Espaces vectoriels
Correction exercice 6. Déjà une famille de 5 vecteurs dans un espace de dimension 4 est liée
Fiche dexercices corrigés – Vecteurs Exercice 1 : On se place dans
2. – yI c'est à dire 2 – yI = 15. 8. –. 3. 4. yI. La première égalité donne : 1. 4. xI = -. 7. 2. –. 9. 4. = -. 23. 4 donc xI = -23. La deuxième égalité donne :.
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE
On pourra rajouter des projetés orthogonaux sur le dessin pour s'aider. Exercice 4 : déterminer une valeur en radian de l'angle de vecteurs ( +?; ...
TRANSLATION ET VECTEURS
Exercices conseillés En devoir. Exercices conseillés En devoir La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur. ... peut s'écrire :.
Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
Composantes d'un vecteur suivant les coordonnées cartésiennes. forces centrales. À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés.
Exercices de mathématiques - Exo7
trouver un vecteur directeur de la droite D = P1 ?P2 ainsi qu'une équation paramétrée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [006870]. Exercice 7.
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
1.2.2 Corrigé : Différentielle et dérivée d'un vecteur unitaire La vitesse du point M s'exprime dans le rep`ere cartésien comme suit. V (M/R) =.
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés. 57. 1. Espace vectoriel des matrices d'Algèbre linéaire de la 1ère année universitaire.
Applications linéaires matrices
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Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Caractériser le vecteur vitesse de la balle lors de son impact sur le sol. Corrigé : 1. La méthode est rigoureusement la même que pour l'exercice de
VECTEURS – EXERCICES CORRIGES
1) Deux vecteurs égaux 2) Deux vecteurs de même direction de sens contraire et de normes différentes 3) Deux vecteurs de même direction de même sens et de normes différentes 4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme 5) Deux vecteurs opposés
Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs Exercice 1
Corrigé de cet exercice de maths sur Exprimer un vecteur en fonction de deux autres Exercice :15 Dans un repère on donne K ( - 3 ; 5) et L(4 ; 2) Déterminer l’abscisse du point M d’ordonnée - 2 tel que K L et M soient alignés Corrigé de cet exercice de maths sur Déterminer les coordonnées d'un point M Exercice :16
PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES - Meabilis
On cherche à déterminer une équation du plan (ABC) de la forme ax by cz d+ + = par deux méthodes différentes 1) a) Donner les coordonnées des vecteurs AB et AC Vérifiez que les points AB et C définissent un plan (ABC) b) Déterminer un vecteur normal n a b c(; ;) au plan (ABC)
Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs Exercice 1
Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigés sur Les vecteurs Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs Exercice 1 : On se place dans un repère (O ; ?i ?j ) Soient les points A(- 7 2; 2) B(-2 ; 5) C(5 ; 13 2) D(3 ; 5 2) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et ? CD ? 2
Version corrigée Vecteurs : colinéarité Page 1 sur 6
Version corrigée Fiche d’exercices - CH06 Vecteurs : colinéarité Page 1 sur 6 A Multiplication d’un vecteur par un réel 1 Multiplication d’un vecteur par un réel Dans chaque cas indiquer le nombre manquant en s’aidant de cette ?gure 1 v~ =3 u~ 2 y~ =1;5 x~ 3 ~b =2 ~a 4 n~=2 m~ 5 u~ = 1 4 w~ 6 u~ = 1 3 y~ 7 ~b = 2 3 ~c 8
Exercices sur les vecteurs
Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs On donne trois vecteurs ?? u ?? v et ?? w Sur les deux ?gures suivantes tracer la somme ?? u + ?? v + ?? w de deux manières : • (?? u + ?? v ) + ?? w ?? u ?? v ?? w • ?? u +(?? v + ?? w
Valeurs propres vecteurs propres - e Math
vecteurs propres Dans ce chapitre nous allons dé?nir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes Notations K est un corps
Exercices sur les vecteurs
Exercices sur les vecteurs Exercice 1 ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O (1) Compléter par un vecteur égal : a) AB = JJJG b) BC = JJJG c) DO = JJJG d) OA = JJJG e) CD = JJJG (2) Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier : a) OB = OC JJJGJJJG b) [AB] = [DC] c) OA
