[PDF] Planche d’exercices Colles de mathématiques en BCPST1

Calculs de sommes

Exercice 2.(*).Mon trerque p ourn>1,Sn=nX

Exercice 3.(**).P ourn>0, calculer les sommes

Exercice 5.(**).P ourn>1, calculer les sommes

Exercice 6.(**).Calculer les sommes

16i b.) X

16i;j6nj

c.) X

16i d.) X

16i;j6nmin(i;j):

Exercice 7.(***).Soit x2Retn2N.

a.) À l"aide de la form uledu binôme de Newton, calculer Z x 0 (1 +t)ndt: 8 b.)En déduire nX k=01k+ 1 n k

Exercice 8.(***).Soit x2Retn>1.

a.)

Exprimer

S n(x) =nX k=0x k en fonction dex. b.)

En déduire une expression de

T n(x) =nX k=0kx k: Exercice 9.Transformation d"Abel.(***).On se considère (an)n2Net(Bn)n2Ndeux suites réelles, et on définit, pourn2N, A n=nX k=0a k; bn=Bn+1Bn: a.)

Mon trerque p ourn2N,

n X k=0a kBk=AnBnn1X k=0A kbk: b.)

En déduire la v aleurde

nX k=0k2k: 9

5 Semaine 5

Équations et inéquations, équations et inéquations mettant en jeu des fonctions trigono- métriques, le logarithme, la valeur absolue. Calcul de somme, démonstration par récurrence, coefficients binomiaux, sommes doubles. Nombres complexes, applications à la trigonomé- trie.

Équations et inéquations

Exercice 1.(*).Résoudre dans Rles inéquations a.)jln(x2)j>2 b.)jsin(x=2)j>1=2 c.)jtan()j61.

Calculs de sommes

Exercice 2.(**).Soit a;b;c2R. Déterminer le coefficient devanta3b4cdans(a+b+c)8.

Exercice 3.(**).a .)P ourn>0, calculer les sommes

n X k=0 n k ;etnX k=0kn k b.)

P ourn>1, calculer la somme

nX k=11k(k+ 1):

Exercice 4.(**).Calculer les sommes

a.)X

16i b.) X

16i;j6nj

c.) X

16i d.) X

16i;j6nmin(i;j):

Exercice 5.(***).Soit x2Retn2N.

a.) À l"aide de la form uledu binôme de Newton, calculer Z x 0 (1 +t)ndt: b.)

En déduire

nX k=01k+ 1 n k 10

Exercice 6.(***).Soit x2Retn>1.

a.)

Exprimer

S n(x) =nX k=0x k en fonction dex. b.)

En déduire une expression de

T n(x) =nX k=0kx k: Exercice 7.Transformation d"Abel.(***).On se considère (an)n2Net(Bn)n2Ndeux suites réelles, et on définit, pourn2N, A n=nX k=0a k; bn=Bn+1Bn: a.)

Mon trerque p ourn2N,

n X k=0a kBk=AnBnn1X k=0A kbk: b.)

En déduire la v aleurde

nX k=0k2k:

Nombres complexes

Exercice 8.(*).Linéariser les expressions suiv antes: a.)cos5(x) b.)sin5(x) c.)cos2(x)sin3(x): Exercice 9.(*).Écrire les e xpressionssuiv antescomme des p olynômesen cos(x)etsin(x) a.)cos(5x) b.)sin(4x) c.)sin(5x): Exercice 10.(*).Résoudre dans Cles équations a.)z24z+ 5 = 0 b.)4z2+ 4z+ 9 = 0 c.)z22p3z+ 4 = 0: 11 Exercice 11.(**).Déterminer l"en semblede nom bresco mplexesz2Ctels quez,1=zet

1zaient le même module.

Exercice 12.(**).Résoudre dans Cl"équation

z 3=z: Exercice 13.(**).Soit z2Ctel quejzj= 1etz6= 1. Montrer que i z+ 1z1 2R: Exercice 14.(**).On dit que n2Nest somme de deux carrés si il existea;bdansNtels quen=a2+b2. a.)

Mon trerque 5 es tsomme de deux carrés.

b.) Mon trerque si netpsont sommes de deux carrés, alorsnpest aussi somme de deux carrés. c.) En déduire la décomp ositionde 20 05comme somme de deux carrés en connaissan t celle de 5 et de401 = 202+ 12. Exercice 15.(**).Soit x2R. Pourn>0, calculer les sommes a.) nX k=0cos(kx);nX k=0sin(kx): b.) nX k=0cos

3(kx):

c.) nX k=0 n k cos(kx): d.) nX k=0kcos(kx);nX k=0ksin(kx):(Indication :utiliser la questiona.)). 12

6 Semaine 6

Nombres complexes, applications à la trigonométrie. Résolution de systèmes linéaires.

Nombres complexes

Exercice 1.(*).Linéariser les expressions suiv antes: a.)cos5(x) b.)sin5(x) c.)cos2(x)sin3(x): Exercice 2.(*).Écrire les e xpressionssuiv antescomme des p olynômesen cos(x)etsin(x) a.)cos(5x) b.)sin(4x) c.)sin(5x):

Exercice 3.(*).Résoudre dans Cles équations

a.)z24z+ 5 = 0 b.)4z2+ 4z+ 9 = 0 c.)z22p3z+ 4 = 0: Exercice 4.(**).Déterminer l"ensem blede nom brescomplexes z2Ctels quez,1=zet

1zaient le même module.

Exercice 5.(**).Résoudre dans Cl"équation

z 3=z: Exercice 6.(**).Soit z2Ctel quejzj= 1etz6= 1. Montrer que i z+ 1z1 2R: Exercice 7.(**).On dit que n2Nest somme de deux carrés si il existea;bdansNtels quen=a2+b2. a.)

Mon trerque 5 es tsomme de deux carrés.

b.) Mon trerque si netpsont sommes de deux carrés, alorsnpest aussi somme dequotesdbs_dbs17.pdfusesText_23