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Physique pour laudiovisuel

Cours • QCM et exercices corrigés – BTS DUT & Licence

Travaux dirigés

trale des signaux ainsi que sur l'échantillonnage et son influence en termes de Comme l'indique le titre cet exercice est un peu plus difficile !

Conversions analogique - numérique et numérique - analogique.

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I 2 Etude dans le domaine des fréquences L’échantillonnage est obtenu en multipliant e(t) par le signal m(t) suivant : m(t) t 1 I 2 1 Développer en série de Fourier m(t) m(t) étant périodique de période Te il peut se décomposer en série de Fourier ()? +? =?? = k T kt 2 j k m t m e e ? avec ? ? ? = T / 2 T / 2 T kt

1 Echantillonnage - Université de Bordeaux

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Exercices Corrections Chapitre 1

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Correction TRAITEMENT DU SIGNAL - Université de technologie

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Echantillonnage numérisation et restitution des signaux

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M2 L1 et M2 L2 : Série d’exercices sur l’échantillonnage de signaux Rappel de trigonométrie Soient a b u v des nombres réels Alors on a les relations suivantes: 2 sin(u) sin(v) = cos(u - v) – cos(u + v) 2 cos(u) sin(v) = sin(u + v) – sin (u - v) cos(b) – cos(a) = 2 sin((a + b)/2) sin((a - b)/2)

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Comment calculer l’échantillonnage ?

Définition L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les valeurs instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors représenter par un ensemble de valeur discrète : se(t) = s(n.Te) Avec n : entier. Te : période d’échantillonnage.

Quelle est la différence entre l’indice du signal et la fréquence d’échantillonnage?

On peut aussi considérer que l’indice du signal est en fait une indication de la quantité d’eau tombée depuis une certaine date, à ce titre la période d’échantillonnage vaut 5 105L et que la fréquence d’échantillonnage vaut 2 104L1. 4.

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Les signaux x2, x3et x4sont orthogonaux à x1, x2et x3sont orthogonaux à x4, x2et x3sont en opposition de phase. Les signaux les plus distants sont ceux qui sont en opposition de phase. Exercice 2 Etudier l'orthogonalité et l'orthonormalité des fonctions suivantes : 1.-. ?k(t)=sin2.k.?.tk entier la période est ici T=1

2`emeann´ee d"IUT de Mesures Physiques

Travaux dirig´es

Traitement du signal

Signaux, repr

´esentation spectrale&

echantillonnage

Olivier BACHELIER

Courriel : Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34

Les commentaires constructifs et les rapports d"erreurs sont les bienvenus!

R´esum´e

Ce petit document d"´enonc´es de travaux dirig´es s"inscrit dans le cadre de l"initiation au traitement du signal en

deuxi`emeann´eedel" IUT de Poitiers-Chˆatellerault-Niortets"adresseprincipalementaux ´etudiantsdud´epartement de

Mesures Physiques, situ´e sur le site de Chˆatellerault. Il accompagne les notes de cours intitul´eesUn premier

pas en traitement du signal. L"IUT de Poitiers-Chˆatellerault-Niort est un UFR de l"

Universit´e de Poitiers.

Il se focalise principalementsur la nature des signaux, lesnotions d"´energieet de puissance, de rep´esentationspec-

trale des signaux ainsi que sur l"´echantillonnage et son influence en termes de spectre.

Connaissances pr

´ealables souhait´ees

Les ´etudiants doivent s"appuyer sur le contenu des notes decours correspondant `a ce module. D

´eroulement des s´eances

Le module de traitement du signal comprend six s´eances de TDau cours desquelles les notions vues en cours

sont illustr´ees.

