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Cours de topologie métrique

Petru Mironescu

2005
2

Table des matières

1 Espaces métriques

5

1.1 Norme, distance, topologie

5

1.2 Intérieur, adhérence

9

1.3 Suites

11

1.4 Caractérisation des ensembles à l"aide des suites

13

1.5 Sous-espaces

13

1.6 Equivalence

15

1.7 Espaces produit

16

1.8 Compléments

17

2 Continuité21

2.1 Caractérisations de la continuité

21

2.2 Opérations avec les fonctions continues

25

2.3 Exemples d"applications continues

27

2.4 Convergence uniforme

28

2.5 Homéomorphismes

28

3 Espaces complets

31

3.1 Complétude

31

3.2 Théorème du point fixe

36

3.3 Séries

38

4 Compacité41

4.1 Fonctions continues sur un compact

44

4.2 Exemples d"espaces compacts

45

4.3 Compléments

48
3

4TABLE DES MATIÈRES

5 Connexité51

5.1 Exemples d"espaces connexes

54

5.2 Connexité par arcs

57

Chapitre 1

Espaces métriques

1.1 Norme, distance, topologie

Définition 1.SoitEun espace vectoriel (e. v.) réel. UnenormesurEest une applicationx7! kxkdeEdansR+= [0;1[telle que : (N1)kxk= 0()x= 0; (N2)jxk=jjkxk;82R;8x2E; (N3)kx+yk kxk+kyk;8x;y2E(inégalité triangulaire).

Exemple 1.On rappelle que, dansRn,kxk2=

nX i=1x 2i 1=2 est une norme (la norme euclidienne standard); ici,x= (x1;:::;xn). Exemple 2.On vérifie aisément que, dansRn, les formuleskxk1=nX i=1jxijet kxk1= maxfjx1j;:::;jxnjgdéfinissent des normes.

Exemple 3.Pour1< p <1etx2Rn, on définitkxkp=

nX i=1jxijp 1=p (pour p= 2, on retrouve le cas particulier de la norme euclidienne).k kpvérifie clairement (N1) et (N2). On peut montrer quek kpvérifie aussi (N3); c"est l"inégalité de 5

6CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

Minkowski prouvée à la fin de ce chapitre. Par conséquent,k kpest une norme. Plus généralement, si on a une normek kjsurEj,j= 1;:::;n, alorskxkp= k(kx1k1;:::;kxnkn)kp,1p 1, est une norme surE=E1E2:::En. SurR, toutes les normes définies ci-dessus coïncident avec l"applicationx7! jxj.

Cette norme est lanorme usuellesurR.

Définition 2.Unespace norméest un couple(E;k k), oùk kest une norme sur E. Définition 3.SoitXun ensemble non vide. Unedistance (métrique)surXest une application(x;y)7!d(x;y)deXXdansR+telle que : (D1)d(x;y) = 0()x=y; (D2)d(x;y) =d(y;x);8x;y2X; (D3)d(x;y)d(x;z) +d(z;y);8x;y;z2X(inégalité triangulaire). Exemple 4.Soit(E;k k)un espace normé. On posed(x;y) =kxyk,8x;y2X. Alorsdest une distance surE. En effet, (D1) découle de (N1). Pour vérifier (D2), on note que d(y;x) =kyxk=k(1)(xy)k=j 1jkxyk=kxyk=d(x;y):

Enfin, (D3) est une conséquence de (N3) :

d(x;y) =kxyk=k(xz) + (zy)k kxzk+kzyk=d(x;z) +d(z;y): Ainsi, toute norme définit une distance associée. La distance associée à la norme usuelle surRest ladistance usuellesurR. Exemple 5.Sur tout ensemble non videXon peut définir une distance. Par exemple, en posantd(x;y) =(

0;six=y

1;six6=y. C"est ladistance trivialesurX.

Définition 4.Unespace métriqueest un couple(X;d), oùdest une distance surX.

1.1. NORME, DISTANCE, TOPOLOGIE7

Définition 5.Soit(X;d)un espace métrique. Pourx2Xetr >0, on définit : a) laboule ouverte de centrexet rayonr:B(x;r) =fy2X;d(y;x)< rg; b) laboule fermée de centrexet rayonr:B(x;r) =fy2X;d(y;x)rg; c) lasphère de centrexet rayonr:S(x;r) =fy2X;d(y;x) =rg. Exemple 6.DansRmuni de la distance usuelle,B(1;1) =]0;2[. Exemple 7.DansR2muni de la normek k1et de la distance associée,B(0;1) = [1;1]2. Définition 6.Soit(X;d)un espace métrique. Par définition, une partieUdeX est unouvertsi, pour toutx2U, il existe unr >0tel queB(x;r)U.

