[PDF] MATH Tle D OK 2 La présente annale destiné

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1

BURKINA FASO

Unité - Progrès - Justice

MINISTERE

DE L'EDUCATION NATIONALE,

DE

L'ALPHABETISATION ET DE LA PROMOTION

DES

LANGUES NATIONALES

ANNALES

MATHÉMATIQUES

TERMINALE D

2

AUTEURS :

Dieudonné KOURAOGO IES

Victor T. BARRY IES

Jean Marc TIENDREBEOGO IES

Clément TRAORE IES

Bakary COMPAORE IES

Abdou KABORE CPES

Maquette et mise en page :

OUEDRAOGO Joseph

ISBN :

Tous droits réservés :

© Ministre de l'Éducation Nationale, de l'Alphabétisation

Et de la Promotion des Langues nationales

Edition :

Direction Générale de la Recherche en Éducation et de l'Innovation Pédagogique 3 4

AVANT-PROPOS

La présente annale destinée à la classe de terminale D a pour but d'aider le professeur dans

son enseignement et le candidat au baccalauréat D de se préparer à l'épreuve de

mathématiques.

Cette annale comporte trois parties :

Première partie : résumé du cours par chapitre Deuxième partie : énoncés des épreuves du baccalauréat D Troisième partie : propositions de corrigés des épreuves. Les candidats ne tireront profit qu'en résolvant et trouvant par eux-mêmes les solutions sans

avoir recours aux corrigés. Les corrigés sont pour confirmer leurs justes réponses ou donner

d'autres pistes de résolution qui ne sont peut-être pas les leurs. Le succès résulte de l'effort et

de la méthode. Nous vous souhaitons du plaisir dans vos activités mathématiques et attendons vos critiques et suggestions pour des améliorations futures d'autres oeuvres.

Les auteurs

5 6

RAPPEL DE COURS

7

Chapitre : Les suites numériques

Objectifs :

· Mettre en oeuvre les énoncés admis sur les limites des suites ; · Connaître les limites et les comportements asymptotiques comparés des suites numériques.

1. Généralités sur les suites numériques

a) Définition

On appelle suite numérique, toute application

définie de ℕ (ou d'un sous ensemble de ℕ) vers ℝ. On la note ()∈ℕ (ou ()∈). b) Modes de détermination d'une suite

Une suite numérique peut être définie :

Soit par une formule explicite qui permet de calculer les termes en fonction de .

Exemples :

- Soit ()∈ℕ la suite définie par = 2 - 3. - Soit ()∈ℕ ∗ la suite définie par = Soit par la donnée d'un terme quelconque (en général son 1er terme) et d'une relation qui lie deux termes consécutifs (permettant de calculer un terme à partir du terme qui le précède).

Exemples :

- Soit ()∈ℕ la suite définie par = 3 - Soit ()∈ℕ ∗ la suite définie par = 4 + 5 , c) Sens de variation d'une suite Soit ()∈ℕ une suite numérique.

· Si pour tout

(resp. strictement croissante).

· Si pour tout

décroissante (resp. strictement décroissante).

· Si pour tout

∈ ℕ, = alors la suite ()∈ℕ est dite constante. d) Comparaisons sur les suites

Soient

()∈ℕ et ()∈ℕ deux suites numériques et 8 Si pour tout , ≥ (resp. > ) on dit que la suite () est supérieure () (resp. () est strictement supérieure à ()). Si pour tout () (resp. () est strictement inférieure à ()). On dit que la suite () est majorée s'il existe un réel ' tel que pour tout On dit que la suite () est minorée s'il existe un réel ( tel que pour tout Si la suite () est la fois minorée et majorée, on dit qu'elle bornée. Remarque : Une suite positive (resp. négative) est minorée par 0 (resp. majorée par 0).

2. Suites arithmétiques et suites géométriques

a) Suites arithmétiques

· Une suite

()∈ℕ est dite arithmétique s'il existe un réel ) tel que tout

Le réel

) s'appelle la raison de la suite ()∈ℕ.

· Soit

()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ) et de 1er terme . On a : Si le 1er terme est alors pour tout - 1)). Pour tous entier et , (

· Soit

()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ). Si ) > 0 alors la suite () est croissante. Si ) < 0 alors la suite () est décroissante. Si ) = 0 alors la suite () est constante.