Cinq ´enonc´es sont propos´es pour les six s´eances (a prioriun ´enonc´e par s´eance plus une s´eance de r´evision et de

r´eponses aux questions des ´etudiants, avant l"examen). ii

Table des mati`eres

1 Signaux, puissances et´energies1

1.1 Caract`ere morphologiquedes signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 P´eriodicit´e des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Moyenne, ´energie, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1.1 Signal sinuso¨ıdal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1.2 Signal carr´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1.3 Signal ap´eriodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2´Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 D´eveloppement en s´erie de Fourier5

2.1 Pour commmencer tr`es simplement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2`A peine un peu plus dur!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Pr´eparation du premier TP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Maintenant, un signal pair!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Transformation de Fourier9

3.1 La propri´et´e essentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Le sirop?Sport Fraise?, c"est pour les bal`ezes!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 TdF et SdF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Filtrage analogique11

4.1 Convolution et filtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Gabarits des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Exemple de filtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5´Echantillonnage13

5.1 Quelques notions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2´Echantillonnage d"un signal sinuso¨ıdal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3 Th´eor`eme de Shannon et filtre anti-repliement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4´Echantillonnage d"un signal audio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

iii

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

TD n◦1

Signaux, puissances et

´energies

Objectifs

Comprendre le caract`ere morphologiquedes signaux (continus, discrets, quantifi´es, non quantifi´es).

Comprendre la notion de p´eriodicit´e d"un signal. Savoir calculer la moyenne, l"´energie et la puissance d"un signal. Dur

´ee :1h30

Sommaire

1.1 Caract`ere morphologique des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 P´eriodicit´e des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Moyenne,´energie, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2´Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Caract`ere morphologique des signaux

Soient les six signauxs1(t)`as6(t)repr´esent´es sur la figure

1.1(les pointill´es sur certains chronogrammes in-

diquent les seuls niveaux admissibles pour le signal).

1. Quels sont les signaux continus?

2. Quels sont les signaux discrets?

3. Quels sont les signaux quantifi´es?

4. Quels sont les signaux analogiques?

5. Quels sont les signaux num´eriques?

6. Parmicessignaux,unseulestissudel"´echantillonnaged"unsignalcontinuavecunep´erioded"´echantillonnage

T efixe. Lequel?

7. Dessiner un

?chronogramme?irr´ealiste ne repr´esentant pas un signal.

8. Pourquoi le mod`ele d"un signal discret peut-il ne plus faire r´ef´erence au temps?

P´eriodicit´e des signaux

s3(t) s

5(t)s6(t)

t t ttt t s4(t)s

1(t)s2(t)

FIGURE1.1 - Signaux de caract`eres moprhologiquesdivers 1.2 P

´eriodicit´e des signaux

Soient les six signauxs1(t)`as6(t)repr´esent´es sur la figure

1.2. On suppose que l"horizon de temps choisi en

indique assez sur l"allure du signal. s3(t) s

5(t)s6(t)

t t ttt t s4(t)s

1(t)s2(t)

FIGURE1.2 - P´eriodiques ou pas?

1. Quels sont les signaux p´eriodiques?

2. En est-il qui ne soient pas p´eriodiques mais qui pr´esentent une pseudo-p´eriode?

Moyenne, ´energie, puissance

1.3 Moyenne,´energie, puissance

1.3.1 Moyenne

1.3.1.1 Signal sinuso¨ıdal

Soit un signals(t)r´epondant au mod`ele math´ematique suivant : s(t) =Ssin(ωpt).

1. Le signals(t)est-il p´eriodique? Si oui, quelle est sa p´eriodeTp?

2. Que repr´esenteωpet quelle relation v´erifie cette quantit´e avec la fr´equencefpdes(t)?

3. Calculer la moyenne du signal sur tout l"horizon de temps.

4. Calculer la moyenne sur l"intervalle[0;π]. L"exprimer en fonction deTp.

5. On suppose queωp= 2rad/s. Que vaut alorsTp?

6. Que devient cette moyenne sur[0;π]? (R´epondre de deux fac¸ons.)

7. On ajoute une composante continueS0`as(t). Actualiser l"expression des(t).

8. Que devient sa valeur moyenne?

9. Que devient sa moyenne sur[0;π]pour une valeur quelconque deωp?

1.3.1.2 Signal carr

´e Soit un signalc(t)carr´eimpaird"amplitudeAet de fr´equencefp.

1. Dessiner le signalc(t).

2. Quel est son rapport cyclique? Pourquoi ne peut-il en ˆetre autrement?

3. Calculer la moyenne dec(t)sur tout l"horizon de temps. Est-ce une surprise?

4. Calculer la moyenne sur l"intervalle[0;Tp

2]en appliquant la formule rigoureuse. Est-ce une surprise?