N. B.En principe,rdépend dex.

Exemple 8.DansRmuni de la distance usuelle,U=]0;1[est un ouvert. En effet, si on pose, pourx2U,r= minfx;1xg, on vérifie aisément queB(x;r)U. Définition 7.Soit(X;d)un espace métrique. Latopologiede(X;d)est

T=fUX;Uest un ouvertg:

Définition 8.Soit(X;d)un espace métrique. Un ensembleFXestfermési son complémentaireFcest ouvert. Exemple 9.;etXsont à la fois ouverts et fermés. Proposition 1.a) Pour toutx2Xet toutr >0,B(x;r)est un ouvert. b) SiUiest un ouvert,8i2I, alors[ i2IU iest un ouvert. c) Soitn2N. SiUiest un ouvert,i= 1;:::;n, alorsn\ i=1U iest un ouvert. Démonstration.a) Soity2B(x;r). On a=rd(y;x)>0. On va prouver que

B(y;)B(x;r). En effet,

z2B(;y) =)d(z;y)< =)d(x;z)d(z;y)+d(y;x)< +d(y;x) =r=)z2B(x;r):

8CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

b) Soitx2[ i2IU i. Il existe uni02Itel quex2Ui0.Ui0étant ouvert, il existe un r >0tel queB(x;r)Ui0. Pour ce mêmer, on aB(x;r)[ i2IU i. c) Soitx2n\ i=1U i. On ax2Ui,i= 1;:::;n. ChaqueUiétant ouvert, il existe unri>0tel queB(x;ri)Ui,i= 1;:::;n. Soitr= minfr1;:::;rng. Alors B(x;r)B(x;ri),i= 1;:::;n, et doncB(x;r)Ui,i= 1;:::;n. Il s"ensuit que B(x;r)U.Proposition 2.a) Pour toutx2Xet toutr >0,B(x;r)est un fermé. b) Soitn2N. SiFiest un fermé,i= 1;:::;n, alorsn[ i=1F iest un fermé. c) SiFiest un fermé,8i2I, alors\ i2IF iest un fermé. Démonstration.a) On doit montrer queB(x;r)cest un ouvert. Soity2B(x;r)c; ysatisfait doncd(y;x)> r. Soit=d(y;x)r >0. On a z2B(y;) =)d(z;x)d(y;x)d(z;y)> d(y;x)=r=)z2B(x;r)c; autrement dit, on aB(y;)B(x;r)c. Les propriétés b) et c) s"obtiennent de b) et c) de la proposition précédente par

passage au complémentaire.Exemple 10.DansRmuni de la distance usuelle, tout intervalle ouvert est ouvert,

tout intervalle fermé est fermé. Un intervalle de la forme] 1;a]ou[a;+1[est fermé. En effet,Rest ouvert. Un intervalle de la forme]a;b[, aveca,bfinis, est une boule ouverte :]a;b[=B(x;r), oùx= (a+b)=2,r= (ba)=2. De même,[a;b]est une boule fermée. Par ailleurs,]a;+1[=[ n2N]a;a+n[, et donc]a;+1[est ouvert. Par le même raisonnement,] 1;a[est ouvert. Il s"ensuit que[a;+1[=] 1;a[cest fermé, et, de même,] 1;a]est fermé.

1.2. INTÉRIEUR, ADHÉRENCE9

1.2 Intérieur, adhérence

Définition 9.Soit(X;d)un espace métrique. PourAX, on définit l"intérieur deA,A, parA=[

Uouvert; UAU

et l"adhérence deA,A, parA=\

Ffermé; FAF:

Proposition 3.a)Aest un ouvert contenu dansA.

b) SiUest un ouvert etUA, alorsUA.

Autrement dit,

Aest le plus grand ouvert contenu dansA.

a")Aest un fermé contenantA. b") SiFest un fermé etFA, alorsFA. Autrement dit,Aest le plus petit fermé contenantA. Démonstration.a)Aest une union d"ouverts contenus dansA, donc un ouvert contenu

dansA. b) Par définition! La preuve est identique pour a"), b").Exemple 11.On considère, dansRmuni de la distance usuelle,A= [0;1[. Alors

A=]0;1[etA= [0;1].

