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M´ecanique Quantique

TD n◦6 : Oscillateur harmonique

Exercice 1: Etats coh´erents

1.Quelques rappels sur l" oscillateur harmoniqueOn consid`ere un oscillateur harmonique classique d"´energie

E=1

2mv2+12mω20x2.

(a) Ecrire l"´energieEen terme des variables sans dimension X cl=? mω0

¯hx;Pcl=1⎷m¯hω0mv .

(b) R´esoudre l"´equation du mouvement associ´ee `a la variableα=1 ⎷2(Xcl+iPcl) et ´ecrire l"´energie en terme de cette variable. (c) Quelle est la densit´e de probabilit´e de pr´esence en unpointxlorsque le syst`eme est dans son ´etat d"´energie minimale ? Comparer ce r´esultat `a la situation quantique et l"expliquer qualitativement. (d) Rappeler l"expression des op´erateurs de cr´eation et d"annihilation en terme des op´erateurs sans dimension: X=? mω0

(e) En utilisant le Th´eor`eme d"Erhenfest, ´ecrire d"une mani`ere g´en´erale les ´equations

diff´erentielles v´erifi´ees par?ˆX?(t),?ˆP?(t) et?ˆa?(t). Quelle remarque s"impose ? Que

se passe-t-il si le syst`eme est dans un ´etat d"´energie fix´ee|n?? Conclusion.

2.D´efinition des ´etats coh´erentsOn d´efinit un´etat coh´erent comme un´etat propre (norm´e `a 1) de l"op´erateur d"annihilation

ˆa|α?=α|α?.

(a) Donner l"expression de|α?dans la base des ´etats propres du Hamiltonien{|n?}en fonction deα(on choisira la phase de telle fa¸con que?0|α?>0).

(b) D´eduire de la question pr´ec´edente la loi deα(t) associ´ee au ket|α(t)?lorsque le

syst`eme est dans l"´etat|α0?`a l"instant initial. Conclusion.

3.Quelques propri´et´es des ´etats coh´erents

(a) On suppose que le syst`eme est dans l"´etat|α0?`a l"instantt= 0. Calculer les quantit´es

suivantes:?ˆX?(t),?ˆP?(t) et le produit?ΔX??ΔP?. (b) On mesure l"´energie du syst`eme: quels r´esulats peut-on trouver et avec quelles prob- abilit´es. Calculer la valeur moyenne?ˆH?et l"´ecart quadratique moyen?ΔH?. Licence Phytem - M´ecanique quantique - Ann´ee 2006-20071

classiques ? On consid`ere un pendule tel quel= 20 cm etm= 20 g lach´e sans vitesse initiale d"un angleθ=π

10. En supposant que l"on puisse d´ecrire ce syst`eme

`a l"aide d"un ´etat coh´erent, calculer la valeur de|α|. (d) En utilisant l"identit´e suivante, valable pour deux op´erateursˆAetˆBqui commutent avec leur commutateur (identit´e dite de Glauber): exp(

ˆA)exp(ˆB) = exp?ˆA+ˆB?

exp?1

2?ˆA,ˆB??

montrer que l"op´erateur ˆD(α) = exp?αˆa†-α?ˆa?est unitaire et permet de d´efinir un ´etat coh´erent avec la relation |α?=ˆD(α)|0?. (e) Montrer que dans la repr´esentation-xun ´etat coh´erent a pour expression ?x|α?=Nexp?ix?ˆp?

¯h?

exp? -mω0(x- ?ˆx?)22¯h? Exercice 2: Mesures successives sur un oscillateur har- monique

On consid`ere un oscillateur harmonique `a une dimension (directionx), caract´eris´e par la masse

met la pulsation propreω0. On note|n?l"´etat propre poss´edantnnoeuds. A l"instant initial, la fonction d"onde est |ψ(t= 0)?=N? |0?+i⎷ 3|1??

1. Calculer la constante de normalisationN.

2. Donner l"expression de la fonction d"onde|ψ(t)?.

3. Comment ´evolue l"´energie moyenne du syst`eme au cours du temps si le syst`eme n"est pas

perturb´e par le milieu ext´erieur ?

4. Donner les expressions de la position et de l"impulsion moyenne en fonction du temps.

Calculer le produit des ´ecarts quadratiques ΔXΔP.

5. A l"instantt=π

ω0, on mesure l"´energie du syst`eme. Quelle valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilit´es ? On suppose que dans l"exp´erience, on a mesur´eE=1

2¯hω(on

suppose aussi que cette mesure n"est pas destructive). Quelest l"´etat du syst`eme pour t >π

ω0. Calculer le produit ΔXΔP.

6. A l"instantt=2π

ω0, on effectue une mesure non destructive correspondant `a l"observable Otelle queO= 1 si le quanton est dans le demi-espacex >0 etO= 0 sinon. Quelle est la probabilit´e d"avoirO= 1 ? En supposant que le r´esultat de la mesure est effectivement O= 1, quel est l"´etat du syst`eme en repr´esentationxjuste apr`es cette mesure ?

7. Quel peut-ˆetre le r´esultat d"une mesure de l"´energie pourt >2π

ω0?

2Licence Phytem - M´ecanique quantique - Ann´ee 2006-2007

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] Mécanique Quantique TD n 6 : Oscillateur harmonique Exercice 1

Comment calculer un oscillateur harmonique?

Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique ?

Comment calculer la fréquence d’un oscillateur ?

Comment calculer la masse d’un oscillateur ?

M´ecanique Quantique

TD n◦6 : Oscillateur harmonique

Exercice 1: Etats coh´erents

1.Quelques rappels sur l" oscillateur harmoniqueOn consid`ere un oscillateur harmonique classique d"´energie

2mv2+12mω20x2.

¯hx;Pcl=1⎷m¯hω0mv .

2.D´efinition des ´etats coh´erentsOn d´efinit un´etat coh´erent comme un´etat propre (norm´e `a 1) de l"op´erateur d"annihilation

ˆa|α?=α|α?.

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2. Donner l"expression de la fonction d"onde|ψ(t)?.

3. Comment ´evolue l"´energie moyenne du syst`eme au cours du temps si le syst`eme n"est pas

4. Donner les expressions de la position et de l"impulsion moyenne en fonction du temps.

5. A l"instantt=π

2¯hω(on

ω0. Calculer le produit ΔXΔP.

6. A l"instantt=2π

7. Quel peut-ˆetre le r´esultat d"une mesure de l"´energie pourt >2π

ω0?

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