[PDF] Corrigé de l’examen final (durée 2 h) (le 16/12/2016)

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L3 - Mathématiques2016-2017Topologie générale

Corrigé de l"examen final (durée 2 h)

(le 16/12/2016)Questions de cours(répondre sans donner de démonstration).

1)(3 pts) Donner les noms et les énoncés de trois critères différents de compacité qui

sont valables respectivement dans un cadre général, dans un cadre métrique, et dans le cadre d"unR-espace vectoriel normé de dimension finie.

Il s"agit de citer ici :

- Le théorème de Borel-Lebesgue (Proposition 3.1.2 du polycopié) sur le recouvrement d"un compact par des ouverts; - Le théorème de Bolzano-Weierstrass (Théorème 3.2.1 du polycopié) concernant la possibilité d"extraire d"une suite une sous-suite convergente;

- Le théorème de Riesz (Théorème 4.2.8 du polycopié) portant sur la compacité de la

boule unité fermée. Dans unR-espace vectoriel normé de dimension finie, un ensemble est compact si et seulement si il est un borné et fermé. 2) (1 pt) Donner la définition d"un espace métrique complet, et fournir un exemple d"espace métrique qui n"est pas complet. Définition 5.3.5 du cours. L"espace métrique(Q,| · |)n"est pas complet (vu en TD). 2) (1 pt) Donner la définition d"un espace de Banach, et fournir une condition nécessaire et suffisante (en terme de séries) pour qu"un espace soit de Banach. Définition 5.3.1 et Théorème 5.3.6 du polycopié.

Exercice I.

On considère un ensembleX={a,b,c}à trois éléments distinctsa,betc. Pour information, l"ensembleXpeut être muni de29topologies distinctes. I.A. (1 pt) Construire surXdeux topologiesTetT?, qui sont toutes deux distinctes de

la topologie discrète et de la topologie grossière, et qui sont ajustées de façon à ce qu"il

n"existe pas d"homéomorphisme entre(X,T)et(X,T?). On peut prendreT ≡ O=?∅,{a},{a,b},X?etT?≡ O?=?∅,{a},{a,b},{a,c},X?. CommeOcontient4ouverts distincts tandis queO?en contient5, les espaces topologiques (X,T)et(X,T?)ne peuvent pas être homéomorphes. I.B. (2 pt) Montrer qu"on ne pas faire en sorte que l"espace topologique(X,T)soit à la fois séparé et connexe. Soit(X,T)un espace topologique séparé et connexe. En particulier, on peut trouver deux qui implique queUouVest de cardinal un. Quitte à échangeraetb, on peut toujours supposer que#U= 1. Alors, on ne peut pas avoir#V= 2car sinonU?V=X, et on dispose d"une partition deXen des ouverts disjoints, contredisant la connexité deX. Ainsi#V= 1. Cela signifie que les singletons{a}et{b}sont des ouverts. En raisonnant de même avec le coupleaetc, on obtient que{c}est un ouvert. On récupère ainsi la topologie discrète qui n"est pas connexe. Contradicion. Exercice II.Soit(X,T)un espace topologique, etAune partie deX. II.A. (1 pt) Montrer que siAest d"intérieur non vide, alors l"ensembleArencontre toute partie qui est dense dansX.

Supposons que

◦A?=∅. Soitx?◦AetPune partie qui est dense dansX. Ainsix?¯P=X. Cela signifie que tout voisinage dexrencontreP. En particulier, on a ◦A∩P?=∅et a fortiori on aA∩P?=∅. II.B. (1 pt) Montrer que siArencontre toute partie dense dansX, alors l"ensembleA est d"intérieur non vide.

Il suffit de montrer que sous l"hypothèse

◦A=∅, il existe une partiePdense dansXqui ne rencontre pasA. La partieP=Acconvient puisqu"elle vérifieA c=X\◦A=Xet

P∩A=∅.

Exercice III.

Soit?E,? · ??unR-espace vectoriel normé. On noteB(0,1]la boule unité fermée deE. SoitFun sous-espace vectoriel fermé deEvérifiantF?=E. On pose : d(x,F) := inf??y-x?;y?F?.

III.A.