Vecteurs droites et plans dans l’espace – Exercices - Devoirs
Les systèmes de vecteurs suivants représentent-ils une base de l’espace : 1 ?u(1;0;2) ?v(4;?1;2) ?w(?10;3;?2) 2 ?u(1;2;3) ?v(2;1;3) ?w(3;1;2) Exercice 12 corrigé disponible SABCD est une pyramide de sommet S de base un parallélogramme ABCD Les points M et N sont les milieux respectifs des arêtes [SC] et [SB] 1
Fiche d’exercices corrigés – Vecteurs Coordonnées
Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigés sur Les vecteurs Coordonnées AI – Vecteurs - CORRIGE Exercice 1 Pour vérifier si les points A B et C sont-ils alignés on peut vérifier que le déterminant des vecteurs AB et AC est nul Nous avons 1 7 ( ) 2 2 3 1 ( ) 2 2 AB ?? ?? donc 4 2 AB
Composantes d'un vecteur - Exercices corrig s 1
a)Quelles sont les coordonnées des vecteurs AB AD et BD ? b)Calculer les longueurs des segments [AB] [AD] et [BD] c)Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A d)Construire le point C tel que AC = AB + AD e)Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle f)Déterminer les coordonnées du point C Solution :
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b)Position des points N C et M : NC = AB et CM = AB donc NC = CM donc C est milieu de [NM] Exercice 4 : Soient AB et C trois points non alignés
Quels sont les exercices corrigés sur les vecteurs?
- Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigés sur Les vecteurs Correction Exercice 1: Dans un repère (O ;???i ,???j ), A(-7 2 ; 2), B(-2 ;5), C(5 ; 13 2 ) et D(3 ; 5 2 ). 1. AB ???
Quels sont les différents types de vecteurs?
- 1) Deux vecteurs égaux 2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes 3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes 4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme. 5) Deux vecteurs opposés.
Comment calculer les coordonnées des vecteurs?
- Exercice n°14 1) On calcule les coordonnées des vecteurs 1 1 1 B A B A B A x x AB y y z z ? = ? =? ? = 2 1 0 C A C A C A x x AC y y z z ? =? ? = ? = Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires car il n’existe pas de réel k unique satisfaisant aux trois conditions 2 1 0 k k k ? =? ? ?? = ?? =
Comment calculer la associationtivité de la somme de trois vecteurs ?
- SecondeS Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs. On donne trois vecteurs ?? u , ?? v et ?? w . Sur les deux ?gures suivantes tracer la somme ?? u + ?? v + ?? w de deux manières : • (?? u + ?? v ) + ?? w ?? u ?? v ?? w • ?? u +(?? v + ?? w ) ?? u ?? v ?? w
1 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TRANSLATION ET VECTEURS Activités de groupe : La Translation (Partie1) : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf La Translation (Partie2) : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr2.pdf Activité conseillée Activité conseillée p150 activité1 : Attention, ça glisse ! p148 activité1 : Attention, ça glisse ! ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 I. Translation Exemple : B 80m Une translation est un glissement : A - avec une direction donnée : câble du téléphérique, la droite (AB), - avec un sens donné : le téléphérique monte de A vers B, - avec une longueur donnée : 80m, longueur AB On dit que : Le téléphérique T' est l'image du téléphérique T par la translation qui transforme A en B. Définition : Soit P et P' deux points distincts du plan. On appelle translation qui envoie P sur P' la transformation dont l'image F' d'une figure F est obtenue en faisant glisser la figure F : - selon la direction de la droite (PP'), - dans le sens de P vers P', - d'une longueur égale à PP'. T ' T P P' F F'
2 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Construire l'image d'une figure par une translation Vidéo https://youtu.be/8Jb9cMOeYSk Soit t la translation qui transforme A en A'. Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par la translation t. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p171 n°1 à 3 p171 n°4 p166 n°1 à 4 p166 n°5 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 II. Vecteurs 1. Définition : Définition : Soit t la translation qui envoie A sur A', B sur B' et C sur C'. Les couples de points (A ; A'), (B ; B') et (C ; C') définissent un vecteur caractérisé par : - une direction : celle de la droite (AA'), - un sens : de A vers A', - une longueur : la longueur AA'.
