Anneaux et corps PDF Exercice 19. Soit n ? Z.

algebre4 exercicescorriges

Exercices Corrigés. Azzouz Cherrabi. ElMostafa Jabbouri. Année 2007-2008. Page 2. ii ANNEAUX ET CORPS. 2) a) On vérifie facilement que A = ∅ I2 ∈ A

Le cours de lAPM I : Groupes anneaux corps

groupes (corrigé exercice 19) que l'unique table de groupe à trois élé n1ents ne saurait être une table de groupe additif d'anneau de Boole car les

Exercices sur les anneaux

1 Anneaux et corps. 1.1 Généralités. Exercice 1. 1. Soit D = {f ∈ R[X] : f (0) = 0}. Montrer que D n'est pas un idéal de l'anneau R[X].

Exercices sur les anneaux et corps

Soit A un anneau commutatif. On appelle élément idempotent tout élément x ∈ A vérifiant x2 = x. a. Si A est le produit de deux anneaux B et C

Groupes Anneaux

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~joel.merker/Enseignement/Groupes-anneaux-corps/groupes-anneaux-corps-pdflatex.pdf

Exercices AVEC SOLUTIONS - Structures algébriques(partie2)

Groupe anneau corps. Page 2. Prof/ATMANI NAJIB. 2. Solution :a)soient ( );x y Exercice 16: soit (K +

Anneaux Feuille TD 2 – Correction

Montrer que tout anneau intègre fini est un corps. Solution. Soit A un est donné en exercice dans le Perrin (corrigé dans Exercices de mathématiques pour.

Anneaux et idéaux

Exercice 5. Démontrer que tout anneau intègre fini est un corps. Indication ▽. Correction ▽. [002253]. Exercice 6. Lesquels de ces sous-ensembles donnés de C

Exercices sur les anneaux 1 La structure danneau.

7) Soit k un corps et P ∈ k[X]. Déterminer les diviseurs de 0 dans k[X]/(P). Exercice 3 Éléments inversibles. Soit A un anneau.

Exercices sur les anneaux

1 Anneaux et corps. 1.1 Généralités. Exercice 1. 1. Soit D = {f ? R[X] : f (0) = 0}. Montrer que D n'est pas un idéal de l'anneau R[X].

Exercices sur les anneaux 1 La structure danneau.

7) Soit k un corps et P ? k[X]. Déterminer les diviseurs de 0 dans k[X]/(P). Exercice 3 Éléments inversibles. Soit A un anneau.

Le cours de lAPM I : Groupes anneaux corps

Groupes anneaux

Anneaux et idéaux

Exercice 5. Démontrer que tout anneau intègre fini est un corps. Indication ?. Correction ?. [002253]. Exercice 6. Lesquels de ces sous-

algebre4 exercicescorriges

Exercices Corrigés. Azzouz Cherrabi 3 Anneaux et corps ... Exercice 3.8 Déterminer le corps des fractions de l'anneau Z[?5] = {a + b. ?5/a b.

Groupes - anneaux - corps - algèbres 2019-2020 Exercices d

Feuille d'exercices – Groupes - anneaux - corps - algèbres. 2019-2020. Exercices d'application : 1. Soit G un groupe. On appelle centre de G l'ensemble Z(G)

CTU Master Unité dEnseignement (( MODULES SUR LES

un morphisme d'anneau A ?? EndZ(A) : voir exercice 13. 3. Soit K un corps (commutatif) V un K-espace vectoriel. Se donner une structure de.

anneaux.pdf

Corps. Exercice 14 [ 02245 ] [Correction]. Soit A un anneau commutatif fini non nul. Soient K L deux corps et f un morphisme d'anneaux entre K et L.

Anneaux et corps

Exercice 19. Soit n ? Z. Trouver l'anneau quotient Z/(n). Exercice 20. Vrai ou faux? Clarifier votre réponse.

Algèbre et arithmétique Université de Nice

2017-2018

Anneaux et corps

Exercice 1.Est-ce que les ensembles munis d"opérations suivants sont des an- neaux, des corps?

1.Z;+;

2.R[x];+;

3.Z=nZ;+;

Exercice 2.

1. SoientXun ensemble etGun groupe. Montrer que l"on peut munir l"en-

sembleF(X;G)des applications deXdansGd"une structure de groupe.

