[PDF] Master 2 SID 2007-2008 Université Paul Sabatier Maitrise

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Master 2 SID 2007-2008Universite Paul Sabatier

Maitrise statistique des procedes

Introduction

Ceci est la mise au propre d'un cours donne par Virginie Mas-Leroux et Monique Pontier. Il s'appuie sur l'experience de Madame Leroux et sur la bibliographie donnee en annexe (essentiellement les ouvrages de Baillargeon [2, 3] et Pillet [5]).

Plan :

Capabilite(s)

Cartes de contr^oles

Plans d'echantillonnage simple

Plans d'echantillonnage double

Cartes multi-criteres

Cas des petites series

AMDEC

Caracteristiques cles

1

1 Capabilite d'un procede

1.1 Specications d'un procede

Lorsqu'un objet est produit en serie au cours d'un procede (de fabrication), certaines de ses caracteristiques sont numeriques : elles doivent ^etre imperativement proches d'un objectif ideal, comprises dans une fourchette \acceptable". Celle-ci est xee par le bureau d'etudes. Denition 1.1On appelle \specications" un couple de valeurs(Ti;Ts)entre lesquelles doit se trouver la grandeur mesurableXconcernee. On les appelle aussi \tolerances inferieure et superieure". Ce mot de \tolerance" est egalement utilise mais dans un autre sens en abilite (cf. le cours correspondant du second semestre), ou l'on parle aussi de \limites de dispersion". Ces limites sontetablies par l'ingenieur-concepteur pour les valeurs individuelles mesurees, et non pour les moyennes sur des echantillons preleves. On se fonde sur l'hypothese (forte!) que ces mesures suivent une loi gaussienne N(m;2),met2devant ^etre estimees sur des echantillons. De fait, dans des cas assez rares, l'hypothese gaussienne n'est pas utilisee, mais par exemple il arive parfois que l'on utilise des lois du typeP(Xx) =eex: En general, on voudrait quemsoit l'objectif ideal etm=Ti+Ts 2 :Ceci n'est pas toujours le cas. Le but de ce chapitre est de donner un moyen qui permette de mesurer le risque de produire des objets defectueux (non conformes), i.e.Xjn'appartient pas a [Ti;Ts]:D'ou l'importance de maitriser l'usage de la loi gaussienne et des tables afferentes.

1.2 Quelques exercices sur la loi gaussienne

(i)Xest la mesure de la caracteristique etudiee. On suppose queXsuit la loiN(m;2) . CalculerPfXTig;PfXTsgen fonction deTi;Ts;m;2: . Application numerique :Ti= 7812;Ts= 78 + 12;m= 78;2= 3:8: . Quel est le pourcentage attendu d'objets non conformes ? (ii)Xest la mesure de la caracteristique etudiee. On suppose qu'un meilleur reglage de la production permet de diminuer:Que doit ^etrepour que le pourcentage de defectueux diminue de moitie ? 2 Soit la fonction de repartition de la loi gaussienne centree `reduite : (3:72) = 104;(4:265) = 105;(4:7534) = 106; (5:1993) = 107;(5:512) = 108;(5:998) = 109:

1.3 Determination de la capabilite d'un procede stable

Denition 1.2On dit qu'un procede est \stable" s'il a ete suffisamment teste et corrige pour que la suite des mesures(Xi)suive une loi gaussienne.

Au vu den kechantillons prealables, on admet que

- la loi est gaussienne, - la suite des moyennes (

Xi;i= 1;;n) est stable,

- la suite des etendues (Ri= maxj(Xj i)minj(Xj i); i= 1;;n) ou des ecarts-types (si) est stable. Question: quel outil statistique permet-il de tester correctement ces trois hypotheses ?

1.3.1 Estimation de

Deux cas sont distingues :k10 ouk10.

.k10;^=1 d 2(k)1 n ni=1Rioud2(k) est donne par une table, calcule en sorte que cet estimateur soit sans biais. .k10;^=1 c 4(k)1 n ni=1siouc4(k) est donne par une table, calcule en sorte que cet estimateur soit sans biais. C'est la pratique usuelle, tout a fait contestable, cet estimateur n'a pas beaucoup de proprietes, il vaudrait mieux choisir un estimateur uniformement plus puissant (UPP).