3 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr On note
u ce vecteur et on écrit : u AA' . On dit que AA' est un représentant de u BB' et CC' sont également des représentants de u. Remarque : La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur. " vecteur » vient du latin " vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation
ABen 1920. A l'origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents. Activités de groupe : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Act_vect.pdf TP info : Bonhommes et dromadaires : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/bonhom.pdf http://www.maths-et-tiques.fr/telech/droma.pdf 2. Egalité de vecteurs Définition : Les vecteurs
AB et CD sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur. On note AB CD . Exemple : Ci-dessous, on peut poser : u AB CD AB et CD sont des représentants du vecteur u . C C' B B' A A' A C D B AB CD u4 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété du parallélogramme : Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts. Dire que les vecteurs
AB et CDsont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Démonstration : - Si
AB CD , la translation de vecteur ABtransforme le point C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction. Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. - Réciproquement : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs
AB et CD, définis à l'aide des segments [AB] et [CD] d'un parallélogramme ABDC, sont égaux. Méthode : Construire un point défini à partir de vecteurs Vidéo https://youtu.be/zcQPz4dfnn0 A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que :
DE BC CF DC BG AB HA BCExercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir -p171 n°5, 6 Ex 1 et 2 (page15) -p177 n°77 Ex 4 à 6 (page15) Ex 3 (page15) -p166 n°5 Ex 1 et 2 (page15) -p170 n°58 Ex 4 à 6 (page15) Ex 3 (page15) ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 B A D C D C B A H A G B D C F E A D B C
5 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété du milieu : Dire que B est le milieu du segment [AC] revient à dire que
AB et BC sont égaux. 3. Vecteur nul Définition : Un vecteur AB est nul lorsque les points A et B sont confondus. On note : AB 0 . Remarque : Pour tout point M, on a : MM 0. 4. Vecteurs opposés Il ne faut pas confondre sens et direction ! Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB). Cependant une direction possède deux sens, ici de " A vers B » ou de " B vers A ». Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
AB et BA sont des vecteurs opposés. On note BA ABExercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p172 n°8 et 9 p171 n°7 p178 n°90 p178 n°87 p173 n°67, 68 p176 n°111* p176 n°108 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 A B C B A
AB BC A B AB BA6 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr III. Somme de vecteurs 1. Définition Exemple : Soit t1 la translation de vecteur
u et t2 est la translation de vecteur v. Appliquer la translation t1 puis la translation t2 : t1 t2 M M1 M2 revient à appliquer la translation t de vecteur
w: t M M2 Propriété : La composée (ou l'enchaînement) de deux translations est une translation. Définition :
u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle somme des vecteurs u et v , notée u v , le vecteur w associé à la translation composée des translations de vecteurs u et v. 2. Une relation fondamentale La relation de Chasles : Pour tous points A, B et C du plan, on a :
AC AB BC . Remarque : Dans le triangle ABC, on a également les relations : AB AC CB BC BA AC AB AC BCA C B
7 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n'est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, on raconte qu'il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d'arc à sa mère, Vercingétorix à César,...) ! Méthode : Appliquer la relation de Chasles Vidéo https://youtu.be/fbVrdYiY0qc Simplifier les écritures : a)
AM MN b) MP AM c) OP KO NK d) MN NM e) MO PM OP f) KN ON OK a) AM MN b) MP AM c) OP KO NK AN AM MP KO OP NK AP KP NK NK KP NP d) MN NM e) MO PM OP f) KN ON OK MM MO OP PM KN NO OK 0 MP PM KO OK MM 0 KK 0Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 7 à 9 (page15 et 16) p172 n°21 p172 n°20 p167 n°18, 19, 21 p173 n°77 p174 n°79, 80 p167 n°20 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 TP conseillé TP conseillé TP Tice2 p163 : Démontrer avec les vecteurs TP Tice3 p163 : Somme nulle p162 TP5 : Démontrer avec les vecteurs p163 TP6 : Somme nulle ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 3. Conséquence : Propriété caractéristique du parallélogramme : Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que
AC AB AD , B A C D8 sur 17 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Démonstration : D'après la relation de Chasles, l'égalité
AC AB AD peut s'écrire : AD +DC =AB +AD soit DC =AB , soit encore : ABCD est un parallélogramme. 4. Différence de deux vecteurs Définition : u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle différence du vecteur u avec le vecteur v , le vecteur noté u v , tel que : u v u v). Méthode : Construire un point défini à partir d'une somme de vecteurs Vidéo https://youtu.be/nzABUzFM6p8 Soit un triangle ABC. Construire le point F tel que
AF BA BCOn construit à partir de A (origine de
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