2. SoientXun ensemble etAun anneau. Montrer que l"on peut munir l"en-

sembleF(X;A)des applications deXdansAd"une structure d"anneau.

3. SoientXun ensemble etKun anneau. L"anneauF(X;K)est-il un corps?

Exercice 3.Montrer que l"ensemble des éléments inversibles d"un anneau peut

être muni d"une structure de groupe.

Exercice 4.Avec quel groupe d"ordre4les groupes suivants sont-ils isomorphes?

1.(Z=5Z);

2.(Z=8Z);

3.(Z=12Z);

Exercice 5.SoitZ[i] =fa+bija2Z;b2Zg. Cet ensemble est appelé l"anneau des entiers de Gauss. Montrer queZ[i]est un sous-anneau deC.

Exercice 6.

1. SoitFnle n-ième nombre de Fermat,Fn= 22n+1;n2N. Soitpun diviseur

premier deFn. Déterminer l"ordre de2dansFp.

2. Montrer quepest de la forme1 +k2n+1aveck2N.

3. Montrer queF5n"est pas premier.

Exercice 7.Déterminer l"inverse de526dansZ=561Z. Exercice 8.Montrer qu"il y a un isomorphisme d"anneaux

Z=72ZZ=84Z=Z=36ZZ=168Z:

1/4

Exercice 9.

1. SoientGetHdes anneaux. Montrer que(GH)=GH:

2. Soientx2Gety2Hd"ordre fini. Montrer que l"ordre de(x;y)2GH

est égal auppcm(o(x);o(y)).

3. Calculer l"ordre de526dans(Z=561Z).

Exercice 10.

1. Montrer qu"un corps (commutatif) est un anneau intègre (siab= 0alors

a= 0oub= 0).

2. Est-ce que la réciproque est vraie?

Exercice 11.(Théorème de Wilson)

1. Supposons quenest premier. Résoudre l"équationx2= 1dansZ=nZ.

2. Sinest premier, montrer que(n1)! 1modn.

3. Montrer que réciproquement si(n1)! 1modn, alorsnest premier.

Exercice 12.(Division Euclidienne)

1. SoitAun anneau intègre etP12A[x]un polynôme dont le coefficient

dominant est inversible dansA. Montrer que pour tout polynômeP22A[x], il existe un unique couple(Q;R)2A[x]A[x]tel que P

2=P1Q+R;avecR= 0oudeg(R)< deg(P1):

2. Montrer que la condition sur le polynômeP1est nécessaire.

Exercice 13.Soientmetndeux entiers positifs tels quemdivisen. Montrer quexm1divisexn1. Exercice 14.SoientAun anneau commutatif eta;bdeux éléments deA. Mon- trer que l"idéal(a;b)est l"ensemble des éléments fax+byjx;y2Ag:

Exercice 15.

1. Montrer que tout idéal deZest de la formeaZ;oùa2Z:

2. Trouver tous les idéaux d"un corpsK.

3.J=f(;) :2Zgest-il un idéal de l"anneauZ2?

Exercice 16.SoitIun idéal d"un anneauA. Montrer que :

1.I=Asi et seulement siIcontient une unité (i.e. un élément inversible);

2.(a) =Assiaest inversible;

2/4 Exercice 17.SoitAun anneau commutatif unitaire, soitIun idéal dansA. Montrer que le quotientA=Iest un anneau commutatif. Exercice 18.SoitAun anneau. Trouver les anneaux quotients

1.A[x]=(x),

2.A[x;y]=(x),

3.A[x;y]=(x;y),

où(x);(x;y)sont les idéaux engendrés réspectivement parx,xety. Exercice 19.Soitn2Z. Trouver l"anneau quotientZ=(n). Exercice 20.Vrai ou faux? Clarifier votre réponse.

1. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiTest un sous-anneau deR,

alorsf(T)est un sous-anneau deS.

2. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiTest un sous-anneau deS,

alorsf1(T)est un sous-anneau deR.

3. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiIest un idéal deR, alors

f(I)est un idéal deS.

4. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiIest un idéal deS, alors

1(I)est un idéal deR.

Exercice 21.Soitf:A!Bun morphisme d"anneaux.