Question: que proposeriez vous a la place ?

k23456789 10 d

21:128 1:693 2:059 2:326 2:534 2:704 2:847 2:970 3:078

k10 12 14 15 16 18 20 22 25 c

40:9727 0:9776 0:9810 0:9823 0:9835 0:9854 0:9869 0:9882 0:9896

3 2 k1(k=2) ((k1)=2): Se verie, exercice, en calculantE(si)ou(k1)s2isuit une loi2k1, c'est a dire une loi k1 2 ;1 2 Ces estimateurs ne sont pas tres bons, on peut suggerer a la place l'estimateur UPP : ^=v uuut 1 n n i=11 k1k j=1(Xj iXi)2: Ce defaut provient de la rigidite des cartes de contr^oles qui font des releves par echantillon et ne memorise pas le detail des valeurs individuelles. On pourrait pourtant, puisqu'on calcule d'abord less2ien faire D'ABORD la moyenne, PUIS extraire la racine carree, plut^ot qu'extraire toutes les racines et d'en faire ENSUITE la moyenne....

1.3.2 Estimation dem

Classiquement ^m=1

n ni=1Xi;note souventX:

1.3.3 Estimation de la proportion de non conformes

Cette proportion est estimee par

PfXTig+^PfXTsg= (Ti^m

^) + (Ts+ ^m

1.3.4 Exemples

Exercice (Baillargeon page 137) : on considere un procede de placage en or de circuits imprimes. On dispose den= 25echantillons de taillek= 10de l'epaisseur du placage

X. On obtient∑

j=1;25Xj= 922:5et∑ j=1;25sj= 63:53:L'objectif est une epaisseur de

36; Ti= 30;Ts=1:Estimer les parametres de la variableXen supposant qu'elle est

gaussienne, en deduire le nombre de non conformes sur une production de 10 000 circuits.

X= 36:9 ; ^=63:53

25c4(10);PfX30g= (6:9

63:53250:9727) = (2:64)

4 ou est la fonction de repartition de la loi gaussienne standard. Le nombre non conformes attendu est de l'ordre de 410.

1.4 Indice de capabiliteCp

Denition 1.3Cp:=TsTi

6^:

Parfois, on appelle \capabilite" la quantite 6^.

Interpretation gaussienne

: siCp= 1;et si l'on supposem=T0=Ti+Ts 2 ;alors on obtient la proportion de non conformes suivante : p d=PfXTig+PfXTsg= (Tim ^) + 1(Tsm = (3) + 1(3) = 0:0024: SiCp>1;on a une proportion de defectueux de moins de 0:0024; SiCp<1;on a une proportion de defectueux de plus de 0:0024;ce qui n'est pas acceptable. Remarque 1.4Les praticiens aiment bien queCp= 1:33ce qui correspond aTsm ^= 4; et a une proportion de defectueux de6pour 100 000. Sim̸=T0;cette estimation n'est plus tres rigoureuse, le nombre effectif de non con- formes augmente si l'intervalle[Ti;Ts]croit ou decroit, le pire etant atteint lorsqueTiou T s=m; dans ce cas la proportion de non conformes peut atteindre50pour cent. D'ou la necessite de denir d'autres indices.

1.5 Autres indices de capabilite

Denition 1.5Cpk:= min(TsX

3^;XTi

3^); Cpu:=TsX

3^; Cpl:=XTi

3^: Ces indices pallient bien l'inconvenient quemdiffere de la valeurT0:

Proposition 1.6Cp=Cpk,X=T0:Plus precisement

C pCpk=jc0Xj 3^:

Preuveen exercice.

5

1.6 Interpretation probabiliste deCpk

Si l'on revient a la denition deCpken acceptant l'hypothese gaussienne avec les parametres estimes (X;^);et siCpk2:5;alors l'evenementfXTig[fXTsgest de probabilite evaluee par PfXX ^TiX ^g+PfXX ^TsX ^g majoree par 2(1(3Cpk)) puisque min(TsX ^etXTi ^)3Cpkce qui majore la proportion de non conformes : la proportion de non conformes est majoree par2(1(3Cpk)). Exercice : evaluer cette proportion de non-conformes pourCpkvariant de 2.5 a 0.8.

