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Introduction à l"analyse spatiale

Marie-Pierre de Bellefon

Insee - Département de l"Action Régionale

Séminaire MetSem - SciencesPo - 23 novembre 2017 Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 1 / 108

1Qu"est ce qu"une donnée spatiale?

2Comment définir le voisinage d"un objet spatial?

3Existe-t-il un phénomène spatial?

4Prendre en compte les phénomènes spatiaux

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 2 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?

Sommaire

1Qu"est ce qu"une donnée spatiale?

2Comment définir le voisinage d"un objet spatial?

3Existe-t-il un phénomène spatial?

4Prendre en compte les phénomènes spatiaux

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 3 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Introduction

Donnée spatiale :

Toute observation dont on connait non seulement la valeur, mais aussi la localisation. )Les coordonnées spatiales des objets à traiter constituent une information potentiellement riche pour l"analyseTrois types de données spatiales :

Continues

Ponctuelles

Surfaciques

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 4 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Introduction

Propriétés particulières des données spatiales Dépendance spatiale: la valeur de l"observationiinfluence la

valeur de l"observationjvoisineHétérogénéité spatiale: l"influence des variables explicatives sur

la variable dépendante dépend de la localisation dans l"espace.Analyse spatiale :

1décrit la structurespatiale des observations.2quantifie laforce des interactionsspatiales.3explique lesmécanismessous-jacents.Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 5 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales Données spatiales continues (géostatistiques)

Définition :

Il existe une valeur pour la variable d"intérêt en tout point du territoire, mais elle estmesurée uniquement en un nombre discret de points.Objectifs de l"analyse spatiale des données continues : Prédire la valeur d"une variable en un point où elle n"a pas été échantillonnée, ainsi que la fiabilité de cette prédiction.Exemples de données :

Composition chimique du sol)industrie minièreQualité de l"eau ou de l"air)étude de la pollutionVariables météorologiques)prévisions météoMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 6 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales Données spatiales continues : exemple d"étude Avec quelle précision prédire la teneur en polluant d"un sol

lorsqu"on n"a qu"un échantillon fini de points de mesure?Prédiction de teneur en polluant (mg/kg/m2) - Ecart type de la prédiction

Source : Manuel GéoSiPol - Mines de Paris

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 7 / 108 Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales

Données spatiales ponctuelles

Définition :

Ces données se caractérisent par leurdistribution dans l"espace, et pas par la valeur associée à chaque observation. La localisation est la variable aléatoire qu"on étudie.Objectifs de l"analyse spatiale des données ponctuelles : Quantifier l"écart entre la distribution spatiale des observations et une distribution complètement aléatoire dans l"espace :dans quelle mesure les observations sont-elles regroupées dans l"espace?Exemples de données :

Ecologie)distribution spatiale de deux espèces d"arbres.Epidémiologie)distribution spatiale des cas d"apparition d"un virus.Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 8 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales

Les trois configurations classiques de points

Régulière Agrégée Aléatoire

Source : Packagespatstat, Floch,Marcon, Puech 2017Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 9 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales Données spatiales ponctuelles : exemple d"étude Les séismes sont-ils plus regroupés dans l"espace que ce qui en est

attendu de par la géologie du terrain?Localisation de 5970 épicentres de séismes en Iran de 1976 à 2016.

Source : Packageetas, Floch, Marcon, Puech 2017Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 10 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales

Données spatiales surfaciques

Définition :

La localisation des observations est considérée comme fixe, c"estleur valeur qui est modélisée selon un processus aléatoire. Peuvent être agrégées sur une partition du territoire ou réparties en des points précis.Objectifs de l"analyse spatiale des données surfaciques : Définir la structure de voisinage des observations. Quantifier l"influence qu"exercent les observations sur leurs voisines et sa significativité.Exemples de données :

Santé)taux de malades par région.Economie)croissance du PIB par région.Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 11 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales Données spatiales surfaciques : exemple d"étude Les collèges favorisés sont-ils toujours situés dans un environnement favorisé?Source : Givord et al 2015 Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 12 / 108 Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales

Données spatiales surfaciques

Dans la suite de cette présentation, on étudie les données surfaciquesReprésentation sous forme d"un polygone

La région d"étude peut être recouverte exhaustivement par des polygones mutuellement exclusifs.Deux polygones adjacents sont séparés par une frontière commune.Les frontières peuvent naître de discontinuités spatiales : limites

administratives, barrières naturelles...Ou être les polygones de Voronoï issus de points particuliers

Polygone de Voronoï associé au pointxi:La région de l"espace qui est plus proche dexique de tout autre point de

l"ensemble d"étudeSMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 13 / 108 Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales

Données spatiales surfaciques

Représentation sous forme d"un point

Les données "surfaciques" peuvent aussi être despoints fixesdu territoire :définis par les coordonnées géographiques d"un point particulier : lycée,

mairie, point culminant d"une région,...ou définis géométriquement comme les centroïdes d"un polygone.

Centroïdecd"une surface SMinimise la distance quadratique moyenne à tous les points de S : min c1a(S)Z S jjxcjj2dx a(S) : aire de la surface S

Coordonnées dec: moyenne des coordonnées detous les points de SMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 14 / 108

Qu"est ce qu"une donnée spatiale?Trois types de données spatiales

Données spatiales surfaciques

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 15 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?

Sommaire

1Qu"est ce qu"une donnée spatiale?

2Comment définir le voisinage d"un objet spatial?

3Existe-t-il un phénomène spatial?

4Prendre en compte les phénomènes spatiaux

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 16 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?

Relations entre objets spatiaux

Multidirectionnelles et multilatérales

Différent des relations temporelles où les liens sont orientés sur l"axe passé -> présent -> futurSpécifiées par un graphe de voisinage Voisinage défini en fonction de ladistance(plus proches voisins), de lacontiguïté(Queen, Rook) ou de notionsgéométriques (Delaunay, Gabriel)Codé dans une matrice de contiguïté Enjeu de la codification des relations de voisinage : Définir des relations de voisinage cohérentes avec les véritables interactions spatiales entre les objets Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 17 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur la distance Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 18 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur la distance Remarques sur le voisinage basé sur la distance k plus proches voisins Fait l"hypothèse que le degré d"influence est le même pour lesk voisins les plus prochesNe prend pas en compte la complexité de la géographie des frontièresPas symétrique Les distances entre les voisins peuvent être très dissemblables

Voisins à distance radiale

Les voisins deisont les pointsjtels que0dijdMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 18 / 108

Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur la distance Ambigüité de la notion de distance entre centroïdes SoitR1,R2,R3trois zones distinctes. On peut considérer que commeR2et R

3sont séparées dans l"espace, mais toutes les deux adjacentes àR1, elles

sont toutes les deux plus proches deR1que l"une à l"autre. Cependant, les centroïdes de ces zones sont équidistants entre eux.Résumer la proximité entre zones par la distance entre centroïdes conduit à perdre une partie

de la richesse des relations spatiales.Gauche : trois zones - Droite : distances entre centroïdesD"après : Notebook

of spatial data analysis, SMITH, 2016 Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 19 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur des notions géométriques

Basé sur des notions géométriques

Triangulation de Delaunay: maximise l"angle minimal des

triangles dont les sommets sont les points d"observation.Graphe de la sphère d"influence: relie deux points si leurs

"cercles du voisin le plus proche" se coupent. Il s"agit pour chaque point P du plus grand cercle centré en P qui ne contient pas d"autre point que P.Source : Toussaint 1980 Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 20 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur des notions géométriques

Basé sur des notions géométriques

Graphe des voisins relatifs: considère que deux pointspietpj sont voisins si d(pi;pj)max[d(pi;pk);d(pj;pk)]8k= 1;:::;n k6=i;j avecd(pi;pj)la distance entrepietpj. Le graphe des voisins relatifs impose moins de connexions que la triangulation de

Delaunay ou le graphe de la sphère d"influence.Graphe de Gabriel: relie deux pointspietpjsi et seulement si

tous les autres points sont en dehors du cercle de diamètre[pi;pj]Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 21 / 108

Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur des notions géométriques Graphes basés sur des notions géométriques Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 22 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Basé sur la contiguïté

Voisinage basé sur la contiguïté

Plus adapté aux données démographiques et sociales qu"aux données environnementales. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 23 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Transformation en une matrice de pois

La matrice de poids : W

"L"expression formelle de la dépendance spatiale entre observations"

(Anselin, 1988)Matrice binaire :wij=1 siivoisin dej, 0 sinon.Inconvénient: la somme des poids des voisins d"une zone dépend du

nombre de ses voisins. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 24 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Transformation en une matrice de pois

Normalisation de la matrice de poids

Normalisation par ligne : la plus courante

Pour une zone, le poids accordé à chaque voisin est divisé par le nombre total de ses voisins.Avantage: X jw

ijxj: moyenne dexsur tous les voisins dexiInconvénient: trop de poids accordé aux observations avec peu

de voisins (en bordure de la région étudiée).Alternatives: normalisation globale (poids divisés par nombre

total de zones),... Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 25 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Transformation en une matrice de pois

Réflexions sur le choix de la matrice de poids

"Le choix des poids est souvent arbitraire [...] et le résultat des études varie considérablement en fonction de la définition des

poids spatiaux" Bhattacharjee et Jensen-Butler (2006)"Le choix de la matrice de poids est le plus grand mythe de

l"économétrie spatiale" : l"impact de ce choix sur les résultats ne

serait pas si crucial. Lesage et Pace (2012)Pour pallier l"exogénéité du choix de la matrice de poids, certains

utilisent les données spatiales elles mêmes pour la spécifier. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 26 / 108 Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Transformation en une matrice de pois

Mise en oeuvre avec le logiciel R

Les packagessp, rgdal et rgeosousfpermettent de lire les objets spatiaux. Le packagespdeppermet de définir les relations de voisinage entre les objets spatiaux.

Les relations sont enregistrées dans un objet de classenbMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 27 / 108

Comment définir le voisinage d"un objet spatial?Transformation en une matrice de pois

Mise en oeuvre avec le logiciel R

Les matrices de poids sont enregistrées sous forme d"une "liste de poids".Il ne s"agit pas d"une matricenntelle qu"on la représente théoriquement. Il s"agit d"une liste contenant le style de normalisation, puis pour chaque observation : son attribut, la liste des numéros d"observation de ses voisins, la liste des attributs de

ses voisins et la liste des poids de ses voisins.On parle souvent desparse matrixoumatrice creuses.Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 28 / 108

Existe-t-il un phénomène spatial?

Sommaire

1Qu"est ce qu"une donnée spatiale?

2Comment définir le voisinage d"un objet spatial?

3Existe-t-il un phénomène spatial?

4Prendre en compte les phénomènes spatiaux

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 29 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Structure spatiale - autocorrélation spatiale

Autocorrélation spatiale

Définition

Corrélation, positive ou négative, d"une variable avec elle même du fait de la localisation spatiale des observationsCauses processus inobservés ou difficilement quantifiables qui associent

des localisations différentes. Par exemple :phénomènes d"interaction entre les décisions des agents.phénomènes dediffusion dans l"espace d"une technologie.Intérêt de détecter l"autocorrélation spatiale

Mieux comprendre la structure spatiale du phénomène observé Améliorer la spécification d"un modèle économétrique (test de l"hypothèse d"indépendance des observations) Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 30 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Structure spatiale - autocorrélation spatiale

Mieux comprendre la structure spatiale

Soityila variable d"intérêt etvijle lien entreietj.