5. On ajoute une composante continueA0`ac(t). Que devient sa valeur moyenne?

6. Que devient sa moyenne sur[0;Tp

2]?

1.3.1.3 Signal ap

´eriodique

Soit le signalx(t)ap´eriodique d´ecrit par

?x(t) =x0e-t?t≥0, x(t) = 0?t <0.

1. Dessiner le signalx(t).

2. Calculer la moyenne dex(t)sur tout l"horizon de temps. Commenter.

3. Calculer la moyenne dex(t)sur l"intervalle[0;1].

1.3.2

´Energie

Soit le signal ap´eriodiqueg(t)d´efini par

?g(t) =s(t)?t?[-Tp

2;Tp2],

g(t) = 0?t /?[-Tp

2;Tp2].

1. Calculer l"´energie des(t)sur tout l"horizon de temps. Est-ce normal?

Moyenne, ´energie, puissance

2. Calculer l"´energie des(t)sur l"intervalle[-Tp2;Tp2]. Commenter.

3. Dessinerg(t).

4. Calculer (ou d´eduire) l"´energie deg(t).

5. Lequel des deux signauxs(t)etg(t)est d"´energie finie?

6. Calculer l"´energie dex(t). Ce signal est-il d"´energie finie?

1.3.3 Puissance

1. Calculer la puissance moyenne des(t)sur tout l"horizon de temps.

2. Calculer (ou d´eduire) la puissance moyenne deg(t)sur tout l"horizon de temps.

3. Calculer la valeur efficace des(t)(on doit retrouver une formule connue).

4. Calculer la puissance moyenne dec(t).

5. Calculer la valeur efficace dec(t). Retrouve-t-on la mˆeme formule que pours(t)?

6. Calculer la puissance moyenne dex(t). Est-ce logique?

7. Calculer la puissance des(t)en dBmpourS= 5.

8. Calculer la puissance des(t)en dBW(de deux fac¸ons) pourS= 5.

9. Calculer la puissance moyenne en Watts d"un signal annonc´e `a 0,3 dBW.

TD n◦2

´eveloppement en s´erie de Fourier

Objectifs

Comprendre le principe du d´eveloppement en s´erie de Fourier. Utiliser les formules de calcul pour quelques signaux qui seront vus en TP. Comprendre la diff´erence entre les s´eries de Fourier unilat´erale et bilat´erale. Dur

´ee :1h30

Sommaire

2.1 Pour commmencer tr`es simplement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2`A peine un peu plus dur!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Pr´eparation du premier TP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Maintenant, un signal pair!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Pour commmencer tr`es simplement

Soit le signal repr´esent´e sur la figure

2.1.

00.20.40.60.81-5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 temps (s) s(t)

FIGURE2.1 - Signals(t)`a ´etudier

Pr´eparation du premier TP

1. Le signals(t)est-il p´eriodique? Si oui, quelle est sa p´eriodeTp?

2. Le signals(t)comporte-t-il des harmoniques? Si oui, combien?

2.2 `A peine un peu plus dur!

Un signals(t)est plac´e en entr´ee d"unanalyseur de spectre. L"analyseur propose alors un graphe donn´e par la

figure 2.2 amplitude

10 20 30

fr´equence (Hz) 0,513 FIGURE2.2 - Sortie de l"analyseur de spectre lorsque l"entr´ee ests(t).

1. Que repr´esente extactement ce graphe?

2. Le signals(t)est-il p´eriodique? Si oui, quelle est sa p´eriodeTp?

3. Le signals(t)comporte-t-il des harmoniques? Si oui, combien?

4. Donner son expression.

5. Dessiner la repr´esentation fr´equentielle des(t) + 2.

Remarque 2.1Pour information, le signals(t)en question a´et´e rencontr´e tr`es r´ecemment.

2.3 Pr

´eparation du premier TP

Soient le signals(t)d´ecrit par

s(t) =Ssin(ωpt) ainsi que les signauxc(t)etd(t)repr´esent´es sur la figure 2.3.

1. Que repr´esententSouApour ces signaux?

2. Calculer le d´eveloppementen s´erie de Fourier des(t),c(t)etd(t)(s´erie unilat´erale, c"est-`a-dire les coeffi-

cientsanetbn). Commenter.