1.7 Capabilites theorique et pratique

Si l'on connait lavraievaleur de, la capabilite \theorique" estCthp=TsTi

6:On voudrait

que cette quantite soit superieure aC0;valeur \ideale" de capabilite. Mais on ne dispose que de l'estimation ^: (i) Lorsqueou plut^ot2est estime a partir des variances experimentales desk-echantillons, soit : s 2i=1 k1k j=1(xj ixi)2; i= 1;;n; on obtient ^2=1 n is2i=1 n(k1)∑ i∑kj=1(xj ixi)2auquel casn(k1)^2suit une loi de khi-deux ap=n(k1) degres de liberte. Ceci donne2dans un intervalle de conance :

2p[bp;1[= 0:95 =Pfp(^

)2bpg; p b psoit C thp=Cexpp^ b p p p b pC 0: p b pC0) C thpC0: 6 Il existe des tables pour cela. Mais il vaut mieux se rappeler que pourp30;la loi 22pp

2p1 est a peu pres la loi gaussienne centree reduite.

Exercice : Si l'on veut une \conance" de1;le coefficient correcteur dans le cas p30estp=p 2p p

2p1+qouqest lequantile de la loi gaussienne standard (soit

PfYqg=).

Preuve: SoitYde loi gaussienne standard,

2p1g= 1

donne 2bpp

2p1 =qsoitbp=1

2 (p

2p1+q)2:Dans le casp30;le coefficient

correcteur p b p=p 2p p

2p1 +q

ouqest lequantile de la loi gaussienne standard. (ii) Par contre, lorsqueest estime a partir des etendues desk-echantillons, soit R i= sup jxj iinfjxj i;^=1 nd 2(k)n i=1R i; le probleme est de connaitre la loi de

R:A priori, on sait seulement queE[R] =d2(k);

mais la loi de cette variable aleatoire n'est pas facilement accessible, et l'on ne dispose pas de tables permettant d'evaluer dans ce cas la probabilitePfR d

2(k)bget de trouverbtel

que cette probabilite soit 1an d'obtenir l'intervalle de conance 1de la forme [0;R bd

2(k)]:

Remarquer neanmoins que ce calcul d'intervalle de conance convient des que le nom- bre d'observations, ou plut^ot le nombre de degres de libertep= (n1)kest assez grand, soit par exemplep30;ce qui est souvent le cas m^eme sik10::::Ce qui signie qu'il est beaucoup plus pertinent d'estimer2de toutes facons par les variances experimentales que par les etendues. Exercice: calculerppourp= 40;50;75;100 et comparer avec les coefficients donnes par Baillargeon page 142. 7 Le coefficient correcteur est different pourCpk:En effet, il y a en plus une erreur sur la moyenne estimee par X: C thpk=min(Tsm 3;mTi 3) =min(TsX 3+Xm 3;XTi 3+mX 3) c'est a dire Cexp pkEouE=Xm

3suit une loi de Gauss centree de variance1

9nket il faut

ajouter l'erreur a 95 pour cent due aEsoit1:645 3 p nk , sinkest bien s^ur le nombre TOTAL d'observations avec lesquelles on a calcule la moyenne

X:Par exemple, pournk= 20 on

trouve bien cette erreur de 0:09 qui s'ajoute au coefficient corecteur deCpegal a 1:37: 8

2 Cartes de contr^ole pour des grandeurs mesurables

2.1 Introduction, objectifs

Les objectifs de ces cartes dans le contr^ole de la qualite de la production sont : - contr^ole de la stabilite (on produit des choses en serie identiques) - contr^ole du nombre de produits non conformes dans chaque lot produit. Il y a aussi le contr^ole des caracteristiques qualitatives, \contr^ole de la qualite par attribut", hors programme. Ici, on cherche a contr^oler une grandeur mesurable, i.e. a valeurs reelles, d'ou le titre du chapitre.

Prealables a poser avant la mise en oeuvre :

. quelles caracteristiques veut-on contr^oler ? . instruments de mesure a utiliser ? . taille des echantillons a l'interieur d'un lot (le plus souvent entre 5 et 10) ? . frequence des contr^oles ? (en cas de production continue : tous les jours ? toutes les heures ?) . co^ut du contr^ole ? (a mettre en regard avec le co^ut de produire des objets defectueux...) De fait, il faut savoir qu'en general, il n'est pas utilise de bases statistiques reelles.