· Soit

()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ) et de 1er terme . La somme / des

1er termes est : /= + + + ⋯+ .

2. Si le 1er terme est alors la somme / des

1er termes est :

2. Si le 1er terme est - alors la somme / des ( + 1) 1er termes est : + 1) ×(-+ -) 2. 9 b) Suites géométriques

· Une suite

()∈ℕ est dite géométrique s'il existe un réel 2 tel que tout = 2.

Le réel

2 s'appelle la raison de la suite ()∈ℕ.

· Soit

()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ) et de 1er terme . On a : = 2. Si le 1er terme est alors pour tout = 2(). Pour tous entier et , ( = -2(-).

· Soit

()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ). Si 2 > 1 alors la suite () est croissante. Si 0 < 2 < 1 alors la suite () est décroissante. Si 2 = 1 alors la suite () est constante. Si 2 < 0, () est une suite alternée

· Soit

()∈ℕ est une suite arithmétique de raison 2 et de 1er terme . La somme / des

1er termes est : /= + + + ⋯+ .

/= ×1 - 2

1 - 2.

Si le 1er terme est alors la somme / des

1er termes est :

/= ×1 - 2

1 - 2.

Si le 1er terme est - alors la somme / des ( + 1) 1er termes est : /= -×1 - 2

1 - 2.

3. Convergence des suites numériques

a) Définition Soit ()∈ℕ une suite numérique. On dit que la suite () est convergent si elle admet une limite finie 3. On note lim→8= 3. On dit que la suite () est divergente si elle n'est pas convergente. On a lim→8= +∞ ou lim→8= -∞. b) Limite par comparaison Soit ()∈ℕ une suite numérique et S'il existe une suite () telle que pour tout , ≥ et lim→8= +∞ alors lim→8= +∞. 10 S'il existe un suite (:) telle que pour tout alors lim→8= -∞. S'il existe un réel 3 tel que pour tout lim→8:= lim→8= 3, alors lim→8= 3. Si pour tout Si pour tout c) Limite des suites monotones Soit ()∈ℕ une suite numérique. Si () est croissante et majorée alors () converge. Si () est décroissante et minorée alors () converge. Si () est monotone et bornée alors () converge. d) Convergence des suites arithmétiques et géométriques

· Convergence des suites arithmétiques

Soit ()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ) et de 1er terme . Si ) = 0 alors la suite () est convergente et lim→8= . Si ) ≠ 0 alors la suite () est divergente et lim→8= +∞, ) > 0 lim →8= -∞, >? ) < 0

· Convergence des suites géométriques

Soit ()∈ℕ est une suite arithmétique de raison ) et de 1er terme . Si 2 = 1 alors la suite () est convergente et lim→8= Si |2| < 1 alors la suite () est convergente et lim→8= 0. Si 2 > 1 alors la suite () est divergente et lim→8= +∞, > 0 lim →8= -∞, >? < 0 e) Opérations sur les limites des suites Soit ()∈ℕ et ()∈ℕ deux suites numériques. Les propriétés sur les limites de la somme ( + ), du produit (× ) et du quotient @A BA), si ≠ 0; sont les mêmes que celles sur les limites des fonctions numériques. f) Limites des suites définies à l'aide d'une fonction

· Suite de type

= C( Soit C une fonction définie sur ℝ et () une suite définie par = C( Si C admet une limite en +∞ alors lim→8= limD→8C(E).

· Suite de type

= C() Soit C une fonction continue sur un intervalle de ℝ et () une suite numérique définie par = C().

Si la suite

() est convergente et de limite 3, alors 3 = C(3). 11

Chapitre : Courbes paramétrées

Objectifs :

· mettre en évidence et exploiter les périodicités et les symétries éventuelles, · dresser le tableau de variations des fonctions coordonnées x et y, · calculer les coordonnées (x'(t), y'(t)) du vecteur dérivé, · connaître l'interprétation cinématique du vecteur dérivé.

1. Notion de courbes paramétrées

a) Définition Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,F,GHIH) et I est un intervalle de ℝ. Soit

E et J deux fonctions de la variable réelle K.