(1,5 pt) Etant donnésx?E,y?Fetλ?R, établir les trois propriétés suivantes : (i) Tout sous-espace vectoriel contient l"origine0. Comme0?F, on a : (ii) Pourλ= 0, en appliquant le(i), on récupère :

Par ailleurs, pourλ?= 0, on a :

d(λx,F) = inf??λx-y?;y?F?= inf?|λ| ?x-λ-1y?;y?F? (iii) Enfin, commey?Fet puisque{y+z;z?F} ≡F, on a : d(x-y,F) = inf??x-y-z?;z?F?= inf??x-(y+z)?;z?F? = inf ??x-z?;z?F?=d(x,F). III.B.(1 pt) Etant donnésx?Eetx??E, montrer que : Par définition, on peut trouver deux suites(yn)n?FNet(y?n)n?FNtelles que : d(x,F) = limn→+∞d(x,yn), d(x?,F) = limn→+∞d(x?,y?n).

Commeyn+y?n?F, on peut écrire :

L"inégalité(iv)s"obtient en passant à la limite (n→+∞). III.C.(0,5 pt) Soitx?B(0,1]tel queα:=d(x,F)>0. Montrer que :

Par définition ded(x,F), on a :

?˜ε?R?+,?y?F;?x-y?< d(x,F) + ˜ε.Pour toutε?R?+, commeα?R?+, on aεα?R?+. On peut donc appliquer ce qui précède

avec˜ε=εα?R?+pour récupérer : ?˜ε?R?+,?y?F;?x-y?< α(1 +ε). Par ailleurs, puisquey?F, on a par définition :

III.D.

(1 pt) Soitx?B(0,1]tel queα:=d(x,F)>0. Montrer que pour toutε?R?+, on peut trouver˜x?B(0,1]tel qued(˜x,F) = (1 +ε)-1<1. Avecεcomme en III.C, le choix˜x=α-1(1+ε)-1(x-y)convient. En effet, l"inégalité de droite de la question III.C garantit˜x?B(0,1]. Par ailleurs, en exploitant successivement (ii)et(iii), on obtient : d(˜x,F) =α-1(1 +ε)-1d(x-y,F) =α-1(1 +ε)-1d(x,F) = (1 +ε)-1<1. III.E.(1 pt) Déduire de ce qui précède l"égalité :sup?d(x,F);x?B(0,1]?= 1. Pourx?B(0,1], la conditiond(x,F) = 0implique l"existence d"une suite(fn)n?FNqui converge versx. CommeFest fermé, cela impliquex?F. Ainsi, si pour toutx?B(0,1] on ad(x,F) = 0, c"est queB(0,1]?F. CommeE=??B(0,n];n?N?, cela conduit à

E?F, c"est à direE=F. Contradiction.

On peut donc trouverx?B(0,1]avecd(x,F)>0. En appliquant la question III.D pour les choixε= (1 +n)-1, on obtient une suite(˜xn)n?B(0,1]Nvérifiant : sup ?d(x,F);x?B(0,1]?≥limn→+∞d(˜xn,F) = limn→+∞(2 +n)(n+ 1)-1= 1.

Or, d"après le(i)de la question III.A, on a :

III.F.(1 pt) Démontrer à l"aide de ce qui précède le théorème du cours qui permet d"affirmer que si la bouleB(0,1]est compacte, alors leR-espace vectorielEest de dimension finie. On retrouve ici le théorème de Riesz dont on peut ici reproduire la preuve (vue en cours). Cela étant dit, les informations obtenues ci-dessus fournissent un argument plus direct. Supposons queB(0,1]soit compacte. Fixonsε?R?+. Alors, du recouvrement :

B(0,1]? ??B(x,ε[;x?B(0,1]?,

on peut extraire un sous-recouvrement fini : B(0,1]? ??B(xi,ε[;xi?B(0,1], i?I?, I={1,···,n}. On considère leR-sous-espace vectorielFdeEengendré par lesxi. CommeFest de dimension finie, il est fermé. Par construction,B(0,1]?F+εB(0,1[. Pour le contradiction avec les conclusions de la question III.E. DoncF=EetdimE=n <+∞. Exercice IV.SoitEl"espace des fonctions qui sont de classeC2sur[0,1], à valeurs réelles, et qui sont telles quef(0) = 0etf?(0) = 0. Etant donnéf?E, on pose : ?f?∞:= sup x?[0,1]|f(x)|, N(f) :=?f+ 2f?+f???∞. IV.A.(1 pt) Vérifier que l"applicationN(·)définit une norme surE.

L"homogénéité et l"inégalité triangulaire sont faciles à vérifier. SoitfavecN(f) = 0.

