[PDF] Cours_Electromagnetisme et Antennes 12-02-2014

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Eléments d'Electromagnétisme

et Antennes

Thierry Ditchi

Eléments d"électromagnétisme et Antennes Table des matières Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell

Table des matières

I. Equations de Maxwell ________________________________________________________ 1

1. Equations de Maxwell et signification physique ______________________________________ 1

2. Equations constitutives __________________________________________________________ 1

3. Dissipation d"énergie dans les milieux ______________________________________________ 2

4. Relations de continuité___________________________________________________________ 4

5. Potentiels vecteurs et scalaires ____________________________________________________ 4

A. Potentiel vecteur _________________________________________________________________________ 4 B. Potentiel scalaire _________________________________________________________________________ 5 C. Jauges__________________________________________________________________________________ 5

D. Equations de propagation des potentiels - Potentiels retardés _______________________________________ 5

II. Ondes électromagnétiques ___________________________________________________ 7

1. Equation de propagation_________________________________________________________ 7

2. Solutions générales - Cas de l"onde plane et de l"onde sphérique ________________________ 7

A. Solutions générales _______________________________________________________________________ 7

B. Ondes planes ____________________________________________________________________________ 7 C. Ondes sphériques _________________________________________________________________________ 8 III. Ondes TEM - Ondes Planes__________________________________________________ 9

1. Propriétés des ondes TEM _______________________________________________________ 9

2. Régime alternatif ______________________________________________________________ 10

3. Ondes planes monochromatiques_________________________________________________ 11

A. Définition______________________________________________________________________________ 11 B. Notation complexe_______________________________________________________________________ 11

4. Polarisation d"une onde électromagnétique_________________________________________ 11

A. Polarisation rectiligne ____________________________________________________________________ 11

B. Polarisation circulaire et elliptique___________________________________________________________ 11

C. Exemples d"ondes polarisées _______________________________________________________________ 11

5. Réflexion d"une onde sur un métal________________________________________________ 11

A. Position du problème _____________________________________________________________________ 11

B. Calcul de l"onde réfléchie__________________________________________________________________ 11

IV. Energie électromagnétique__________________________________________________ 13

1. Théorème de Poynting__________________________________________________________ 13

Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell A. Dans un milieu quelconque ________________________________________________________________ 13 B. Dans un milieu LHI ______________________________________________________________________ 13

2. Bilan énergétique dans un milieu LHI_____________________________________________ 13

3. Energie électromagnétique dans le vide____________________________________________ 15

A. Le vecteur de Poynting en tant que vecteur surfacique de puissance elm _____________________________15

B. Ondes TEM ____________________________________________________________________________ 15

4. Vecteur de Poynting complexe ___________________________________________________ 16

V. Caractéristiques d"une antenne ______________________________________________ 17

1. Rappel sur les coordonnées sphériques et les puissances par unité d"angles solides ________ 17

A. Coordonnées sphériques __________________________________________________________________ 17

B. Angles solides et puissances par unité d"angle solide_____________________________________________ 17

2. Quelques exemples d"antenne____________________________________________________ 18

3. Caractéristiques des antennes____________________________________________________ 18

A. Polarisation de l"onde émise________________________________________________________________ 18

B. Diagramme de rayonnement _______________________________________________________________ 19 C. Directivité _____________________________________________________________________________ 21 D. Gain __________________________________________________________________________________ 21 E. PIRE__________________________________________________________________________________ 22

F. Surface effective ou surface de captation______________________________________________________ 23

G. Impédance équivalente et Résistance de rayonnement ___________________________________________ 23

VI. Applications______________________________________________________________ 25

1. Calcul de la tension en réception (exercice)_________________________________________ 25

2. Bilan de liaison - Formule de Friis________________________________________________ 26

3. Calcul de la portée d"une liaison (exercice) _________________________________________ 27

4. Dipôle de Hertz (exercice) _______________________________________________________ 27

VII. Réseaux d"antennes______________________________________________________ 29

1. Alignement de 2 antennes _______________________________________________________ 29

2. Alignement de N antennes identiques _____________________________________________ 30

A. Facteur de réseau (sources isotropes)_________________________________________________________ 30

B. Principe du balayage électronique ___________________________________________________________ 32

C. Principe de multiplication des diagrammes ____________________________________________________ 33 VIII. Techniques de mesure ____________________________________________________ 35 Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell IX. Bibliographie_____________________________________________________________ 37 Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell 1

I. Equations de Maxwell

1. Equations de Maxwell et signification physique

()div Dr=

Maxwell Gauss

()0div B=

Maxwell Thomson

( )Brot Et

Maxwell Faraday

( )HDrot Jt

Maxwell Ampère

int.Surf ferméeQDdS=∫∫ Théorème de Gauss . 0Surf ferméeB dS=∫∫ Flux conservatif dedt

F= - Induction électromagnétique

int.