Un processus spatial est autocorrélé si

P(YiyijYjyj;8j tq vij>0)6=P(Yiyi)Structure spatiale et autocorrélation spatiale ne peuvent pas

exister indépendamment l"une de l"autre (Tiefelsdorf, 1998).La structure spatiale est l"ensemble des liens grâce auxquels

le phénomène autocorrélé va se diffuser.Sans la présence d"un processus autocorrélé significatif, la

structure spatiale n"est pas visible empiriquement.La distribution spatiale observée est une manifestation du

processus spatial sous-jacent. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 31 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Structure spatiale - autocorrélation spatiale Autocorrélation spatiale : observation empirique La valeur d"une observation est liée aux valeurs des observations voisines.L"autocorrélation spatiale estpositivelorsque desvaleurs similairesde la variable à étudier se regroupent géographiquement.L"autocorrélation spatiale estnégativelorsque desvaleurs dissemblablesde la variable à étudier se regroupent géographiquement : des lieux proches sont plus différents que

des lieux éloignés (concurrence spatiale,...)En l"absenced"autocorrélation spatiale on peut considérer que la

répartition spatiale des observations estaléatoire.Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 32 / 108

Existe-t-il un phénomène spatial?Structure spatiale - autocorrélation spatiale Autocorrélation spatiale : observation empirique Le regroupement spatial des valeurs similaires est-il significatif? Dans quelle mesure aurait-il pu être observé si les observations

étaient réparties aléatoirement?

Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 33 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Structure spatiale - autocorrélation spatiale

Mesure de l"autocorrélation spatiale

Objectifs des indices d"autocorrélation spatiale Evaluer la dépendance spatialeentre les valeurs d"une même

variable en différents endroits de l"espace.Tester lasignificativitéde la structure spatiale identifiée.Critères pris en compte

Proximité spatiale.

Ressemblance ou la dissemblance des valeurs de la variable pour

les unités spatiales considérées.Attention: si les données sont agrégées suivant un découpage qui ne

respecte pas le phénomène sous-jacent, on surestimera la force du lien spatial. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 34 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Diagramme de Moran

Diagramme de Moran

Objectifs

Visualiser rapidement la structure spatiale

Construction

ycentrée en abscisseWyen ordonnée (oùWest la matrice de poids normalisée).Les deux propriétésycentrée etWnormalisée impliquent que la

moyenne empirique deWyest égale à celle deyet donc à 0.On trace également la droite de régression linéaire deWyen

fonction deyet les droites d"équationy= 0etWy= 0qui délimitent des quadrants. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 35 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Diagramme de Moran

Interprétation du diagramme de Moran

Si les observations sont réparties aléatoirement dans l"espace, il n"y a pas de relation particulière entreyetWy. La pente de la droite de régression linéaire est nulle, et les observations sont réparties uniformément dans chacun des quadrants.Si au contraire les observations présentent une structure spatiale particulière, la pente de la régression linéaire est non-nulle

puisqu"il existe une corrélation entreyetWy.Chacun des quadrants définis pary= 0etWy= 0correspond à

un type d"association spatiale particulier.On notela pente de la droite de régression linéaire entreyet

Wy Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 36 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Diagramme de Moran

Interprétation du diagramme de Moran

En haut à droite (quadrant 1), valeurs de la variableplus élevées que la moyenne, dans un voisinage qui lui ressemble(autocorrélation

spatiale positive et valeur de l"indice élevé; structurehigh-high).En bas à gauche (quadrant 3), valeurs de la variableplus faibles que la

moyenne, dans un voisinage qui lui ressemble(autocorrélation

spatiale positive et valeur de l"indice faible; structurelow-low).En bas à droite (quadrant 2), valeurs de la variableplus élevées que la

moyenne dans un voisinage qui ne lui ressemble pas (autocorrélation spatiale négative et valeur de l"indice élevé; structure high-low).En haut à gauche (quadrant 4), valeurs de la variableplus basses que la moyenne dans un voisinage qui ne lui ressemble pas (autocorrélation spatiale négative et valeur de l"indice faible; structure low-high).Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 37 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Diagramme de Moran Diagramme de Moran des revenus médians par Iris standardisés et d"une simulation de répartition aléatoire des revenus médians par Iris. (Source : INSEE, RFL 2010)Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 38 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Diagramme de Moran Simulation d"une autocorrélation spatiale croissante des revenus par Iris (Source : INSEE, RFL 2010)rho= -0.1rho= -0.3rho= -0.6rho= -0.9

rho= 0.1rho= 0.3rho= 0.6rho= 0.9Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 39 / 108