En effet,]0;1[est un ouvert contenu dansA,[0;1]est un fermé contenantA, et donc ]0;1[AAA[0;1]. On a donc soitA=A, soitA=]0;1[. Pour éliminer la première possibilité, on montre queAn"est pas un ouvert. Par l"absurde : sinon, il existe unr >0tel queB(0;r) =]r;r[A. Or,r=22B(0;r), maisr=262A. Contradiction. PourA, il y a aussi deux possibilités :A= [0;1]ouA=A. On n"est pas dans le deuxième cas, carAn"est pas fermé. Ceci revient à montrer que A c=] 1;0[[[1;+1[n"est pas un ouvert et se démontre par l"absurde (il n"y a pas der >0tel queB(1;r)Ac).

10CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

Proposition 4.a) On aAB=)ABetAB.

b)x2A() 9r >0tel queB(x;r)A. c) A=XnA cetA=XnAc. d)x2A() 8r >0,B(x;r)\A6=;.

Démonstration.a) Evident.

b) "=)" Six2A(qui est un ouvert), il existe unr >0tel queB(x;r)AA. "(="B(x;r)est un ouvert contenu dansA, et doncB(x;r)A. Commex2

B(x;r), on ax2A.

c) On prouve la première égalité, qui revient, après passage au complémentaire, à XnA=A c. (Le raisonnement est le même pour la seconde égalité.) On a A=[

Uouvert; UAU=)XnA=\

Uouvert; UAU

c=\

Ffermé; FAcF=A

c: d) On a, d"après c), x2A()x62Ac() 8r >0;B(x;r)6Ac() 8r >0;B(x;r)\A6=;:Proposition 5.a)Uouvert()U=U. b)Ffermé()F=F. c)Uouvert()Uest une union de boules ouvertes. Démonstration.a) "(=" est claire, carUest un ouvert. Réciproquement, siUest ouvert, alors le point b) de la proposition précédente impliqueUU. Par ailleurs, on a toujoursUU, d"où l"égalité voulue. b) Par passage au complémentaire de a) :Ffermé()Fcouvert()Fc=Fc=

XnF()F=F.

1.3. SUITES11

c) "=)" Pour toutx2U, il existe unrx>0tel quefxg B(x;rx)U. Alors U=[ x2Ufxg [ x2UB(x;rx)U: "(=" Une boule ouverte étant un ouvert, une union de boules ouvertes est un ouvert.Proposition 6.a) Un ensemble fini est fermé. b)A[B=A[B. c)A\BA\B. En général, l"inclusion est stricte. d)

A\B=A\B.

e) A[BA[B. En général, l"inclusion est stricte. Démonstration.a)fxg=B(x;0), et donc un singleton est fermé. Une union finie de fermés étant un fermé, un ensemble fini est fermé.

b)AA[B=)AA[B; de même,BA[Bet par conséquentA[BA[B. Par ailleurs,A[Best un fermé contenantA[Bet doncA[BA[B.

c) CommeA\BA, on aA\BA; de même,A\BB, d"oùA\BA\B. Un exemple d"inclusion stricte : dansRmuni de la distance usuelle, on prendA= [0;1[,B=]1;2]. On a vu queA= [0;1]; par le même raisonnement,B= [1;2].

AlorsA\B=;=;, maisA\B=f1g.

d) Comme dans c), on a

A\BA\B. Par ailleurs,A\Best un ouvert contenu

dansA\Bet doncA\BA\B. e) L"inclusion se montre comme dans b). Un exemple d"inclusion stricte : on prendA,Bcomme dans c). Alors (pourquoi?)

A[B=]0;2[etA[B=]0;2[nf1g.1.3 Suites

Si(xn)est une suite, on notera une suite extraite (=sous-suite) soit par(xnk), soit parx'(n). Dans le premier cas,n0;n1;:::;est une suite strictement croissante

12CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

d"entiers; dans le second,':N!Nest une application strictement croissante. Par abus de notation, si tous les termes d"une suite(xn)appartiennent à un ensemble

X, on écrit(xn)X.

Définition 10.Soit(X;d)un espace métrique. Si(xn)Xetx2X, alors, par définition,xn!x((xn)convergeversx) si et seulement sid(xn;x)!0. Une suite(xn)est convergente s"il existe unx2Xtel quexn!x. On écrit alors x= limn!1xn. Traduction dexn!x: pour tout" >0, il existe unn02Ntel qued(xn;x)< " sinn0. Il est évident, à partir de la définition, que si(xn)!xet si(xnk)est une sous-suite, alorsxnk!x. DansRmuni de la distance usuelle, cette définition coïncide avec la définition usuelle de la convergence. Définition 11.Soit(X;d)un espace métrique. Si(xn)Xetx2X, alors, par définition,xest unevaleur d"adhérencede la suite(xn)s"il existe une sous-suite (xnk)telle quexnk!x. Exemple 12.DansRmuni de la distance usuelle, soitxn= (1)n,n2N. Alors

1est une valeur d"adhérence de(xn), carx2n!1.