La fonctionfsatisfait l"équation différentielle ordinairef+ 2f?+f??= 0. L"espace des solutions est de dimension2, engendré par les fonctionse-xetxe-x. Toute solution s"écritλe-x+μxe-x. Pour qu"elle puisse être compatible avec les conditionsf(0) = 0 etf?(0) = 0, il faut imposerλ= 0et-λ+μ= 0, ce qui donne(λ,μ) = (0,0)ouf= 0. IV.B.(1 pt) Les deux normes? · ?∞etN(·)sont-elles comparables ? Oui. On poseh:=f+f?etg:=f+ 2f?+f??=h+h?. On ah(0) = 0de sorte que : e xf(x) =? x

0eth(t)dt, exh(x) =?

x

0etg(t)dt.

Par conséquent :

|f(x)|=????? x 0? ?t

0es-xg(s)ds?

x 0? ?t

0|g(s)|ds?

1 0tdt. IV.C.(1 pt) Les deux normes? · ?∞etN(·)sont-elles équivalentes ? Non. Pour la suite(fn)n?N??ENdéfinie parfn(x) =xsin(nx), on a : On ne peut donc pas contrôler uniformémentN(f)par une constante fois?f?∞. Exercice V.On se place sur l"espace métrique(X,δ)oùX=]0,+∞[et : ?(x,y)?X2, δ(x,y) =|lnx-lny|. V.A.(1 pt) Montrer que l"espace métrique(X,δ)est complet.

Soit(xn)n?XNune suite de Cauchy. Ainsi :

Pourp=netq=N, cela conduit à :

accoissements finis fournit : ?(x,y)?[a,b]2,?c?]x,y[?[a,b];δ(x,y) =c-1|y-x|.

Il s"ensuit que :

Ainsi, en restriction à[a,b], les deux distancesδet|·|sont équivalentes. Comme l"espace métrique([a,b],| · |)est complet (fermé dans un complet), la suite de Cauchy(xn)n≥N est convergente dans[a,b](pour les deux distances). V.B.(1 pt) Soitfune application de classeC1deXdansXvérifiant :

Montrer quefa un point fixe unique dansX.

On sait que(X,δ)est complet. Pour pouvoir appliquer le théorème du point fixe, il suffit d"établir quef: (X,δ)-→(X,δ)est contractante de rapportk. C"est le cas puisque : ?f(x),f(y)?=|lnf(x)-lnf(y)|=????? y xf ?(t)f(t)dt???? y x? ???f?(t)f(t)? y xkt dt=kδ(x,y), x < y .

Exercice VI.

Soit(X,δ)un espace métrique. On considère l"ensembleF=C0?X;[0,1]? des fonctions continues deXdans[0,1]et l"espaceT= [0,1]Fmuni de la topologie produitTp. On introduit aussi l"applicationθ:X-→Tdéfinie parθ(x) =?f(x)? f?F.

VI.A.(1 pt) Expliquer pourquoiθest continue.

La proposition 1.7.7 du cours permet d"affirmer queθest continue si et seulement si, pour toutf?F, l"applicationX-→[0,1]qui àxasocief(x)est continue, ce qui revient

à la continuité defmise en hypothèse.

VI.B.(1 pt) Montrer queθest injective.

Soit(x,y)?X2deux points avecx?=y. Le lemme d"Urysohn permet de trouver une fonction˜f? C0?X;[0,1]?valant0enxet1eny. Ou considérer : f:X-→[0,1],˜f(z) :=δ(z,x)δ(z,x) +δ(z,y). On aθ(x)?=θ(y)puisque leurs coordonnées correspondant au choix de˜fdiffèrent. VI.C.(2 pt) Montrer que l"applicationθ:X-→θ(X), oùθ(X)est muni de la topologie induiteTisurθ(X)parTp, est une application ouverte, c"est à dire que l"image de tout ouvert de(X,δ)est un ouvert de?θ(X),Ti?. C"est une question bonus, donc plus difficile. En appliquant le même argument que la question VI.B, on constate que la famille{Uf}f?FavecUf:=f-1(]0,1])est une base de voisinages ouverts deX. Il suffit donc de vérifier que, pour toutf?F, l"ensembleθ(Uf) est un ouvert deθ(X)pourTi. Cela résulte de ce que : W:=θ(Uf) =V∩θ(X), V:=?z?T;f(z)>0?? Op=?W? Oi.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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