dans ce document, et au cours desquels les aspects pratiques sont plus développés

(avec mise en situation sur machine). Même si nous avons voulu rester le plus succinct possible, l"introduction de notions de proche en

proche à fait que le document fait aujourd"hui une certaine taille (par exemple, nous avons besoins des

espaces de Sobolev, mais comment les introduire sans parler des espaces de Lebesgue, mais comment les introduire sans parler...).

Aussi le document a-t-il finalement été découpé en plusieurs parties : un survol des notions mathé-

matiques, puis le traitement du problème continu constituent l"ossature théorique nécessaire à assoir la

MEF sur un socle solide. La discrétisation par éléments finis à proprement parler n"est aborder qu"en-

suite, et d"ailleurs un seul chapitre suffirait à en faire le tour... sauf à entrer plus dans le détail concernant

"ce qui fâche» : homogénéisation, non linéarité, dynamique, ce qui est fait dans des chapitres séparés.

Enfin, d"autres méthodes sont abordées car également très employées aujourd"hui. Aussi est-il in-

dispensable selon nous d"en avoir entendu parlé et d"en connaître les principales notions (volumes finis,

BEM, FEEC).

En annexes, se trouve un petit fourre-tout comprenant des choses censées être maîtrisées depuis la

taupe (mais qui parfois nous sont demandées) et les compléments qui alourdiraient encore les propos

précédents.

Certaines notions (essentiellement de topologie) ne sont pas présentées dans ce document. Il nous

a semblé que le lecteur devait avoir quelques souvenirs de ce qu"est un ouvert, un fermé, l"adhérence,

la densité... Par ailleurs, leur nom peut être suffisamment évocateur pour se passer d"une définition

formelle dans le contexte de ce document. piM

23 PLN éd.

Introduction

Attention,

ce d ocumentn"est pas un do cumentde mathémati ques , il ne contient d"ailleurs aucune preuve. C"est, dans ces deux premières parties, un do cumentde vul garisation de notions mathématiques nécessaires à une bonne compréhension de la méthode des éléments finis.

Nous avons voulu réaliser un survol des notions importantes, mais malgré tout, afin de ne pas être

parfois trop laconique, nous avons un peu débordé. Dans ce cas, le spassages considé réscomme moins importants ont été mis en gris. D"ailleurs un certain "code couleur» sera plus ou moins respecté dans ce document. En bleu, les définitions , en rouge, les p ointsimp ortants , en gris, les c hosesmoin simp ortantes don tla lecture p eut

être oubliée, en

magen ta,des n oteshistoriques et enfin en v ert,des remarques "de b onsens» sur ce qui est exposé. En fin de document, un petit index des noms propres permettra au lecteur de replacer les divers

développements mentionnés dans l"histoire... Il se peut qu"il subsistent quelques erreurs, notamment

au niveau des nationalités mentionnées, car il n"est pas toujours aisé de déterminer rapidement cette

information (et nous ne connaissons pas toutes les biographies des personnes citées).

Ce document a été réalisé très rapidement, et de manière extrêmement hachée. Il comporte forcément

encore beaucoup de fautes : merci de m"en faire part.

2 Démarche de l"ingénieur numéricien

En préambule à ce document, nous tenions à synthétiser la démarc hecomplète de l"ingénieur n umé- ricien Mo délisation/ mise en équations - Construction du pr oblèmecon tinu(système d"EDP).

Analyse mathématique du problème p osé- Existence, unicité, propriétés des solutions.

Conception d"une mét hoden umérique- Const ructiond"un problème discrétisé. Analyse n umérique- Q uestionsde stabilité, con vergence,précision. Algorithmique - Choi xde métho desde résolution en di mensionfinie.

Mise en oeuvre sur ordinate ur- P rogrammation.

Pre et P ostT raitement(maillages / visualisation) - In terpolation,extrap olation,outil sde la CA O.

Tous ces points ne seront évidemment pas abordés dans ce document!

Dans la même collection

Sont (ou seront) également disponibles les cours suivants : calcul en fatigue des ma tériauxcomp osites; comp osites: lois de comp ortements,rupture, ess ais(et dynamique) les structures algéb riques; l"acoustique n umérique; la mécanique sto chastique; le traitemen tdu si gnal;