Existe-t-il un phénomène spatial?Diagramme de Moran Diagrammes de Moran associés aux simulations de revenus autocorrélés (Source : INSEE, RFL 2010)-3-2-10123 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 rho= -0.1 variable aléatoire -3-2-10123 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 rho= -0.3 variable aléatoire variable spatialement décalée -3-2-10123 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 rho= -0.6 variable aléatoire variable spatialement décalée -202 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 rho= -0.9 variable aléatoire variable spatialement décalée -3-2-10123 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 rho= 0.1 -3-2-10123 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 rho= 0.3 variable spatialement décalée -4-202 -2 -1 0 1 rho= 0.6 variable spatialement décalée -6-4-2024 -4 -2 0 2 rho= 0.9

variable spatialement décaléeMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 40 / 108

Existe-t-il un phénomène spatial?Indices de Moran et de Geary Objectifs des indices d"autocorrélation spatiale : Lorsque le diagramme de Moran met en avant une structure spatiale particulière, le calcul des indices d"autocorrélation spatiale a pour

objectif de répondre à deux questions :Les valeurs prises par les observations voisines auraient-elles pu

être aussi proches (ou aussi dissemblables) par le simple fait du hasard?Si tel n"est pas le cas, il y a de l"autocorrélation spatiale : quelle en est le signe et la force? Répondre à la première question, revient àtester l"hypothèse d"absence d"autocorrélation spatiale pour une variable brutey.H

0: absence d"autocorrelation spatialeH

1: présence d"autocorrelation spatialeMarie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 41 / 108

Existe-t-il un phénomène spatial?Indices de Moran et de Geary Deux hypothèses possibles sur la distribution sousH0Hypothèse de normalité Chacune des valeurs de la variable, soityi, est le résultat d"un tirage indépendant dans ladistribution normale propre à chaque zone géographiqueisur laquelle est mesurée cette variable.Hypothèse de randomisation L"estimation de la statistique obtenue à partir des données est comparée avecla distribution de celle obtenue en

réordonnant au hasard (permutations) les données.L"idée est quesi l"hypothèse nulle est vraie, alors toutes les

combinaisons possibles des données sont équiprobables.Les données observées sont alors seulement l"une des

réalisations parmi toutes celles également possibles. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 42 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Indices de Moran et de Geary

Indices de Moran et de Geary

Principe

Mesure la corrélation entre une variable et sa valeur sur les

entités voisines.Corr(Y;WY) =Cov(Y;WY)pV ar(Y);V ar(WY)W: matrice de pondérationHypothèses sur sa distribution, qui permettent de tester sa

significativité.Calcul de l"intervalle de valeurs possibles pour l"indice, pour évaluer la force de l"autocorrélation spatiale. Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 43 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Indices de Moran et de Geary

Indice de Moran

I W=nP iP jwijP iP jwij(yiy)(yjy)P i(yiy)2i6=jH

0: Les voisins neco-varientpas d"une façon particulière.I

W>0=> autocorrélation spatiale positive.Indice de Geary c

W=n12WP

iP jwij(yiyj)2P i(yiy)2i6=jH

0: Lesdifférencesentre voisins n"ont pas de structure

particulière.c

W<1=> autocorrélation spatiale positive.Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 44 / 108

Existe-t-il un phénomène spatial?Indices de Moran et de Geary

Propriétés statistiques des indices

min(valeurs propres(W+WT2 ))< IW))E(IW)ne dépend pas des hypothèses sur la distribution deyE(IW) =1n1V ar(I)dépend des hypothèses sur la distribution deyIE(I)pV ar(I) N(0;1)=> calcul des p-valuesLa vitesse de convergence vers la distribution normale dépend de la

disposition spatiale des zones d"étude Marie-Pierre de BellefonIntroduction à l"analyse spatiale 45 / 108 Existe-t-il un phénomène spatial?Indices de Moran et de Geary

Facteurs pouvant influencer la mesure

Définition du voisinage

Plus le voisinage envisagé estlarge, plus on considère un nombre élevé dequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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