CH dl I=∫

Théorème d"Ampère en régime continu D est le champ vectoriel "déplacement électrique", E est le champ vectoriel "champ électrique", B est le champ vectoriel "induction magnétique" ou "champ magnétique", H est le champ vectoriel est "excitation magnétique", r est la densité volumique de charge électrique, j est la densité de courant électrique, intQest la charge totale contenue dans la surface fermée, F est le flux du champ magnétique à travers la surface fermée, intIest le courant total traversant une surface quelconque de contour C.

2. Equations constitutives

Dans le vide les champs précédent sont reliés par les relations suivantes :

0D Ee=

et 0B Em=

où 0eest la permittivité diélectrique du vide et 0m est la perméabilité magnétique

du vide. On a :

091/36 10F mep= et 7

04 10 /H mm p-=

Dans un milieu quelconque :

0D E Pe= +

où P est la polarisation électrique induite par l"application du champ et la polarisation électrique permanente modifiée par l"application du champ E Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell 2 0

BH Mm= -

où M est l"aimantation (la polarisation magnétique) du milieu induite pas l"application du champ B ou permanente et modifiée par l"application du champ B Dans un milieu diélectrique Linéaire Homogène et Isotrope (LHI) :

Dans ces milieux, la polarisation électrique induite est proportionnelle au champ électrique et colinéaire,

0P Ee c=

et donc D Ee= où ()01e e c= +. On a de la même manière pour la polarisation magnétique, 0m M Bc m= d"où BHm= où ( ) 0 1m mmc=-.

Les polarisations permanentes sont nulles.

On a donc plus simplement dans ces milieux :

D Ee=

et B Em= avec 0re e e= et 0rm m m= Dans notre cas, on ne traitera que des matériaux non magnétiques. 0m m=

3. Dissipation d'énergie dans les milieux

2 phénomènes sont responsables de la dissipation de l"énergie électromagnétique dans les milieux : les

pertes par effet Joule s"il y a des conducteurs et les pertes diélectriques regroupant toutes sortes de

phénomènes de dissipation ayant pour siège les matériaux non conducteurs. On ne reviendra pas sur les pertes dans les conducteurs.

En ce qui concerne les pertes diélectriques, on peut les expliquer par l"interaction de l"onde

électromagnétique avec la matière, c"est-à-dire du champ électrique avec les noyaux (chargés positivement)

et les nuages électronique (chargés négativement). Les forces électriques et magnétiques induisent des

déformations des atomes et des molécules, et une réorientation des dipôles électriques ou magnétiques

permanents s"ils existent. E Atome "au repos" Atome déformé par un champ électrique p

Ces forces travaillent, et donc consomment de l"énergie. Lorsque les champs varient lentement (régime

temporel "quasi-statique"), les déformations restent synchrones avec les champs elm appliqués et les

énergies nécessaires à ces déformation sont récupérées lorsque le matériau revient à l"équilibre, c"est-à-dire

Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell

3 quand les champs appliqués reviennent à zéro. Lorsque les variations sont plus rapides, ces déformations

prennent du retard par rapport aux champs elm appliqués, et une partie de l"énergie fournie à la matière pour

la déformer, est perdues. On peut comparer ce phénomène à celui de la charge d"un condensateur (ou d"une

bobine). Un condensateur que l"on charge par un courant produit en son sein un champ électrique en phase

avec le courant de charge. Si ce condensateur n"est pas parfait (courant de fuite dans la résistance parallèle

à C), cette résistance induit un retard. C"est cette résistance, responsable du déphasage du champ interne

qui consomme.

Dans les matériaux non magnétiques, en régime purement sinusoïdal et en notation complexe, on peut tenir

compte de ces phénomènes en introduisant une permittivité complexe.

On note alors

()0" "je e e e= - . remarque : ()0" "D j Ee e e= - et 0D E Pe= + donc P est déphasé par rapport à D

On défini encore la tangente de perte "

e ed=tg qui est une constante couramment utilisée pour caractériser les pertes d"un matériau isolant. Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell 4

4. Relations de continuité

A l"interface entre 2 milieux différents, certaines composantes du champ électromagnétique peuvent varier.