A tout réel

K, on associe le point '(K) définie par le vecteur

L'GGGGGGH(K)= E(K)FH+ J(K)IH.

L'ensemble (

M) des points '( E;J) du plan tels que :

OE = E(K)

J = J(K), K ∈ est appelée courbe paramétrée de paramètre K.

On note

'(K) ( E(K);J(K)) le point de paramètre K.

Le système

OE = E(K)

J = J(K) , K ∈ est la représentation paramétrique de la courbe (C) ou le système d'équations paramétrique de la courbe (C).

Exemples de représentations paramétriques

OE (K)= 2 - 3K J (K)= -4 + K, K ∈ ℝ PE (K)= Q RST J (K)= cosK, K ∈X-Y;YZ b) Propriétés des fonctions coordonnées et interprétation graphique Périodicité Soit (C) la courbe de représentation paramétrique : OE = E(K)

J = J(K),K ∈

Si E et J sont deux fonctions périodiques qui admettent le réel positif T pour période commune, alors la courbe (M) est obtenue complètement, en faisant varier K dans un intervalle d'amplitude T. 12 Parité

Dans un repère orthonormal (O,F,GHIH), on considère la courbe paramétrée (C) définie par :

'(K)OE = E(K)

J = J(K),K ∈ .

Lorsque les fonctions

E et J sont paires ou impaires sur I, les points '(K) et '(-K) ont des

positions relatives remarquables, et la courbe possède alors certaines propriétés de symétrie.

Tableau illustratif des propriétés de symétrie. Si

E(-K)=E(K)

J(-K)=-J(K)

E(-K)=-E(K)

J(-K)=J(K)

E(-K)=-E(K)

J(-K)=-J(K)

alors (]) est Symétrique par rapport à (^E). Symétrique par rapport à (^J). Symétrique par rapport à L.

Illustratio

n graphique

Dans le cas où les fonctions

E et J sont toutes paires, alors la courbe complète est obtenue sur l'intervalle

2. Vecteurs dérivés

a) Vecteur dérivé du vecteur _`GGGGGGGH(a) et tangente au point `(a). Définition Soit (Γ) la courbe paramétrée définie par : OE = E (K) ,Kc . J = J (K) La position du point '(K) est donnée par le vecteur L'GGGGGGH(K) = E(K)FH+ J(K)IH M(t) M(-t) -1 -10 1 1 xy

M(t)M(-t)

-1 -1 0 1 1 xy M(t) M(-t) -1 -1 0 1 1 xy 13

Si les fonctions E ⟼ E(K) et J ⟼ J(K) sont dérivables sur , alors pour tout K∈ , le

vecteur defGGGGGGGH dT(K)(E<(K),J<(K)) est appelé vecteur dérivé du vecteur L'GGGGGGH(K) au point '(K )(E(K),J(K)). On le note GH(K) : GH(K)(E<(K),J<(K)). Pour tout K ∈ , GH(K)=defGGGGGGGH(T) dT.

Le vecteur

GH(K)(E<(K),J<(K)) est un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) au point '(K )(E(K),J(K)). Tangente en un point Soit '(K )(E(K),J(K)) un point de la courbe (Γ), où le vecteur dérivé GH(K) n'est pas nul. La tangente en '(K ) à (Γ) est la droite passant par '(K ) et de vecteur directeur

GH(K).

Equation de la tangente en un point Soit defGGGGGGGH dT(K) de coordonnées (E<(K); J′(K)) désigne le vecteur dérivé au point '(K) et (T) la tangente à (Γ) au point '(K). defGGGGGGGH dT(K) (E<(K); J′(K)) (T) la tangente à (C) au point '(K).

Si E′(K)≠0 QK

J′(K)≠0 alors

(T) a pour pente : h<(Ti)

D<(T i) ;

(T) :

J=h<(Ti)

D<(T i)(E-E(K))+J(K)

Si E′(K)=0 QK

J′(K)≠0 alors

(T) a pour équation

E=E(K)

(T) est verticale (T)

2-120 1

1 xy 14

Si E′(K)≠0 QK

J′(K)=0 alors

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