3. D´eduire les coefficientsVnetφnde l"autre forme du d´eveloppement pours(t),c(t)etd(t).

4. D´eterminer le d´eveloppementdes signauxˆs(t) =-s(t),ˆc(t) =-c(t)etˆd(t) =-d(t).

5. D´eterminer le d´eveloppementdes signaux˜s(t) =-s(t),˜c(t) = 2c(t)et˜d(t) = 2d(t).

6. Que faut il modifier pour passer du d´eveloppementdec(t)(ou ded(t)) `a celui du mˆeme signal mais d´ecal´e

vers le haut de A 2?

7. Rappeler ce qu"est le d´eveloppement en s´erie de Fourierbilat´erale d"un signal.

8. Calculerlescoefficientsdud´eveloppementens´eriedeFourierbilat´eraldec(t)(sipossiblededeuxfac¸ons!).

Maintenant, un signal pair!

A2A 2 c(t) d(t) -A2Tp T p- A 2 tt

FIGURE2.3 - Signauxc(t)etd(t)

2.4 Maintenant, un signal pair!

Soitr(t), un signal rectangulaire pair (contrairement `ac(t)qui est impair). Il est repr´esent´e sur la figure

2.4. Tp0 r(t) t A

FIGURE2.4 - Signalr(t)

quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] Travaux dirigés trale des signaux ainsi que

Quelle est la fréquence d’échantillonnage des signaux audio stéréo?

Comment calculer l’échantillonnage ?

Quelle est la différence entre l’indice du signal et la fréquence d’échantillonnage?

Quels sont les signaux orthogonaux?

2`emeann´ee d"IUT de Mesures Physiques

Travaux dirig´es

Traitement du signal

Signaux, repr

´esentation spectrale&

Olivier BACHELIER

Courriel : Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34

R´esum´e

Universit´e de Poitiers.

Connaissances pr

´ealables souhait´ees

´eroulement des s´eances

Table des mati`eres

1 Signaux, puissances et´energies1

1.1 Caract`ere morphologiquedes signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 P´eriodicit´e des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Moyenne, ´energie, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1.1 Signal sinuso¨ıdal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1.2 Signal carr´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1.3 Signal ap´eriodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2´Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 D´eveloppement en s´erie de Fourier5

2.1 Pour commmencer tr`es simplement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2`A peine un peu plus dur!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Pr´eparation du premier TP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Maintenant, un signal pair!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Transformation de Fourier9

3.1 La propri´et´e essentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Le sirop?Sport Fraise?, c"est pour les bal`ezes!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 TdF et SdF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Filtrage analogique11

4.1 Convolution et filtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Gabarits des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Exemple de filtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5´Echantillonnage13

5.1 Quelques notions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2´Echantillonnage d"un signal sinuso¨ıdal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3 Th´eor`eme de Shannon et filtre anti-repliement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4´Echantillonnage d"un signal audio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

TD n◦1

Signaux, puissances et

´energies

Objectifs

´ee :1h30

Sommaire

1.1 Caract`ere morphologique des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 P´eriodicit´e des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Moyenne,´energie, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2´Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Caract`ere morphologique des signaux

1.1(les pointill´es sur certains chronogrammes in-

1. Quels sont les signaux continus?

2. Quels sont les signaux discrets?

3. Quels sont les signaux quantifi´es?

4. Quels sont les signaux analogiques?

5. Quels sont les signaux num´eriques?

6. Parmicessignaux,unseulestissudel"´echantillonnaged"unsignalcontinuavecunep´erioded"´echantillonnage

7. Dessiner un

8. Pourquoi le mod`ele d"un signal discret peut-il ne plus faire r´ef´erence au temps?

P´eriodicit´e des signaux

5(t)s6(t)

1(t)s2(t)

´eriodicit´e des signaux

1.2. On suppose que l"horizon de temps choisi en

5(t)s6(t)

1(t)s2(t)

FIGURE1.2 - P´eriodiques ou pas?

1. Quels sont les signaux p´eriodiques?

2. En est-il qui ne soient pas p´eriodiques mais qui pr´esentent une pseudo-p´eriode?