Les relations suivantes permettent de calculer ces discontinuités. n2 n1D D- = s discontinuité de la composante normale de D.

12ttEE= continuité de la composante tangentielle de E

1212njHHsttÙ=- discontinuité de la composante tangentielle de H

12nnBB= continuité de la composante normale de B

1 2 12n

5. Potentiels vecteurs et scalaires

A. Potentiel vecteur

Comme 0)(=Bdiv alors )(/ArotBA=$ Aest appelé potentiel vecteur. Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell 5

B. Potentiel scalaire

On rappelle que t

alors ∫CdltAE C"

On peut alors dire que

est un gradient, c"est-à-dire que )(/Vgradt

On peut enfin écrire :

t

C. Jauges

A n"est pas unique car on peut lui ajouter n"importe quel gradient d"une fonction scalaire f sans que son

rotationnel ne change. En effet +ArotfgradArot)( car []0)(=fgradrot . De même, le potentiel V n"est pas unique car on peut ajouter n"importe quel constante V

0 à V sans que cela

ne change son gradient. En effet )()(0VgradVVgrad=+ .

Parmi l"infinité de potentiels scalaires et vecteurs, on peut chercher à trouver ceux dont l"expression

simplifiera le calculs des champs. Coulomb et Lorentz ont découvert des relations supplémentaires qui

restent compatibles avec les équations de l"électromagnétisme, qui restreignent le nombre de possibilité

pour ces potentiels et qui simplifient les équations différentielles dont les solutions sont les champs

électromagnétiques. Ces relations sont appelées Jauges a. Jauge de Coulomb

Lorsque que l"on étudie des systèmes composés de charge immobiles, c"est-à-dire dans le cadre de

l"électrostatique, on peut prendre la relation de Jauge suivante :

0)(=Adiv.

b. Jauge de Lorenz

Dans le cas de systèmes comportant des courants constant (magnétisme) ou de courants variables

(électromagnétisme), on peut prendre comme relation de Jauge :

VAdivme

D. Equations de propagation des potentiels - Potentiels retardés

L"utilisation de la jauge de Lorenz permet de déterminer les équations différentielles suivantes :

22t

VV et jt

22

Ces équations sont des équations de propagation dont les solutions sont des ondes. Pour que ces solutions

correspondent aux solutions obtenues dans le cadre de l"électrostatique ou de la magnétostatique, c"est-à-

Eléments d"électromagnétisme et Antennes Equations de Maxwell

6 dire en passant à des systèmes permanents (charges immobiles ou courant constant), on écrits ces

solutions sous la même forme que dans le cas des régimes permanents en y rajoutant la notion de retard et

de temps de propagation. Les solutions retenues s"écrivent alors : trpedSM vSMtS tMV sourcesS∫∫∫Î 4

1),( et tpmdSM

vSMtSj tMA sourcesS∫∫∫Î 4),(

où M est le point d"observation, S sont les points où il existent des charges ou des courants, et

v est la vitesse de propagation de

V et A dans le milieu considéré.

Eléments d"électromagnétisme et Antennes Ondes électromagnétiques 7

II. Ondes électromagnétiques

1. Equation de propagation

()div Dr= ()0div B= ( )Brot Et ( )HDrot Jt diélectrique LHI

D Ee=

et B Em= loin des sources 0r= 0j= ()0div E= ()0div B= ( )Brot Et ( )HDrott

On calcule

2 2 or ()()( ( ))rot rot E grad div E E= -D d"où 2 2 et de la même manière 2 2 Ces 2 équations différentielles sont des équations de propagation.

2. Solutions générales - Cas de l'onde plane et de l'onde sphérique

A. Solutions générales

La solution générale de ces équation de propagation sont une combinaison linéaire d"ondes se propageant

dans n"importe quelle direction u

à la vitesse 1ve m=. ( )u

u uE E tv= ±∑

B. Ondes planes

Si l"onde se propage uniquement dans une direction donnée u et si le champ est uniforme sur tout plan perpendiculaire à u alors on peut écrire cette solution sous la forme d"une onde plane : Eléments d"électromagnétisme et Antennes Ondes électromagnétiques

8 prenons par exemple

zu u=

0( ) ( )zE E z f tv= ±

plan où E est constant z

C. Ondes sphériques

si la source est ponctuelle ou si on se trouve à une grande distance d"une source de taille finie, les ondes

sont alors sphériques et se propagent selon la direction ru le vecteur de base radial en coordonnées sphérique. sphère sur laquelleE est constant r