PLN éd. 4

piM 2 piM 2

Table des matières

version du 11 décembre 2012Introduction3

1 But du document

3

2 Démarche de l"ingénieur numéricien

4

Table des matières5

I Survol mathématique

13

1 Les espaces de base

15

1.1 Panaroma (non exhaustif) des espaces

15

1.1.1 d"un point de vue topologique

16

1.1.2 d"un point de vue métrique

17

1.1.3 d"un point de vue algébrique

18

1.2 Tribu, mesure, espaces mesurable et mesuré

20

1.3 Tribu borélienne, mesures de Dirac et Lebesgue

21

1.4 Propriétés de la mesure de Lebesgue

22

1.5 Un petit exemple amusant d"injection dans un Hilbert

23

2 Applications et morphismes

25

2.1 Fonction, application, injection, surjection, bijection

26

2.2 Morphismes

27

2.2.1 Présentation

27

2.2.2 Cas des espaces vectoriels : application et forme linéaires

28

2.2.3 Endo, iso, auto -morphismes

28

2.2.4 Espace dual d"un espace vectoriel

28

2.2.5 Noyau et image

29

2.3 Opérateur

29

3 Continuité et dérivabilité

31

3.1 Continuité - ClasseC0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

33

3.3 Dérivée

34

3.4 Fonctions de classeCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

3.5 Dérivées partielles

35

3.6 Retour sur les classesCkpour une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . 36

3.7 Nabla et compagnie

37

3.7.1 Champs de vecteurs et de scalaires,r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3.7.2 gradient, divergence, rotationnel, Laplacien, D"Alembertien

38

3.7.3 Normale, dérivée normale

39

3.7.4 Potentiel d"un champ vectoriel

39

3.7.5 Signification "physique»

40
piM

25 PLN éd.

Table des matières

3.8 Quelques théorèmes sur les intégrales

41

4 Les espacesLp43

4.1 Présentation des espaces de LebesgueLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

4.2 Construction deLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

4.3 CasL0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

4.4 CasL1, dualité avecL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

4.5 CasL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

4.6 Complément (inclusion) et exemples

46

4.7 Mais où se situent nos fonctionsCk?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Les espaces de Sobolev

47

5.1 Distributions

4 7

5.2 Dérivées au sens des distributions

48

5.3 EspacesWm;p(

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

5.4 EspacesHm(

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

5.5 EspacesHm0(

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

5.6 EspacesHm(

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

5.7 Trace

51

5.8 Espace trace

51

5.8.1 Casp= 2, et

=Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

5.8.2 Casp= 2et

Rnquelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.8.3 Casp6= 2et

=]0;1[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

5.8.4 Cas général des espacesHs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

5.8.5 Cas général des espacesWs;p(i.e.p6= 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

5.9H1(

),H10( ),H1( ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

5.10 EspacesH(div)etH(rot). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

5.11 Inégalités utiles

55

Résumé des outils d"analyse fonctionnelle

57

II Problème continu

61

6 Problèmes physiques : ED et EDP

63

6.1 Introduction

63

6.2 Conditions aux limites

65

6.2.1 Dirichlet - valeurs aux bords

65

6.2.2 Neumann - gradients aux bords

66

6.2.3 Robin - relation gradient/valeurs sur le bord

66

6.2.4 Condition aux limites dynamique

66

6.2.5 Condition aux limites mêlée

6 6

6.3 Les types d"EDP

6 6

6.4 Phénomènes de propagation et de diffusion

66

6.4.1 Équations de Laplace et Poisson

67

6.4.2 Équation d"onde, phénomènes vibratoires

68

6.4.3 Équation de la chaleur

69

6.5 Mécanique des fluides

70

6.5.1 Équation de Navier-Stokes

70

6.5.2 Équation de Stokes

72

6.5.3 Équation d"Euler

72

PLN éd. 6

piM 2

Table des matières

6.6 Équations de la mécanique des milieux continus des solides

73

6.6.1 Notions générales conduisant, entre autre, aux équation de la mécanique

73

6.6.2 Formulation générale

76

6.6.3 Dynamique / statique

76

6.6.4 Grands / petits déplacements

76

6.6.5 Loi de comportement

77

6.7 Équations de l"acoustique

7 8

6.8 Multiplicateurs de Lagrange

79

7 Formulations faible et variationnelle

81

7.1 Principe des formulations faible et variationnelle

81

7.2 Théorème de représentation de Riesz (-Fréchet)

8 4

7.2.1 Cas des formes linéaires

84

7.2.2 Extension aux formes bilinéaires

84

7.3 Théorème de Lax-Milgram

84

7.4 Théorème de Babuska, condition inf-sup

8 5

7.5 Théorèmes de Brezzi, condition BBL

86

7.6 Multiplicateurs de Lagrange

88

8 Problèmes physiques : formulations faibles et variationnelles

91

8.1 Phénomènes de propagation et de diffusion

91

8.1.1 Équations de Laplace et Poisson

91

8.1.2 Équation d"onde

94

8.1.3 Équation de la chaleur

94

8.2 Mécanique des fluides

94

8.2.1 Équation de Stokes

95

8.2.2 Équation de Navier-Stokes

95

8.2.3 Équation d"Euler

97

8.3 Équations de la mécanique des milieux continus des solides

97

8.3.1 Formulation générale

97

8.3.2 Choix des variables

97

8.4 Équations de l"acoustique

100

8.4.1 Équation de Helmholtz

100

8.4.2 CL en acoustique

101

8.4.3 Formulation faible

101

III Éléments finis

103

Introduction105

9 La méthode des éléments finis

107

9.1 Introduction

107

9.2 Les problèmes de la modélisation "réelle»

109

9.2.1 Problèmes géométriques

109

9.2.2 Problèmes d"échelle

10 9

9.2.3 Couplage géométrique

110

9.2.4 Couplage intrinsèque

110
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