Proposition 7.Sixn!x, alorsxest la seule valeur d"adhérence de la suite(xn). En particulier, la limite d"une suite convergente est unique. Démonstration.xest une valeur d"adhérence, car la suite extraite(xn)converge versx. Soityune valeur d"adhérence de(xn). Il existe une sous-suite(xnk)telle que x nk!y. Par ailleurs, on a aussixnk!x. On suppose par l"absurdey6=x. Alors d(x;y)>0. Posons"=d(x;y)=2>0. Commexnk!x, il existe unk1tel que d(xnk;x)< "sikk1; de même, il existe unk2tel qued(xnk;y)< "sikk2. Alors, pourk= maxfk1;k2g, on ad(x;y)d(x;xnk)+d(xnk;y)<2"=d(x;y), ce qui est absurde.

1.4. CARACTÉRISATION DES ENSEMBLES À L"AIDE DES SUITES13

1.4 Caractérisation des ensembles à l"aide des suites

Proposition 8.On aF=fx2X;9(xn)Ftelle quexn!xg:

Démonstration."" On considère unxappartenant à l"ensemble de droite. Soit r >0. Il existen0tel qued(xn;x)< r,nn0. En particulier,xn02B(x;r)\F, et doncB(x;r)\F6=;, d"oùx2F. "" Soitx2F. Pourn2N, on considère unxn2F\B(x;1=(n+ 1)). Alors

(xn)F,d(xn;x)<1=(n+ 1)et doncxn!x.Proposition 9.Fest un fermé()pour toute suite convergente(xn)Fon a

limn!1xn2F. Démonstration."=)" Sixest tel qu"il existe une suite(xn)Ftelle quexn!x, alorsx2F=F. "(=" Six2F, il existe une suite(xn)Ftelle quexn!x. Par conséquent, x2F, et doncFF. Comme on a toujoursFF, on trouveF=F, et doncF est fermé.1.5 Sous-espaces Si(X;d)est un espace métrique et siAX, alors la restriction dedàAA est une distance surA; c"est ladistance induitesurA. Par abus de notation, on désigne cette restriction encore pard, et on note l"espace métrique correspondant (A;d); c"est unsous-espacede(X;d). On peut considérer, dans ce nouveau espace métrique, des ouverts (fermés), appelés les ouverts (fermés) deA. Proposition 10.a)Vest un ouvert deA()il existe un ouvertU(deX) tel queV=U\A. a)Gest un fermé deA()il existe un ferméF(deX) tel queG=F\A. c) SiAest un ouvert (deX), alorsVest un ouvert deA()VAetVest un

14CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

ouvert (deX). c) SiAest un fermé (deX), alorsGest un fermé deA()GAetGest un fermé (deX). Démonstration.a) Six2Aetr >0, soitBA(x;r) =fy2A;d(y;x)< rg. Il est évident queBA(x;r) =B(x;r)\A. "=)" Six2V, il existe unrx>0tel que fxg BA(x;rx)V. On a donc V=[ x2Vfxg [ x2VB

A(x;rx) =[

x2VB(x;rx) \AV; d"oùV=U\A, avecU=[ x2VB(x;rx)ouvert deX. "(=" Soitx2V. On ax2U; il existe donc unr >0tel queB(x;r)U. Il s"ensuit queBA(x;r)U\A=V. b) Par passage au complémentaire de a) :Gfermé deA()AnGouvert deA() il existe un ouvertUdeXtel queAnG=U\A()(en posantF=Uc) il existe un ferméFdeXtel queG=F\A. c) "=)" SiVest un ouvert deA, il existe un ouvertUdeXtel queV=U\Aet alors clairementV\AetVest un ouvert deX. "(=" On aV=V\A, et doncVest un ouvert deA.

La preuve de d) est identique à celle de c).Proposition 11.SoitFun fermé non vide deR. SiFest majoré (respectivement

minoré), alorssupF2F(respectivementinfF2F). Démonstration.On suppose, par exemple,Fmajoré. Pour chaquen2N, il existe unxn2Ftel quesupF1=(n+1)< xnsupF. Il s"ensuit quexn!F, et donc supF2F.

1.6. EQUIVALENCE15

1.6 Equivalence

Définition 12.SoitEun e. v. réel. Deux normesk k1,k k2surEsontéquiva- lentes() 9C1;C2>0telles queC1kxk1 kxk2C2kxk1;8x2E. Définition 13.SoitXun ensemble non vide. Deux distancesd1,d2surXsontquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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