0( ) ( )rE E r f tv= -

le module et la direction de 0E peut dépendre de z la forme de f dépend de la dépendance temporelle du générateur Eléments d"électromagnétisme Ondes TEM - Ondes Planes 9

III. Ondes TEM - Ondes Planes

1. Propriétés des ondes TEM

On a vu dans le chapitre précédent que le champ électrique et que l"exitation magnétique étaient solutions

des équations suivantes : 2 2 et 2 2

Si on choisit d"étudier une onde qui se propage dans une direction unique (par exemple une onde plane se

propageant selon zu en coordonnées cartésienne ou une onde sphérique se propageant selon ru en coordonnées sphériques ):

0( ) ( )zE E z f tv= ±

ou 0( ) ( )rE E r f tv= - qu"alors que la composante des champs transversale à la propagation est nulle : zE = zH = 0 ou rE = rH = 0 On dit que ces ondes sont TEM (transverse Electro Magnétique ). direction de propagation E H On montre également que les champs transverses sont reliés par la relations suivantes :

1u E HvmÙ =

III.1 où u est la direction de propagation et v la vitesse de propagation.

Les champs

E et H sont perpendiculaires entre eux. direction de propagation E H Eléments d"électromagnétisme Ondes TEM - Ondes Planes

10 comme la vitesse de propagation est liée aux propriétés électriques et magnétiques du milieu de

propagation par

1vem= , leurs amplitudes sont reliées par la relation suivante :

E Hm e=

On appelle

mze= l"impédance d"onde du milieu ( notée aussi h).

2. Régime alternatif

Quand la source est sinusoïdale le champ s"écrit :

On définit le vecteur d"onde

k uv w= . On a alors :

0cos( )E E t krw= -

en notation réelles ou ( ) 0 t k rE E ew-= en notation complexe où r est la position

dans l"espace. Le vecteur d"onde indique la direction de propagation de l"onde et son module correspond à la

constante de propagation.

L"équation III.1 devient dans ces conditions :

k E Hw mÙ = E H k

Le trièdre formé par (

E , H , k ) est direct. Eléments d"électromagnétisme Ondes TEM - Ondes Planes 11

3. Ondes planes monochromatiques

A. Définition

B.

Notation complexe

a. Notation b.

Intérêt

c.

Amplitude complexe

4. Polarisation d'une onde électromagnétique

A. Polarisation rectiligne

B.

Polarisation circulaire et elliptique

C.

Exemples d'ondes polarisées

a. Ondes polarisée circulaire droite b.

Ondes polarisée rectiligne

c.

Polariseur

5. Réflexion d'une onde sur un métal

A. Position du problème

B.

Calcul de l'onde réfléchie

Eléments d"électromagnétisme Ondes TEM - Ondes Planes 12 Eléments d"électromagnétisme et Antennes Energie électromagnétique 13

IV. Energie électromagnétique

1. Théorème de Poynting

A. Dans un milieu quelconque

On pose P E^H=

(EetH = champs réels) On a div(P ) div(E^H) H.rot(E) E.rot(H)= = - or ( )Brot Et et ( )HDrot Jt donc

B Ddiv(E^H) H. E. Jt t

d"où V V

B Ddiv(E^H)d H. E. J dt t

cad S VV

B DE^H .dS H. E. d J.Edt t 

égalité de Poynting

B. Dans un milieu LHI

on a dans un tel milieu D Ee= et = B Hm d"où 2 et 2

L"égalité de Poynting devient donc :

22

S VV1 1E^H .dS H E d J.Edt 2 2

2. Bilan énergétique dans un milieu LHI

On reconnaît dans l"égalité précédente le terme :

221 1H E2 2

qui est la densité d"énergie

électromagnétique notée

emw (en J/m3) .

De plus, on montre que

j.E est la densité de puissance dissipée ( en W/m3) (voir remarques plus bas) L"égalité de Poynting que l"on peut écrire comme suit : 22

VS Vd 1 1H E d P.dS j.Eddt 2 2 

Eléments d"électromagnétisme et Antennes Energie électromagnétique

14 est donc interprétable comme suit :

22

VS Vd 1 1H E d P.dS j.Eddt 2 2

On voit donc que

SP.dS∫∫

représente la puissance sortante de V ( à travers S). Pquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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