2.2 Denition d'une carte de contr^ole, differents types de cartes

Il s'agit d'un releve des mesures d'une caracteristique numerique en fonction du temps, autour de la moyenne, entre deux lignes horizontales, d'ordonnees appelees LIC et LSC, ou limites provisoires de contr^ole, egales a la valeur \cible" (l'objectif ideal)3^:Remarquer que ces limites concident avec les limites de toleranceTietTslorsqueCp= 1: dessin Il s'agit de diagnostiquer des ecarts a cette bande de \conance". Il y a differents types de cartes : cartesXetRdans le cas d'une taille d'echantillonk10; cartesXetsdans le cas d'une taille d'echantillonk10: Il existe d'autres types de cartes : carte EWMA (cf. [5] pages 248 et sq.) qui utilise des moyennes glissantes ou carte CUSUM par exemple (cf. [2] p. 216 ou [5] pages 256 et sq.) quand on s'interesse a l'ecart a la valeur cible. 9

2.3 Sources de variabilite

La variabilite, qui contredit la stabilite de la production, peut venir des matieres premieres, de la main d'oeuvre, des outils de fabrication, des instruments de mesure. (cf. le dia- gramme d'ISHIKAWA vu en master 1 ou le schema AMDEC qui sera presente dans un chapitre ulterieur). Denition 2.1On dit qu'un procede de fabrication est dans unetat stablesi la repartition experimentale de la valeur mesuree sur l'echantillon est approximativement gaussienne (on dit que l'on a lamaitrise statistique du procede) et a peu pres identique d'un echantillon a l'autre, tout en restant dans l'intervalle[c03(^);c0+3(^)], et sans presenter de \tendance". Normalement c'estc0, la valeur cible ; de fait, quand le procede est bien maitrise, on remplacec0parX:

2.4 Carte

X

Cask10

La frequence du prelevement depend de la vie de l'entreprise, du co^ut, etc. Le nombre ndek-echantillons doit ^etre superieur a 20 pour queXetssoient ables. On opere les calculs

8i= 1;;n;Xi=1

k jXj i; s2i=1 k1∑ j(Xj iXi)2: On obtient un graphique avec le temps en abscisse et les estimations en ordonnee, chaque point representant un echantillon, sik= 1 il s'agit d'un contr^ole exhaustif.

On denit trois zones correspondant a :

mX;m2X;m3X; la deuxieme est une zone de surveillance, et la troisieme une zone de contr^ole. Bien s^ur, mest estimee en general parXobtenue avec de precedents echantillons (une fois ceux ci consideres comme bien maitrises).

Exercice: ^X=1

p k 10

On rappelle queest estime pars

c

4(k);traditionnellement, le coefficient3

p kc

4(k)est note

A

3(k) qui gure dans des tables

k11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 A

30:927 0:886 0:850 0:817 0:789 0:763 0:739 0:718 0:698 0:680 0:647 0:619 0:606

1=c41:025 1:023 1:022 1:019 1:018 1:017 1:016 1:015 1:014 1:013 1:011 1:010 1:010

Cask10 pour les petits echantillons.

On releve l'etendueRipour chaque echantilloni, on fait leur moyenneRet on rappelle queest estime par ^=R d

2(k):Quant aXelle est estimee parR

p kd

2(k);traditionnellement,

le coefficient 3 p kd

2(k)est noteA2(k) qui gure dans des tables.

k2 3 4 5 6 7 8 9 10 A

21:880 1:023 0:729 0:577 0:483 0:419 0:373 0:337 0:308

Limites provisoires

: au depart, on prend comme limitesc03^X, puis on passe a X3^Xlorsque l'on est s^ur que la moyenne est la cible et que l'on a enleve les points aberrants (hors limites de contr^ole) qui augmentent induement l'ecart-type. Ensuite, on actualiseXet ^au l des echantillons observes, jusqu'a stabilisation ; on obtient alors les limites de contr^ole, soitXi^Xaveci= 1;2;3:

2.5 Cartes, cask10

On introduit de m^eme des limites poursqui proviennent de quantiles de la loi de khi- deux. La aussi, on fournit des tables donnant les coefficientsB3(k) etB4(k) tel que LIC s=B3(k)s; LSCs=B4(k)s:On peut montrerBi(k) = 13p

1c24(k)

c 4(k): k11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 B

30:321 0:354 0:382 0:405 0:428 0:448 0:446 0:482 0:497 0:510 0:534 0:555 0:565

B

41:679 1:646 1:618 1:594 1:572 1:552 1:534 1:518 1:503 1:490 1:466 1:445 1:435

2.6 CarteR, cask10

On releve l'etendueRipour chaque echantilloni, on fait leur moyenneR:On calculequotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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