1. Montrer que Ker(f)est un idéal deA.

2. Montrer que Im(f)est un sous-anneau deB.

3. Est-ce que Im(f)est un idéal deB?

Exercice 22.Déterminer les morphismes d"anneaux deQvers soi-même. Exercice 23.(Cryptographie à clef secret : exemple) On code un message en identifiant la lettreAau chiffre1, la lettreBau2etc. On travaille dansZ=26Zet on choisit une clef secrètes2Z=26Z. Dans cet exemple de chiffrement, on effectue un décalage constant des lettres du message. Coder consiste à ajoutersà chacune des lettres du message alors que soustrairesà chaque lettre du message codé est l"opération de décodage. Quels inconvénients de ce cryptosystème est-ce que vous voyez? Exercice 24.(Cryptographie : le système RSA, Rivest-Shamir-Adelman 1978). [Gourdon p.34] Soientpetqdeux nombres premiers distincts; on posen=pq. Soientcetddeux entiers tels quecd1mod'(n).

1. Soitt2Z. Montrer quetcdtmodn.

3/4

2. Supposons quenetcsoient connus (clef publique). Tout le monde peut

coder un messaget2Zvia l"applicationg:Z=nZ!Z=nZ:t7!t c. La fonctiongs"appelle une fonction de chiffrement. Quelle est la fonction de déchiffrement?

3. Expliquer en quoi ce système de cryptage est particulièrement difficile à

attaquer. 4/4quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] Anneaux et corps Exercice 19. Soit n ? Z.

2017-2018

Anneaux et corps

1.Z;+;

2.R[x];+;

3.Z=nZ;+;

Exercice 2.

1. SoientXun ensemble etGun groupe. Montrer que l"on peut munir l"en-

2. SoientXun ensemble etAun anneau. Montrer que l"on peut munir l"en-

3. SoientXun ensemble etKun anneau. L"anneauF(X;K)est-il un corps?

être muni d"une structure de groupe.

1.(Z=5Z);

2.(Z=8Z);

3.(Z=12Z);

Exercice 6.

1. SoitFnle n-ième nombre de Fermat,Fn= 22n+1;n2N. Soitpun diviseur

2. Montrer quepest de la forme1 +k2n+1aveck2N.

3. Montrer queF5n"est pas premier.

Z=72ZZ=84Z=Z=36ZZ=168Z:

Exercice 9.

1. SoientGetHdes anneaux. Montrer que(GH)=GH:

2. Soientx2Gety2Hd"ordre fini. Montrer que l"ordre de(x;y)2GH

3. Calculer l"ordre de526dans(Z=561Z).

Exercice 10.

1. Montrer qu"un corps (commutatif) est un anneau intègre (siab= 0alors

2. Est-ce que la réciproque est vraie?

Exercice 11.(Théorème de Wilson)

1. Supposons quenest premier. Résoudre l"équationx2= 1dansZ=nZ.

2. Sinest premier, montrer que(n1)! 1modn.

3. Montrer que réciproquement si(n1)! 1modn, alorsnest premier.

Exercice 12.(Division Euclidienne)

1. SoitAun anneau intègre etP12A[x]un polynôme dont le coefficient

2=P1Q+R;avecR= 0oudeg(R)< deg(P1):

2. Montrer que la condition sur le polynômeP1est nécessaire.

Exercice 15.

1. Montrer que tout idéal deZest de la formeaZ;oùa2Z:

2. Trouver tous les idéaux d"un corpsK.

3.J=f(;) :2Zgest-il un idéal de l"anneauZ2?

1.I=Asi et seulement siIcontient une unité (i.e. un élément inversible);

2.(a) =Assiaest inversible;

1.A[x]=(x),

2.A[x;y]=(x),

3.A[x;y]=(x;y),

1. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiTest un sous-anneau deR,

2. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiTest un sous-anneau deS,

3. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiIest un idéal deR, alors

4. Soitf:R!Sun morphisme d"anneaux. SiIest un idéal deS, alors

1(I)est un idéal deR.

Exercice 21.Soitf:A!Bun morphisme d"anneaux.

1. Montrer que Ker(f)est un idéal deA.

2. Montrer que Im(f)est un sous-anneau deB.

3. Est-ce que Im(f)est un idéal deB?

1. Soitt2Z. Montrer quetcdtmodn.

2. Supposons quenetcsoient connus (clef publique). Tout le monde peut

3. Expliquer en quoi ce système de cryptage est particulièrement difficile à